Cisoide de Diocles

La cisoide de Diocles es una curva algebraica plana de tercer orden. En el sistema de coordenadas cartesianas , donde el eje de abscisas está dirigido a lo largo y el eje de ordenadas a lo largo , se construye un círculo auxiliar sobre el segmento , como sobre el diámetro . Se dibuja una tangente en un punto . Se dibuja una línea recta arbitraria desde el punto , que corta el círculo en el punto y la tangente en el punto . Desde el punto , en la dirección del punto , se separa un segmento , cuya longitud es igual a la longitud del segmento . Cuando una línea gira alrededor de un punto , el punto describe una línea llamada $BUEY$ $OY$ $OA=2a$ $A$ ${\ estilo de visualización UV}$ $O$ ${\ estilo de visualización DE}$ $mi$ $F$ $F$ $O$ ${\ estilo de visualización FM}$ ${\ estilo de visualización EO}$ ${\ estilo de visualización DE}$ $O$ $METRO$ Cisoide de Diocles . Las dos ramas de esta línea en la Fig. 1 se muestran en azul y rojo.

Ecuaciones

La ecuación cisoide en un sistema de coordenadas rectangulares se escribe de la siguiente manera:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

La ecuación cisoide en coordenadas polares es:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

A veces, la ecuación cisoide en el sistema de coordenadas polares se escribe de la siguiente manera:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi}}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Ecuación cisoide paramétrica:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

dónde

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Historia

El cisoide fue explorado por primera vez por el matemático griego Diocles en el siglo II a. mi. Diocles construyó la curva así: hay un punto , que está ubicado en el círculo auxiliar simétricamente al punto ; el eje de simetría es el diámetro . Desde el punto , se traza una perpendicular al eje de abscisas. El punto perteneciente a la cisoide está en la intersección de esta perpendicular y la recta . Por este método, Diocles construyó solo la curva dentro del círculo auxiliar. Si esta parte de la cisoide ( ) se cierra con un arco de círculo , se obtiene una figura que se asemeja a una hoja de hiedra en su forma . En griego, la hiedra es κισσός ("kissos"), de donde proviene el nombre de la curva - "Cissoid". $PAGS$ $mi$ $BD$ $PAGS$ $METRO$ ${\ estilo de visualización EO}$ ${\ Displaystyle Fecha de nacimiento}$ ${\ Displaystyle Fecha de nacimiento}$ $EAD$

En su forma moderna, la cisoide fue reproducida por el matemático francés Gilles Roberval en 1640 . Posteriormente, la cisoide también fue explorada por el matemático holandés Sluz .

Propiedades

La cisoide es simétrica con respecto al eje de abscisas.
La cisoide corta a la circunferencia auxiliar en los puntos y , que pertenecen al diámetro de esta circunferencia. $B$ $D$
La cisoide tiene una cúspide y una asíntota , cuya ecuación es: , donde es el radio de la circunferencia auxiliar. ${\ estilo de visualización UV}$ ${\ estilo de visualización x = 2a}$ $a$
La cisoide es una involuta de una parábola con una cúspide en el vértice de la parábola. Además, la directriz de la parábola es una asíntota de la cisoide. [una]

Área entre cisoide y asíntota

Esta área es igual a:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Conclusión

El área encerrada entre las ramas de la cisoide y la asíntota . Ecuación de la rama superior : ${\ Displaystyle COL}$ ${\ estilo de visualización UV}$ $S_{1}$ ${\ estilo de visualización OL}$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

La mitad del área encerrada entre la cisoide y la asíntota es igual a la integral de la ecuación (2) en el rango de 0 a : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Sustitución:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Límites de integración:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

La integral (3) se transforma a la forma:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits_{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsen {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Asi que:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Volumen de un cuerpo de revolución

El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación de la rama alrededor del eje de abscisas se calcula de la siguiente manera: $V_{1}$ ${\ estilo de visualización OL}$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\derecha)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Si , entonces , eso es . ${\ estilo de visualización x \ a 2a}$ $\ln(2a-x)\to -\infty$ $V_{1}\a\infty$

Notas

↑ Akopyan AV Geometría en imágenes .

Literatura

Savelov A.A. Curvas planas. Sistemática, propiedades, aplicaciones (Guía de referencia). - Moscú: Editorial estatal de literatura física y matemática, 1960. - 293 p.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Manual de la teoría de las curvas planas de tercer orden. - Moscú: Fizmatgiz, 1961. - 263 p.

J.Dennis Lawrence. Un catálogo de curvas planas especiales. - Publicaciones de Dover, 1972. - 53-56 p. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basilea: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio