Estrofoides

Strophoid (del griego στροφή - giro) es una curva algebraica de tercer orden. Está construido de la siguiente manera (ver Fig. 1):

En el sistema de coordenadas cartesianas , donde el eje x se dirige a lo largo de OX y el eje y a lo largo de OD, un punto fijo A se establece en el eje OX. Se dibuja una línea AL arbitraria a través del punto A, que corta el eje y en el punto P. Desde el punto P, a una distancia igual a OP, los puntos M1 y M2 se ubican en ambas direcciones a lo largo de la línea AL. El lugar geométrico de los puntos M1 y M2 forman un estrofoide.

En un sistema de coordenadas rectangulares, se construye un estrofoide recto o simplemente un estrofoide, que se muestra en la Fig.1. Un estrofoide oblicuo se construye en un sistema de coordenadas oblicuas - Fig.2.

Ecuaciones

La ecuación estrofoide en el sistema de coordenadas cartesianas, donde O es el origen de coordenadas , el eje de abscisas se dirige a lo largo del rayo OB, el eje y a lo largo del rayo OD, el ángulo (para un sistema de coordenadas rectangulares ), se escribe de la siguiente manera : ${\ estilo de visualización \ alfa = \ ángulo AOD}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {\ pi} {2}}}$

y^{2}\left(xa\right)-2x^{2}y\cos \alpha +x^{2}\left(a+x\right)=0

Ecuación estrofoide directa:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{ax})))

Ecuación estrofoide en sistema de coordenadas polares:

\rho =-{\frac {a\cos 2\phi }{\cos \phi }}

Ecuación paramétrica del estrofoide:

x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)

y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)

, dónde

u=\mathrm {tg} \,\phi

El punto B está separado del centro de coordenadas O a una distancia igual a a=OA. La línea UV trazada a través del punto B paralela al eje y sirve como asíntota para ambas ramas del estrofoide recto. Para un estrofoide oblicuo, la línea UV sirve como asíntota para la rama inferior y como tangente en el punto S, con SB = SA.

En el punto O hay dos tangentes que son mutuamente perpendiculares, tanto para una línea recta como para un estrofoide oblicuo.

Historia

Se cree que el estrofoide fue considerado por primera vez por el matemático francés Gilles Roberval en 1645 . Llamó a esta curva "pteroide" (del griego. πτερον - ala). El nombre "strophoid" se introdujo en 1849 .

Lo que sigue se aplica sólo al estrofoideo directo.

Encontrar una tangente

y'={\sqrt {\frac {a+x}{ax}}}\left(1+{\frac {ax}{a^{2}-x^{2}}}\right)

En el punto , la derivada , es decir, en el punto , hay dos tangentes perpendiculares, cuya pendiente es igual a . ${\ estilo de visualización O (0,0)}$ $y'=\pm 1$ ${\ estilo de visualización O (0,0)}$ ${\ estilo de visualización \ pm {\ frac {\ pi} {4}}}$

Conclusión

La tangente de la pendiente de la tangente es igual al valor de la primera derivada de la función. Reescribimos la ecuación de la estrofoide (línea recta) de la siguiente forma:

{\ estilo de visualización y = xz}

, donde .

{\displaystyle z={\sqrt {\frac {a+x}{ax})))

{\ estilo de visualización y'=z+xz'}

{\displaystyle z={\sqrt {\frac {a+x}{ax})))

\ln {z}={\frac {1}{2}}\ln {a+x}-{\frac {1}{2}}\ln {ax}

Derivamos esta ecuación:

{\frac {z'}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{a+x}}+{\frac {1}{2}}{\ fracción {1}{ax}}={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}

{\frac {z'}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{a+x}}+{\frac {1}{2}}{\ fracción {1}{ax}}={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}

z'={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {a+x}{ax}}}

de aquí

y'={\sqrt {\frac {a+x}{ax}}}\left(1+{\frac {ax}{a^{2}-x^{2}}}\right)

Radio de curvatura

$R=ENCENDIDO$ en un punto se define como sigue: ${\ estilo de visualización O (0,0)}$

R={\frac {a}{\cos \angle AON}}={\frac {a}{\cos {\frac {\pi }{4})))=a{\sqrt {2} }

El área del bucle estrofoidal y el área entre el estrofoides y la asíntota

El área del bucle estrofoideo a la izquierda del eje y

S_{1}=a^{2}(2-{\frac {\pi}{2)))

Área entre estrofoides y asíntota a la derecha del eje y

S_{1}=a^{2}(2+{\frac {\pi }{2)))

. Conclusión

Ecuación del arco superior : $AM_{1}O$

y=-x{\sqrt {\frac {a+x}{ax))}\qquad

(una)

La mitad del área del bucle izquierdo del estrofoide es igual a la integral de la ecuación (1) en el rango de a . $-a$ ${\ estilo de visualización 0}$

{\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-a}^{0}x{\sqrt {\frac {a+x}{ax}}}\ ,dx\qquad

(2)

Sustitución:

u=ax,\qquad a+x=2a-u,\qquad dx=-du

Límites de integración:

x=-a\Rightarrow \;u=2a,\qquad x=0\Rightarrow \;u=a

La integral (2) se transforma a la forma:

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{2a}^{a}\left(au\right){\sqrt {\frac {2a-u}{u }}}\,du=

=-\int \limits _{2a}^{a}u{\sqrt {\frac {2a-u}{u))}\,du+a\int \limits _{2a}^{a }{\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du\qquad

(3)

Primera integral de la ecuación (3):

-\int \limits _{2a}^{a}u{\sqrt {\frac {2a-u}{u))}\,du=-\int \limits _{2a}^{a} {\sqrt {2au-u^{2}}}\,du\qquad

(cuatro)

Sustitución:

v=ua,\qquad u=v+a,\qquad dv=du

Límites de integración:

u=2a\Rightarrow \;v=a,\qquad u=a\Rightarrow \;v=0

La integral (4) se transforma a la forma:

-\int \limits _{a}^{0}{\sqrt {2a\left(v+a\right)-\left(v+a\right)^{2))}\,dv= -\int \limites _{a}^{0}{\sqrt {a^{2}-v^{2}}}\,dv=

=-\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {a^{2}-v^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2}} \arcsin {\frac {v}{a}}\right]{\begin{casos}0\\a\end{casos}}=

={\frac {a^{2}}{2}}\arcsen 1={\frac {a^{2}\pi }{4}}

La segunda integral de la ecuación (3):

a\int \limits _{2a}^{a}{\sqrt {\frac {2a-u}{u))}\,du\qquad

(5)

Sustitución:

u=v^{2},\qquad du=2vdv

Límites de integración:

u=2a\Rightarrow \;v={\sqrt {2a)),\qquad u=a\Rightarrow \;v={\sqrt {a))

La integral (5) se transforma a la forma:

2a\int \limits_{\sqrt {2a}}^{\sqrt {a}}{\sqrt {2a-v^{2}}}\,dv=

=2a\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {2a-v^{2}}}+a\arcsin {\frac {v}{\sqrt {2a}}}\ derecha]{\begin{casos}{\sqrt {a}}\\{\sqrt {2a}}\end{casos}}=

=-{\frac{a^{2}\pi}{2}}+a^{2}

Asi que:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {a^{2}\pi }{4}}-{\frac {a^{2}\pi }{2} }+a^{2}

El área es igual a: $S_{1}$

S_{1}=2a^{2}-{\frac{a^{2}\pi}{2))

Si la coordenada tiende a , entonces las ramas derechas del estrofoide tienden a , pero el área entre la línea y la asíntota es finita y está determinada por la integral (2) que va de a . En este caso, el área resultará negativa, ya que la ecuación (1) describe la rama OU', y el área encerrada entre esta rama y el rayo OX y el rayo BU es negativa. Si calculamos la integral (2) en el rango de a , obtenemos la siguiente expresión para el área : $X$ $a$ $\pm \infty$ $U'OV'$ ${\ estilo de visualización UV}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $a$ ${\ estilo de visualización 0}$ $a$ ${\ Displaystyle S_ {2}}$

S_{2}=2a^{2}+{\frac{a^{2}\pi}{2))

Volumen de un cuerpo de revolución

El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación del arco alrededor del eje de abscisas se calcula de la siguiente manera: $V_{1}$ $OM_{1}A$

V_{1}=\pi \int \limits _{-a}^{0}\left(x{\sqrt {\frac {a+x}{ax))}\right)^{2} \,dx=\qquad

(6)

=\pi \int \limits _{-a}^{0}x^{2}{\frac {a+x}{ax}}\,dx=

=-\pi \int \limits _{-a}^{0}x^{2}\,dx-2\pi a\int \limits _{-a}^{0}x\,dx -2\pi a^{2}\int \limits _{-a}^{0}dx+2\pi a^{3}\int \limits _{-a}^{0}{\frac {dx {ax}}=

=-{\frac {a^{3}\pi }{3}}+a^{3}\pi -2a^{3}\pi +2a^{3}\pi \ln {2}

Asi que:

V_{1}=a^{3}\pi \left(2\ln {2}-{\frac {4}{3}}\right)

El volumen ( ) del cuerpo formado por la rotación de la rama alrededor del eje x tiende a infinito. Este volumen se calcula a partir de la integral (6) que va de a , donde : $V_{2}$ $OV'$ ${\ estilo de visualización 0}$ $b$ ${\ estilo de visualización 0 = <b <a}$

V_{2}=\pi \int \limits _{0}^{b}\left(x{\sqrt {\frac {a+x}{ax))}\right)^{2}\ ,dx=\qquad

=-\pi \int \limits _{0}^{b}x^{2}\,dx-2\pi a\int \limits _{0}^{b}x\,dx-2 \pi a^{2}\int \limits _{0}^{b}dx+2\pi a^{3}\int \limits _{0}^{b}{\frac {dx}{ax} }=

=-{\frac {\pi b^{3}}{3}}-a\pi b^{2}-2a^{2}\pi b+2a^{3}\pi \left( \ln {a}-\ln {\left(ab\right)}\right)

Si , entonces , eso es . ${\ estilo de visualización b \ flecha derecha \; a}$ $\ln {\left(ab\right)}\Rightarrow \;-\infty$ $V_{2}\Rightarrow\;\infty$

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio