Braquistocrona

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Brachistochrone (del griego βράχιστος "más corto" + χρόνος "tiempo"): la curva del descenso más rápido. La tarea de encontrarlo fue establecida en junio de 1696 por Johann Bernoulli de la siguiente manera:

Entre las curvas planas que conectan dos puntos dados y que se encuentran en el mismo plano vertical ( abajo ), encuentre la que se mueve a lo largo de la cual, bajo la acción de la gravedad solamente , codireccional con el semieje negativo , el punto material de alcanzará en el tiempo más corto. $A$ $B$ $B$ $A$ $OY$ $A$ $B$

La solución al problema de la braquistocrona es un arco de cicloide de base horizontal cuya cúspide está en el punto , es decir, que tiene una tangente vertical en el punto . $A$ $A$

Cabe señalar que el tiempo de descenso al punto inferior no depende de la ubicación del punto de partida en el arco de la cicloide.

Resolviendo el problema de la braquistocrona

Isaac Newton , Jacob Bernoulli , G. V. Leibniz , G. F. Lopital , E. V. Tschirnhaus respondieron al artículo de Johann Bernoulli . Todos ellos, como el mismo Johann Bernoulli, resolvieron el problema de diferentes maneras. El método de solución obtenido el 26 de enero de 1697 por Isaac Newton formó la base del campo más importante de las ciencias naturales: el cálculo de variaciones .

Sean dos puntos arbitrarios ubicados en diferentes ordenadas . Además, deje que un punto material arbitrario M ruede hacia abajo desde el punto A hasta el punto B bajo la acción de la gravedad únicamente ( no hay fuerzas de fricción ). Encontremos tal trayectoria , en la que el tiempo de rodadura sea mínimo.

Dirijamos el eje y hacia abajo y comparemos el valor cero de la ordenada con el punto inicial. Escribamos la ley de conservación de energía para el punto material M:

{\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,

dónde

metro

- peso corporal ,

gramo

es la aceleración de caída libre ,

y

- ordenada ,

v

es la velocidad del cuerpo.

Obtenemos:

v={\sqrt {2gy)),

donde puedes encontrar el valor de la proyección de la velocidad en el eje : $X$

v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2))))={\frac {\sqrt {2gy)){\sqrt {1+(y ')^{2}}}}.

Como el tiempo de descenso es , el problema se reduce a minimizar el valor de la integral $\int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx$

{\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}} \,dx.

Literatura

Kleiber I. A. Brachistochrone // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio