Azulejo divisorio ( eng. rep-tile ) [1] - el concepto de geometría de mosaico , una figura que se puede cortar en copias más pequeñas de la figura misma. En 2012, el matemático inglés Lee Salous en Mathematics Magazine [2] propuso una generalización de mosaicos divisibles llamada conjunto de mosaicos auto-mosaicos .
Las fichas divisorias se denotan rep- n [3] si el corte utiliza n copias. Tales figuras forman necesariamente un prototipo teselado del plano, formando en muchos casos un teselado no periódico . Cortar una teja fisionable usando diferentes tamaños se llama teja fisionable irregular. Si tal corte usa n copias, la figura se llama irrep- n . Si todas las subtejas tienen diferentes tamaños, se dice que el corte es perfecto. Las figuras rep- n o irrep- n son obviamente irrep-( kn − k + n ) para cualquier k > 1 (simplemente reemplazamos el elemento más pequeño del corte con n elementos aún más pequeños). El orden de una ficha, ya sea una ficha rep o una ficha irrep, es el menor número posible de piezas en las que se puede cortar una ficha (manteniendo la forma de las piezas).
Cualquier cuadrado , rectángulo , paralelogramo , rombo o triángulo es rep-4. Hexiamond "Sphinx" (imagen superior) es rep-4 y rep-9 y es uno de los varios pentágonos que se reproducen a sí mismos. La curva de Gosper es rep-7. El copo de nieve de Koch es irrep-7: se pueden combinar seis copos de nieve más pequeños del mismo tamaño, junto con un copo de nieve tres veces más grande, para formar un copo de nieve más grande.
Un triángulo rectángulo con longitudes de los lados en la proporción 1:2 es rep-5, y cortar su rep-5 forma la base del mosaico de molinete aperiódico . Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo rep-5 tiene una longitud de √5.
La norma internacional ISO 216 define las dimensiones de las hojas de papel usando √2 - el lado largo de una hoja de papel rectangular a la raíz cuadrada de 2 veces la longitud del lado corto. Los rectángulos con esta forma son rep-2. Un rectángulo (o paralelogramo) es rep- n si su relación de aspecto es √n:1 (pero no solo, por ejemplo √3: √2 es rep-6, como lo es un rectángulo √6:1). El triángulo rectángulo isósceles es rep-2.
Algunas fichas divisibles, como el cuadrado y el triángulo regular , son simétricas y permanecen idénticas cuando se reflejan . Otros, como la esfinge , son asimétricos y existen en dos formas distintas unidas por el reflejo de un espejo. Cortar la esfinge y algunos otros mosaicos divisorios asimétricos requiere el uso de ambos tipos: la figura original y su imagen especular.
Algunas fichas divisorias se basan en poliformas , como poliamantes y poliominós , o en formas creadas al unir triángulos y cuadrados regulares de borde a borde.
Si un poliominó es cuadrable, o puede enlosar un rectángulo , entonces será un mosaico divisible, ya que un rectángulo puede enlosar un cuadrado (que en sí mismo es un caso especial de un rectángulo). Esto se puede ver fácilmente en los elementos octamino , que consisten en ocho cuadrados. Dos copias de algunos elementos octamino llenan el cuadrado, por lo que estos elementos también son fichas divisorias rep-16.
Cuatro copias de los mismos nonominoes y nonakings hasta el cuadrado, por lo que estas poliformas también son divisibles rep-36 mosaicos.
Del mismo modo, si una poliamante teja un triángulo regular, también será una teja divisoria.
Las poliformas basadas en triángulos rectángulos isósceles (con ángulos de 45°-90°-45°) se conocen como poliabolo . Un número infinito de ellos son tejas fisionables. Además, la más simple de todas las fichas divisibles es el (único) triángulo rectángulo isósceles. Es rep-2 cuando se divide por la altura de la hipotenusa . Las fichas divisorias rep-2 son fichas rep-2 n y los triángulos rep-4,8,16+ generan más fichas divisorias. Las siguientes fichas se encuentran descartando la mitad de las fichas y reorganizando el resto hasta que sean complementarias con simetría especular dentro de un triángulo rectángulo. Una ficha se asemeja a un pez formado por tres triángulos regulares .
Los mosaicos divisorios triangulares y cuadrados (de cuatro lados) son comunes, mientras que los mosaicos divisorios pentagonales son raros. Durante mucho tiempo se pensó que la esfinge era el único ejemplo, pero el matemático alemán / neozelandés Karl Scherer y el matemático estadounidense George Zicherman [4] encontraron ejemplos adicionales, incluida una pirámide doble y una versión alargada de la esfinge. Estos mosaicos divisorios pentagonales se ilustran en las páginas de Math Magic mantenidas por el matemático estadounidense Erich Friedman [5] [6] . Sin embargo, la Esfinge sigue siendo la única ficha fisible pentagonal conocida cuyas subcopias son del mismo tamaño.
Los mosaicos divisores se pueden usar para crear fractales o formas que son autosimilares en tamaños cada vez más pequeños. Un fractal (de una ficha divisoria) se forma dividiendo una ficha divisoria (posiblemente) eliminando múltiples copias de la figura dividida, continuando el proceso recursivamente . Por ejemplo, la alfombra de Sierpinski se forma de esta manera a partir de una loseta divisoria (cuadrado) dividiéndola en 27 cuadrados más pequeños, y el triángulo de Sierpinski se forma a partir de una loseta divisoria (triángulo regular) dividiéndola en cuatro triángulos más pequeños. Si se elimina una de las copias, el rep-4 L- tromino se puede utilizar para crear cuatro fractales, dos de los cuales son idénticos si no se tiene en cuenta la orientación .
Debido a que los fractales son autosimilares, muchos de ellos también son auto-teselado y, por lo tanto, teselas divisibles. Por ejemplo, el Triángulo de Sierpinski tiene un mosaico de rep-3 con tres copias de sí mismo, y la alfombra de Sierpinski tiene un mosaico de rep-8 con ocho copias de sí mismo.
Muchas de las fichas divisibles conocidas son rep- n 2 para todos los valores positivos de n . En particular, esto es cierto para tres trapezoides , incluido el formado por tres triángulos regulares, para tres pentominós (L-tromino, L-tetramino, P-pentamino) y el hexágono de la Esfinge. [7]
Entre los polígonos regulares, solo un triángulo y un rectángulo se pueden cortar en copias iguales más pequeñas de sí mismos. Sin embargo, un hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros, cada uno de los cuales puede dividirse en un hexágono regular y tres triángulos regulares. Esta es la base para un mosaico infinito de un hexágono por hexágonos. Por lo tanto, el hexágono es una baldosa divisoria irrep-∞ o irrep-infinita.
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