Matemáticas y Bellas Artes

Las matemáticas y el arte están conectados de varias maneras. Las matemáticas en sí pueden ser consideradas una forma de arte, ya que en ellas se encuentra una peculiar belleza . Las huellas del pensamiento matemático aparecen en la música, la danza, la pintura, la arquitectura, la escultura y el arte de tejer. Este artículo está dedicado a la conexión de las matemáticas con las bellas artes.

Las matemáticas y el arte tienen una larga historia de relación. Los pintores recurrieron a conceptos matemáticos a partir del siglo IV a. mi. El antiguo escultor griego Policleto el Viejo , presumiblemente, creó la composición "Canon" y un modelo escultórico (conservado en réplicas aproximadas) de la figura ideal de un atleta. Se ha sugerido repetidamente que los artistas y arquitectos antiguos usaron la sección áurea , pero no hay evidencia seria de esto. El matemático italiano Luca Pacioli , una figura importante en el Renacimiento italiano , escribió el tratado La Divina Proporción ( en latín:  De Divina Proportione ) ilustrado con grabados en madera a partir de dibujos de Leonardo da Vinci . Otro pintor italiano , Piero della Francesca , desarrolló las ideas de Euclides sobre la perspectiva al escribir un tratado Sobre la perspectiva en la pintura (en italiano:  De Prospectiva Pingendi ). El grabador Albrecht Dürer , en su famoso grabado " Melancolía ", dio muchas referencias simbólicas ocultas a la geometría y las matemáticas. El artista gráfico del siglo XX M. C. Escher , consultado por el matemático Harold Coxeter , hizo un uso extensivo de imágenes de parquet y geometría hiperbólica . Los artistas del movimiento " De Stijl ", encabezados por Theo van Doesburg y Piet Mondrian , hicieron un uso explícito de motivos geométricos. Las matemáticas han influido en diversas formas de tejer , bordar , tejer y tejer alfombras . El arte islámico se caracteriza por las simetrías que se encuentran en la mampostería persa y marroquí , las pantallas de piedra mogol perforada y las bóvedas de panal comunes .

Fueron las matemáticas las que dotaron a los artistas de herramientas como la perspectiva lineal, el análisis de simetrías, y les dieron todo tipo de objetos geométricos, como los poliedros o la cinta de Möbius . La práctica docente inspiró a Magnus Wenninger para crear poliedros estrellados multicolores . Las pinturas de Rene Magritte y los grabados de Escher utilizan recursividad y paradojas lógicas. Los gráficos fractales están disponibles para las formas de arte por computadora , en particular la representación del conjunto de Mandelbrot . Algunos artículos ilustran autómatas celulares . El artista David Hockney ha propuesto la hipótesis muy discutida de que sus colegas han utilizado la cámara clara desde el Renacimiento para ayudar a retratar escenas con precisión. El arquitecto Philip Steadman afirma que Jan Vermeer usó una cámara oscura .

La conexión entre las matemáticas y el arte se expresa de muchas otras maneras. Los objetos de arte se someten a un análisis algorítmico mediante espectroscopia de fluorescencia de rayos X. Se descubrió que el batik tradicional de todo Java tiene una dimensión fractal de 1 a 2. Finalmente, el arte dio lugar a algunas investigaciones matemáticas. Filippo Brunelleschi formuló la teoría de la perspectiva mientras realizaba dibujos arquitectónicos, y más tarde Gérard Desargues la desarrolló, sentando las bases de la geometría proyectiva . La idea pitagórica de un Dios-geómetra está en consonancia con los principios de la geometría sagrada , que también se refleja en el arte. Un ejemplo típico es El gran arquitecto de William Blake .

Orígenes: Antigua Grecia al Renacimiento

El "Canon" y la "simetría" de Policleto

En la historia del arte antiguo, se conoce el término "figuras cuadradas" (( griego antiguo τετραγωνος ). El antiguo escritor romano Plinio el Viejo (23-79 d. C.) llamó a las estatuas de bronce del escultor griego antiguo "que parecen cuadrados" ( lat .  signa quadrata ) de la escuela argiva de Policleto el Viejo (c. 450-420 a. C.), en particular los famosos Doryphorus y Diadumen ". Al mismo tiempo, se refirió al enciclopedista Mark Terentius Varro (116-27 a. C.) , sugiriendo que la palabra "cuadrado" puede indicar no la naturaleza de la silueta de la estatua, sino el método de dosificación , expuesto en el trabajo teórico de Poliklet " Canon " [2] . El tratado, si existió, no ha sobrevivió, pero se cree que el escultor creó como ilustración al mismo portador de la lanza, más tarde conocido como Doryphoros [3]. Según la intención del autor, el "Canon" era establecer el estándar para las proporciones anatómicas ideales en la representación de la figura masculina.

El antiguo filósofo griego Platón (c. 427-347 a. C.) mencionó el método geométrico de duplicar el área de un cuadrado construyendo un cuadrado más grande en su diagonal. El segundo cuadrado contiene cuatro "mitades" del primero, por lo tanto, su área es el doble [4] . Esta construcción tan simple contiene una importante regularidad. La diagonal de un cuadrado es una cantidad irracional. Si tomamos el lado de un cuadrado como 1, entonces su diagonal es igual o 1,414... Así, un sistema de medidas basado en un cuadrado y su diagonal conlleva la dualidad, un principio polifónico de relaciones entre números enteros simples y números irracionales.

Las estatuas de atletas en la imagen de Polykleitos realmente se ven "cuadradas" (en una traducción diferente, "proporciones anchas"). Al analizar sus proporciones, resulta que el módulo de la figura es el lado del cuadrado, cuya diagonal, a su vez, sirve como el lado del cuadrado más grande, etc. Como resultado, todas las partes de la estatua se alinean. proporcionalmente en el sistema de "medidas de par": relaciones racionales e irracionales. Entonces, la altura de toda la figura se divide en dos, cuatro y ocho partes (la cabeza de la figura es 1/8 de la altura). Sin embargo, durante el movimiento plástico (el atleta descansa sobre una pierna, la otra pierna está doblada por la rodilla y hacia atrás), surgen relaciones irracionales. Si tomamos como una unidad (el lado de un pequeño cuadrado) la parte superior de la figura (independientemente de su tamaño real), la cabeza y el torso hasta la cresta ilíaca (sobre la que descansan los músculos oblicuos), como una unidad, entonces la parte inferior de la figura (cintura pélvica y pierna de apoyo) será igual a 1,618 (el lado del cuadrado mayor). En consecuencia, la altura total de la figura es 2.618. Estas relaciones están conectadas por el patrón de la " sección áurea ", descubierta por los antiguos egipcios y que es universal [5] .

La influencia del "Canon" se extendió a la escultura de la Antigua Grecia, la Antigua Roma y el Renacimiento. Ninguna de las obras de Polykleitos ha sobrevivido hasta el día de hoy, las réplicas de mármol sobrevivientes son aproximadas y difieren significativamente entre sí. El texto del propio tratado también se ha perdido, aunque se han conservado citas y comentarios de autores antiguos [3] . Algunos estudiosos sostienen que Poliklet, a su vez, fue influenciado por las enseñanzas de los pitagóricos [6] . "Canon" opera con los conceptos básicos de la geometría griega antigua: razón, proporción y simetría. El sistema "Canon" permite describir la figura humana a través de progresiones geométricas continuas [7] .

Perspectiva y proporción

En la época antigua, los artistas no recurrían a la perspectiva lineal . El tamaño de los objetos no estaba determinado por su lejanía, sino por su importancia temática. Algunos pintores medievales utilizaron la perspectiva inversa para llamar la atención sobre figuras particularmente significativas. En 1021, el matemático islámico Ibn al-Khaytham formuló la teoría de la óptica , pero no la aplicó a los objetos de arte [8] . El Renacimiento está asociado con la restauración de las antiguas tradiciones culturales griegas y romanas. También se revivieron las ideas sobre la aplicación de las matemáticas al estudio de la naturaleza y el arte . Los artistas de finales de la Edad Media y del Renacimiento estaban interesados ​​en las matemáticas por dos razones. Primero, los pintores querían saber cómo representar con precisión objetos tridimensionales en una superficie de lienzo bidimensional. En segundo lugar, los artistas, como algunos filósofos, creían en las matemáticas como la verdadera esencia del mundo físico; las bellas artes como parte de este universo están sujetas a las leyes de la geometría [9] .

Los inicios de la perspectiva se ven en Giotto (1266-1337), quien pintó objetos distantes determinando algebraicamente la posición de las líneas en perspectiva. En 1415, el arquitecto Filippo Brunelleschi , junto con su amigo Leon Battista Alberti , introdujeron en Florencia el método geométrico de crear perspectiva. Utilizando triángulos semejantes de Euclides, calcularon la altura aparente de objetos distantes [10] [11] . Se han perdido pinturas con la perspectiva del propio Brunelleschi, pero la Trinidad de Masaccio nos permite ver el principio en acción [8] [12] [13] . El pintor italiano Paolo Uccello (1397-1475) quedó cautivado por la nueva técnica. En "La Batalla de San Romano " colocó lanzas rotas entre líneas de perspectiva [14] [15] .

La obra de Piero della Francesca (c. 1415-1492) es un ejemplo de la transición del Renacimiento italiano a una nueva ideología. Siendo un gran matemático y, en particular, un geómetra, escribió obras sobre estereometría y teoría de la perspectiva. Entre ellos se encuentran " Sobre la perspectiva en la pintura " ( italiano:  De Prospectiva Pingendi ), "Tratado de cuentas" ( italiano:  Trattato d'Abaco ) y "Sobre los poliedros regulares" ( italiano:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . El historiador Giorgio Vasari en sus " Biografías " llama a Piero "el más grande geómetra de su tiempo, y quizás de todos los tiempos" [19] . El interés de Piero por la perspectiva se manifiesta en sus obras El Políptico de San Antonio [ 20 ] , El Retablo de San Agustín y La Flagelación de Jesucristo . Sus exploraciones geométricas influyeron en las siguientes generaciones de matemáticos y artistas, entre ellos Luca Pacioli y Leonardo da Vinci . Se sabe que Pierrot estudió las obras de los antiguos matemáticos, incluido Arquímedes [21] . Pierrot se formó en aritmética comercial en la " escuela del ábaco "; sus tratados están diseñados en el mismo estilo que los libros de texto de la "escuela" [22] . Quizás Piero estaba familiarizado con el " Libro del ábaco " (1202) de Fibonacci . La perspectiva lineal penetró gradualmente en el mundo del arte. En el tratado "Sobre la pintura" ( italiano:  De pictura , 1435), Alberti escribió: "los rayos de luz van desde los puntos del cuadro hasta el ojo a lo largo de una línea recta, formando una pirámide , donde el ojo es el vértice". Un cuadro pintado según el principio de la perspectiva lineal es una sección de esta pirámide [23] .

En Sobre la perspectiva en la pintura, Piero transforma sus observaciones empíricas sobre la perspectiva en expresiones y pruebas matemáticas. Siguiendo a Euclides, define un punto como “el objeto más pequeño perceptible al ojo” (en italiano:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero lleva al lector a la representación de cuerpos tridimensionales en dos -superficie dimensional usando razonamiento deductivo [24] .

El artista contemporáneo David Hockney afirma que desde la década de 1420 sus colegas utilizaron la cámara clara , lo que condujo a un aumento espectacular de la precisión y el realismo de las pinturas. Él cree que Ingres , van Eyck y Caravaggio [25] también usaron este dispositivo . La opinión de los expertos sobre este tema está dividida [26] [27] . El arquitecto Philip Steadman expresó otra hipótesis controvertida [28] sobre el uso de Vermeer de una cámara oscura [29] .

En 1509, Luke (c. 1447-1517) publicó un tratado "Sobre la proporción divina", dedicado a los aspectos matemáticos y artísticos de la proporción , incluido el rostro humano. Leonardo da Vinci (1452-1519), que estudió con Pacioli en la década de 1490, ilustró su texto con xilografías de poliedros regulares. Las imágenes alámbricas de poliedros realizadas por da Vinci son las primeras ilustraciones de esta naturaleza que nos han llegado [30] . Fue uno de los primeros en representar poliedros (incluido el rombicuboctaedro ) construidos sobre las caras de otras figuras; así es como Leonardo demostró la perspectiva. El tratado en sí está dedicado a la descripción de la perspectiva en las obras de Piero della Francesca, Melozzo da Forli y Marco Palmezzano [31] . Da Vinci estudió la "Suma" de Pacioli copiando tablas con proporciones [32] . Tanto " La Gioconda " como " La Última Cena " están construidas sobre el principio de la perspectiva lineal con un punto de fuga , lo que da a la imagen una profundidad visible [33] . La Última Cena utiliza las proporciones 12:6:4:3, también presentes en la Escuela de Atenas de Rafael . Pitágoras, representado en él, sostiene una mesa de proporciones ideales, a la que los pitagóricos atribuyeron un significado sagrado [34] [35] . El Hombre de Vitruvio Leonardo refleja las ideas del arquitecto romano Vitruvio ; dos figuras masculinas superpuestas están inscritas tanto en un círculo como en un cuadrado [36] .

Ya en el siglo XV, los pintores interesados ​​en las distorsiones visuales utilizaban la perspectiva curvilínea . El " Retrato de los Arnolfini " de Jan van Eyck (1343) tiene un espejo convexo que refleja las figuras de los héroes [37] . "Autorretrato en un espejo convexo" (c. 1523-1524) Parmigianino representa el rostro del artista casi sin distorsiones y un fondo fuertemente curvado y una mano ubicada en el borde [38] .

Los objetos tridimensionales se pueden representar de manera bastante convincente sin recurrir a la perspectiva. Las proyecciones oblicuas , incluida la perspectiva caballeresca (utilizada por los pintores de batalla franceses en el siglo XVIII para pintar fortificaciones), se observan de forma continua y ubicua entre los artistas chinos desde el siglo I-II hasta el siglo XVIII. Esta tradición llegó a los chinos desde la India y allí desde la antigua Roma. La proyección oblicua se ve en el arte japonés, como en las pinturas ukiyo-e de Torii Kiyonaga [39] .

• Paolo Uccello hizo un uso innovador de la perspectiva en su " Batalla de San Romano " (c. 1435-1460)

• Cámara lúcida en acción. Científico americano , 1879

• El artista y la cámara oscura . siglo 17

• Proporciones: el Hombre de Vitruvio de Leonardo , c. 1490

• El experimento de Brunelleschi con la perspectiva lineal

• Esquema del tratado de Alberti "Sobre la pintura" (1435). Perspectiva de cajas en una cuadrícula.

• Perspectiva curvilínea : un espejo convexo en Retrato de los Arnolfinis (1434) de van Eyck

• "Autorretrato en un espejo convexo". Parmigianino , ca. 1523-1524

• Pitágoras con una tabla de proporciones sobre la " Escuela de Atenas " de Rafael . 1509

• Proyección oblicua : El emperador Jiajing en una barcaza. Desplácese, está bien. 1538

• Proyección oblicua: yamen . Detalle de un pergamino sobre Suzhou . Xu Yang, orden del emperador Qianlong , siglo XVIII

• Proyección oblicua: mujeres jugando shogi , go y pan-sugoroku . Kiyonaga , ca. 1780

Proporción áurea

La proporción áurea , aproximadamente igual a 1,618, era conocida incluso por Euclides [40] . Muchos contemporáneos afirman [41] [42] [43] [44] que se utilizó en el arte y la arquitectura del Antiguo Egipto, la Antigua Grecia, pero no hay pruebas fiables de ello [45] . El surgimiento de esta suposición puede deberse a la confusión entre la proporción áurea y la "media áurea", que los griegos denominaban "la ausencia de exceso en cualquiera de las direcciones" [45] . Los piramidólogos desde el siglo XIX han estado hablando sobre el uso de la proporción áurea en el diseño de pirámides, argumentando su posición con dudosos argumentos matemáticos [45] [46] [47] . Lo más probable es que las pirámides se hayan construido sobre la base de un triángulo con lados 3-4-5 (ángulo de inclinación - 53 ° 8 '), que se menciona en el papiro de Ahmes , o sobre la base de un triángulo con coseno π / 4 (ángulo de inclinación - 51° 50') [48] . Fachada y suelo del Partenón , construido en el siglo V a. mi. en Atenas , supuestamente diseñado sobre la base de la proporción áurea [49] [50] [51] . Esta afirmación también es refutada por mediciones reales [45] . Se cree que la proporción áurea también se utilizó en el diseño de la Gran Mezquita de Kairouan en Túnez [52] . Sin embargo, este valor no se encuentra en el diseño original de la mezquita [53] . El historiador de la arquitectura Frederic Makody Lund afirmó en 1919 que la catedral de Chartres (siglo XII), Lane (1157-1205) y la catedral de Notre-Dame de París (1160) fueron diseñadas de acuerdo con el principio de la proporción áurea [54] . Algunos investigadores sostienen que antes de la publicación de la obra de Pacioli en 1509, la sección no era conocida ni por los artistas ni por los arquitectos [55] . Por ejemplo, la altura y el ancho de la fachada de Notre-Dame de la Lane tienen una relación de 8/5 o 1,6, pero no de 1,618. Esta proporción es una de las proporciones de Fibonacci que es difícil de distinguir de la proporción áurea porque convergen en 1.618 [56] . La proporción áurea se observa entre los seguidores de Pacioli, incluida la Gioconda de Leonardo [57] .

Simetrías planas

Las simetrías planas se han observado durante varios miles de años en el tejido de alfombras, pavimentación, tejido y la creación de objetos de celosía [58] [59] [60] [61] .

Muchas alfombras tradicionales, ya sean shaggy o kilim (tejido plano), se dividen en un medallón central y una sección de borde. Ambas partes pueden contener elementos simétricos, mientras que la simetría de las alfombras hechas a mano es a menudo violada por los detalles del autor, el patrón y las variaciones de color [58] . Los motivos de los kilims de Anatolia suelen ser simétricos en sí mismos. El patrón general implica la presencia de rayas, incluidas aquellas con motivos intermitentes, y similitudes de formas hexagonales. La parte central se puede caracterizar por el grupo de papel tapiz pmm, mientras que el marco se puede caracterizar por los grupos de borde pm11, pmm2 o pma2. Los kilims de Turquía y Asia Central, por regla general, tienen al menos tres fronteras, descritas por diferentes grupos. Los fabricantes de alfombras definitivamente buscaban la simetría, aunque no estaban familiarizados con sus matemáticas [58] . El matemático y teórico de la arquitectura Nikos Salingaros cree que el efecto estético de las alfombras viene dado por técnicas matemáticas especiales, cercanas a las teorías del arquitecto Christopher Alexander . Como ejemplo, cita alfombras konianas del siglo XVII con dos medallones. Estas técnicas involucran la construcción de pares opuestos de objetos; contraste de color; diferenciación geométrica de áreas mediante figuras complementarias o coordinación de esquinas agudas; introducción de figuras complejas (comenzando con nodos individuales); construcción de pequeñas y grandes figuras simétricas; reproducción de figuras a mayor escala (la relación de cada nuevo nivel con el anterior es de 2,7). Salingaros afirma que cualquier alfombra exitosa cumple al menos nueve de diez condiciones. Además, considera posible vestir los indicadores dados en forma de una métrica estética [62] .

Hábiles enrejados de jali indios , creados a partir de mármol, adornan palacios y tumbas [59] . Las celosías chinas, siempre dotadas de algún tipo de simetría, a menudo espejadas , doblemente espejadas o rotativas  , están representadas en 14 de los 17 grupos de papel tapiz. Algunos tienen un medallón central, algunos tienen un borde que pertenece a un grupo de bordes [63] . Muchas cuadrículas chinas han sido analizadas matemáticamente por Daniel S. Dai. Pudo establecer que el centro de este arte es la provincia de Sichuan [64] .

Las simetrías son comunes en las artes textiles como el acolchado [60] , el tejido de punto [65] , el ganchillo [66] , el bordado [67] [68] , el punto de cruz y el tejido [69] . Es de destacar que la simetría en el tejido puede ser puramente decorativa o simbolizar el estatus del propietario [70] . La simetría rotacional ocurre en objetos circulares. Muchas cúpulas están decoradas con patrones simétricos por dentro y por fuera, como la Mezquita Sheikh Lutfulla (1619) en Isfahan [71] . Las simetrías reflexivas y rotacionales son características de los elementos bordados y de encaje de los manteles y manteles, creados con la técnica de bobinas o frivolité . Estos objetos también son objeto de estudio matemático [72] .

El arte islámico muestra simetrías en muchas formas, en particular el mosaico persa girih . Está formado por cinco formas de mosaico: un decágono regular, un pentágono regular, un decágono alargado, un rombo y una figura que se asemeja a una pajarita . Todos los lados de estas figuras son iguales, todos sus ángulos son múltiplos de 36° (π/5 radianes ), lo que da simetrías de cinco y diez veces. El azulejo está decorado con un adorno entrelazado (girih propiamente dicho), que suele ser más visible que los bordes del azulejo. En 2007, los físicos Peter Lu y Paul Steinhardt notaron la semejanza de girih con los mosaicos cuasi -cristalinos de Penrose [73] . Los azulejos zellige ajustados geométricamente son un elemento característico de la arquitectura marroquí [61] . Los saods o mocárabes de nido de abeja son tridimensionales, pero fueron diseñados -dibujando celdas geométricas- en dos dimensiones [74] .

• Brocado de la Dinastía Ming (detalle) con rejilla hexagonal

• Celosía de mármol de Jali . Mausoleo de Salim Chishti , Fatehpur Sikri , India

• Simetrías: tapiz con bordado bargello florentino

• Bóvedas de la Mezquita Sheikh Lutfulla , Isfahan , 1619

• Simetría rotacional en encaje : técnica de frivolité

• Mosaico girih : patrones grandes y pequeños en el seno de la bóveda del templo de Darb-i Imam, Isfahan, 1453

• Parquet : mosaico zellige en Bou Inania Madrasa, Fez , Marruecos

• Geometría compleja de bóvedas de panal en la Mezquita Sheikh Lutfulla , Isfahan

• Bóveda de nido de abeja sobre plano del arquitecto. Pergamino de Topkapi

• Tupac Tupac Inca Yupanqui . Perú , 1450–1540 Tejido andino simboliza alto estatus [70]

Poliedros

Los poliedros regulares  son uno de los temas más comunes en el arte occidental. El pequeño dodecaedro estrellado , por ejemplo, se encuentra en los mosaicos de mármol de la basílica de San Marcos en Venecia ; la autoría se atribuye a Paolo Uccello [14] . Los poliedros regulares de Da Vinci están ilustrados en Sobre la divina proporción [14] de Luca Pacioli . El rombicuboctaedro de vidrio se encuentra en el retrato de Pacioli (1495) de Jacopo de Barbari [14] . Un poliedro truncado y muchos otros objetos relacionados con las matemáticas están presentes en el grabado de Durero " Melancolía " [14] . La Última Cena de Salvador Dalí representa a Cristo y sus discípulos dentro de un dodecaedro gigante .

Alberto Durero (1471-1528), grabador y artista gráfico del Renacimiento alemán, contribuyó a la teoría al publicar el libro "Guía de medición" (en alemán:  Underweysung der Messung ) en 1525. El trabajo está dedicado a la perspectiva lineal, la geometría en arquitectura, los poliedros regulares y los polígonos. Probablemente, Durero se inspiró en las obras de Pacioli y Piero della Francesca durante sus viajes por Italia [75] . Las muestras de perspectiva en la "Guía de medición" no están completamente desarrolladas y son inexactas, pero Durero iluminó completamente los poliedros. Es en este texto donde se menciona por primera vez el desarrollo de un poliedro , es decir, el despliegue de un poliedro (por ejemplo, de papel) en una figura plana que se puede imprimir [76] . Otro trabajo influyente de Durero es Cuatro libros sobre proporciones humanas ( alemán:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

El famoso grabado de Durero "Melancholia" representa a un pensador triste sentado en un trapezoedro triangular truncado y un cuadrado mágico [1] . Estos dos objetos y el grabado en su conjunto son de gran interés para los investigadores modernos en toda la obra de Durero [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster publicó un libro de dos volúmenes sobre Melancholia [80] , mientras que Erwin Panofsky analiza el trabajo en su monografía [1] [81] . " Cuerpo hipercúbico " de Salvador Dalí contiene un despliegue tridimensional de un hipercubo  - un poliedro regular de cuatro dimensiones [82] .

Dimensiones fractales

La pintura batik tradicional de Indonesia utiliza cera como reserva. Sus motivos pueden corresponder a los elementos del mundo circundante (por ejemplo, las plantas) o ser abstractos, incluso caóticos. Es posible que la reserva no se aplique con precisión, el agrietamiento (cracking) de la cera mejora el efecto de aleatoriedad. La pintura tiene una dimensión fractal de 1 a 2, dependiendo de la región de origen. Por ejemplo, el batik de Cirebon tiene una dimensión de 1,1, la dimensión del batik de Yogyakarta y Surakarta ( Java central ), de 1,2 a 1,5; Lasem (Norte de Java) y Tasikmalai (Oeste de Java) tienen dimensiones de 1,5 a 1,7 [83] .

El trabajo del artista contemporáneo Jackson Pollock en la técnica del goteo también se destaca por su dimensión fractal: La pintura "Número 14" ( ing.  Número 14 , 1948) tiene una dimensión de 1,45. Sus obras posteriores se caracterizan por una mayor dimensión, lo que indica un mejor estudio de los patrones. Una de las últimas pinturas de Pollock ,  Blue Poles , mide 1,72 y tardó seis meses en completarse .

Relaciones complejas

El astrónomo Galileo Galilei escribió en su tratado "El maestro de los ensayos " que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas , y que los símbolos de este lenguaje son triángulos, círculos y otras figuras geométricas [85] . Según Galileo, los artistas que quieren conocer la naturaleza deben ante todo entender las matemáticas. Los matemáticos, por otro lado, intentaron analizar las bellas artes a través del prisma de la geometría y la racionalidad (en el sentido matemático de la palabra). El matemático Felipe Kuker sugirió que esta ciencia, y la geometría en particular, sirven como un conjunto de reglas para la "creación artística guiada por reglas" ( ing.  "creación artística guiada por reglas" ), aunque no la única [86] . A continuación se describen algunos ejemplos particularmente dignos de mención de esta compleja relación [87] .

Las matemáticas como arte

El matemático Jerry P. King escribe sobre las matemáticas como un arte, argumentando que las claves son la belleza y la elegancia, no el aburrido formalismo. King cree que es la belleza lo que motiva a los investigadores en este campo [88] . Cita el ensayo " Apología de un matemático " (1940) de otro matemático G. H. Hardy , donde confiesa su amor por dos teoremas antiguos: la prueba de la infinidad de los números primos de Euclides y la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. King evalúa este último de acuerdo con los criterios de belleza en matemáticas de Hardy : seriedad, profundidad, generalidad, sorpresa, inevitabilidad y economía (cursivas de King) y concluye que la prueba es "estéticamente atractiva" [89] . El matemático húngaro Pal Erdős también habla de la belleza de las matemáticas, cuyas dimensiones no pueden expresarse con palabras: “¿Por qué los números son bellos? Sería equivalente a preguntar por qué la Novena Sinfonía de Beethoven es bella . Si no lo ves, nadie te lo puede explicar. Sé que los números son hermosos”. [90] [91]

Herramientas matemáticas del arte

En el contexto de las artes visuales, las matemáticas le dan al creador muchas herramientas, como la perspectiva lineal, descrita por Brook Taylor y Johann Lambert , o la geometría descriptiva , observada ya en Albrecht Dürer y Gaspard Monge , y ahora utilizada para el modelado de software tridimensional. objetos [92] . Desde la Edad Media (Pacioli) y el Renacimiento (da Vinci y Durero), los artistas han utilizado los logros de las matemáticas con fines creativos [93] [94] . Con la excepción de los rudimentos de la perspectiva en la arquitectura griega antigua, su uso generalizado comenzó en el siglo XIII, entre los pioneros estuvo Giotto . La regla del punto de fuga fue formulada por Brunelleschi en 1413 [8] . Su descubrimiento inspiró no solo a da Vinci y Durero, sino también a Isaac Newton , quien estudió el espectro óptico , a Goethe , quien escribió el libro " Sobre la teoría del color ", y luego a nuevas generaciones de artistas, entre los que se encontraban Philip Otto Runge , William Turner [95] , Prerrafaelitas y Wassily Kandinsky [96] [97] . Los artistas también exploran las simetrías presentes en la composición [98] . Las herramientas matemáticas pueden ser utilizadas por estudiosos del arte o por los propios artesanos, como en el caso del artista gráfico M.C. Escher (con aportes de Harold Coxeter ) o el arquitecto Frank Gehry . Este último afirma que los sistemas de diseño asistidos por computadora le han dado formas completamente nuevas de expresarse [99] .

El artista Richard Wright cree que los modelos visuales de objetos matemáticos sirven para simular un determinado fenómeno o son objetos de arte por computadora . Wright ilustra su posición con una imagen del conjunto de Mandelbrot , generada por un autómata celular y renderizado por computadora ; refiriéndose a la prueba de Turing , discute si los productos de los algoritmos pueden ser considerados arte [100] . El mismo enfoque se observa en Sasho Kalaidzewski, quien considera objetos matemáticos visualizados: parquet, fractales, figuras de geometría hiperbólica [101] .

Uno de los pioneros del arte por computadora fue Desmond Paul Henry, quien creó "Drawing Machine 1". En 1962 [102] [103] se presentó al público un mecanismo de computación analógico basado en la computadora bombsight . La máquina podía crear diseños complejos, abstractos, asimétricos, curvilíneos, pero repetitivos [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh crea figuras de peces, pájaros y otros objetos del mundo real usando familias de curvas [105] [106] [107] . Los artistas contemporáneos, incluido Mikael H. Christensen, trabajan en el género del arte algorítmico, creando guiones para software. Un sistema dirigido por artistas aplica operaciones matemáticas a un conjunto dado de datos [108] [109] .

• Escultura matemática de Bathsheba Grossman, 2007

• Escultura fractal : 3D Fraktal 03/H/dd de Hartmut Skerbisch, 2003

• La palabra de Fibonacci : detalle de una obra de Samuel Monnier, 2009

• Pieza de arte por computadora , creada por "Drawing Machine 1" de Desmond P. Henry, 1962

• "Flying Bird" de Hamid Naderi Yeganeh está formada por una familia de curvas

De las matemáticas al arte

Se sabe que el libro "Ciencia e hipótesis" (1902) del matemático y físico Henri Poincaré fue leído por muchos cubistas , entre ellos Pablo Picasso y Jean Metzinger [111] [112] . Poincaré vio en la geometría euclidiana no una verdad objetiva, sino solo una de las muchas configuraciones geométricas posibles. La posible existencia de una cuarta dimensión inspiró a los artistas a desafiar la perspectiva clásica del Renacimiento y recurrieron a geometrías no euclidianas [113] [114] [115] . Uno de los requisitos previos del cubismo fue la idea de una expresión matemática de la trama en color y forma. La historia del abstraccionismo comienza con el cubismo [116] . En 1910, Metzinger escribió: "[Picasso] crea una perspectiva libre y móvil, de la cual el ingenioso matemático Maurice Princet derivó toda una geometría" [117] . En sus memorias, Metzinger recordó:

“Maurice Princet nos visitaba a menudo;... comprendía las matemáticas como un artista, como un esteta apelaba a continuos n - dimensionales. Le gustaba inculcar en los artistas el interés por nuevas visiones del espacio , que fueron descubiertas por Schlegel y varios otros. En esto sobresalió". [118]

Modelar formas matemáticas con fines de investigación o enseñanza conduce inevitablemente a figuras extrañas o hermosas. Fueron influenciados por los dadaístas Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] y Max Ernst [121] [122] e Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray fotografió modelos de figuras geométricas en el Instituto de París. Poincaré. Una de las obras más famosas de ese ciclo es El objeto matemático (en francés:  Objet mathematique , 1934). El artista indica que el "Objeto" son superficies de Enneper con curvatura negativa constante , derivadas de una pseudoesfera . La base matemática era extremadamente importante para él; las matemáticas le permitieron refutar el carácter "abstracto" del "Objeto". Man Ray afirmó que la figura capturada es tan real como el urinario que Duchamp convirtió en un objeto de arte. Sin embargo, admitió: "[La fórmula superficial de Enneper] no significa nada para mí, pero las formas en sí mismas eran tan variadas y auténticas como las que se encuentran en la naturaleza". Usó fotografías del Instituto Poincaré en obras basadas en las obras de Shakespeare , por ejemplo, al crear Antonio y Cleopatra (1934) [124] . El columnista Jonathan Keats, escribiendo en ForbesLife , afirma que Man Ray fotografió "paraboloides elípticos y puntos cónicos de la misma manera sensual en que Kiki de Montparnasse pintó " [125] y que "repensó ingeniosamente los fríos cálculos de los matemáticos para revelar la topología" . del deseo” [126] [127] . Escultores del siglo XX, incluidos Henry Moore , Barbara Hepworth y Nahum Gabo , también encontraron inspiración en los modelos matemáticos [128] . De su creación Stringed Mother and Child ( 1938 ), Moore dijo :  “Indudablemente, la fuente de mis figuras de cuerdas fue el Museo de la Ciencia ;... Estaba fascinado por los modelos matemáticos que vi allí;... No estaba emocionado por el estudio científico de estos modelos, sino la capacidad de ver a través de las cuerdas como un pájaro mira desde una jaula, y la capacidad de ver una forma dentro de otra”. [129] [130]

Los artistas Theo van Doesburg y Piet Mondrian fundaron el movimiento " De Stijl ", que tenía como objetivo "crear un vocabulario visual de formas geométricas elementales, comprensible para todos y aplicable a cualquier disciplina" [132] [133] [134] . Muchas de sus obras parecen un plano rayado con rectángulos y triángulos, a veces círculos. Los miembros de "De Stijl" pintaron cuadros, crearon muebles e interiores y se dedicaron a la arquitectura [133] . Cuando el movimiento colapsó, van Doesburg organizó el grupo de vanguardia Art Concret ( en francés:  Art concret , "arte concreto"). De su propia "Composición aritmética" (1929-1930), van Doesburg escribió: "una estructura que puede ser controlada, una cierta superficie sin elementos aleatorios o capricho personal" [135] , mientras que "no desprovisto de espíritu, no desprovisto de la universal y no... vacío, porque todo corresponde al ritmo interior” [136] . La crítica Gladys Fabre ve dos progresiones en la "Composición": el crecimiento de los cuadrados negros y el cambio de fondo [137] .

Las matemáticas de los parquets , los poliedros, las formas del espacio y la autorreproducción dieron al artista gráfico M. K. Escher (1898-1972) un suministro de tramas para toda la vida [138] [139] . Usando los mosaicos de la Alhambra como ejemplo, Escher demostró que se puede crear arte usando figuras simples. Para impulsar el avión, utilizó polígonos irregulares, reflejos, simetría oblicua y traslación paralela . Creando contradicciones entre la proyección en perspectiva y las propiedades del espacio tridimensional, representó construcciones imposibles en el mundo real, pero estéticas. La litografía " Descending and Ascending " (1960) nos muestra una escalera imposible , cuyo descubrimiento está asociado con los nombres de Lionel (padre) y Roger (hijo) Penrose [140] [141] [142] .

Las teselaciones creadas por Escher son bastante numerosas, y algunas de las ideas nacieron de conversaciones con el matemático Harold Coxeter sobre geometría hiperbólica [143] . Sobre todo, Escher estaba interesado en cinco poliedros: tetraedros, cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros. Las figuras aparecieron repetidamente en su obra, pero son especialmente notables en "Orden y caos" (1950) y "Cuatro poliedros regulares" (1961) [144] . Estas formaciones estrelladas descansan dentro de otra figura, lo que distorsiona aún más el ángulo de visión y la percepción de los poliedros [145] .

La complejidad visual de los parquets y poliedros formó la base de muchas obras de arte. Stuart Coffin crea rompecabezas poliédricos a partir de maderas raras, George W. Hart estudia y esculpe poliedros y Magnus Wenninger crea modelos de formaciones estelares [146] .

Las perspectivas distorsionadas de la anamorfosis se conocen en la pintura desde el siglo XVI. En 1553, Hans Holbein Jr. pintó " Embajadores ", colocando un cráneo muy distorsionado en primer plano. Posteriormente, se agregaron técnicas anamórficas al arsenal de Escher y otros gráficos [147] .

Las tramas topológicas son perceptibles en el arte contemporáneo . El escultor John Robinson (1935-2007) es conocido por sus obras Gordian Knot y Bands of Friendship ,  ilustraciones de la teoría del nudo en bronce pulido [9] . Algunas de las otras esculturas de Robinson tratan sobre la topología de los toros . La "Creación" ( ing. Génesis ) se basa en el principio de los anillos borromeos : tres círculos no están unidos en pares, pero solo pueden desacoplarse destruyendo toda la estructura [148] . Helaman Ferguson esculpe superficies y otros objetos topológicos [149] . Su trabajo The Eightfold Way se basa en el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7) , un grupo finito con 168 elementos [150] [151] . La escultora Bathsheba Grossman también es conocida por incorporar estructuras matemáticas [152] [153] .    

Objetos como la variedad de Lorentz y el plano hiperbólico son recreados por maestros del arte del tejido, incluido el ganchillo [154] [155] [156] . En 1949, la tejedora Ada Dietz publicó la monografía Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles , donde proponía nuevos esquemas de tejido basados ​​en la expansión de polinomios multidimensionales [157] . Usando la regla de 90 para un autómata celular , el matemático Jeffrey C. P. Miller creó tapices que representan árboles y patrones abstractos de triángulos [158] ; los autómatas celulares también se utilizan para crear directamente arte visual digital [159] . Math Knitters [  160] [ 161] Pat Ashforth y Steve Plummer tejen patrones para el hexaflexágono y otras figuras para los estudiantes. Es de destacar que no pudieron atar la esponja de Menger : estaba hecha de plástico [162] [163] . El proyecto mathghans de Ashforth y Plummer [ 164 ] ha contribuido a incorporar la teoría del tejido en los planes de estudio de matemáticas y tecnología del Reino Unido [165] [166] .  

• " De Stijl ": "Composición I. Naturaleza muerta" (1916) de Theo van Doesburg

• De la pedagogía al arte: Magnus Wenninger y sus poliedros estrellados , 2009

• Bufanda con tiras de Mobius . Ganchillo, 2007

• Anamorfosis : " Embajadores " (1553) de Hans Holbein el Joven . En primer plano hay un cráneo muy distorsionado.

Ilustrando matemáticas

El modelado está lejos de ser la única forma de ilustrar conceptos matemáticos. El Tríptico de Stefaneschi (1320) de Giotto contiene una recursividad . El panel central del anverso (abajo a la izquierda) nos muestra al propio cardenal Stefaneschi; arrodillándose, ofrece como regalo un pequeño ejemplar del Tríptico [167] . Las pinturas metafísicas de Giorgio de Chirico , incluido El gran interior metafísico (1917), tratan los temas de los niveles de representación en el arte; de Chirico pinta cuadros dentro de cuadros [168] .

El arte puede capturar paradojas lógicas. El surrealista René Magritte creó sus pinturas como bromas semióticas , cuestionando la relación entre las superficies. La pintura " Las condiciones de la existencia humana " (1933) representa un caballete con un lienzo; el paisaje apoya la vista desde la ventana, cuyos marcos están indicados por cortinas. Escher construyó la trama de The Picture Gallery (1956) de la misma manera: una visión distorsionada de la ciudad, una galería ubicada en la ciudad, la pintura misma como una exhibición. La recursividad continúa ad infinitum [169] . Magritte también distorsionó la realidad de otras maneras. Mental Arithmetic (1931) describe un asentamiento donde las casas se sientan una al lado de la otra con bolas y cuboides, como si los juguetes de los niños hubieran crecido hasta proporciones gigantescas [170] . Un periodista de The Guardian comentó que el "espeluznante plan de una ciudad de juguete" [171] se convirtió en una profecía, presagiando la usurpación de las "antiguas formas convenientes" [172] por parte de los modernistas . Al mismo tiempo, Magritte juega con la tendencia humana a buscar patrones en la naturaleza [173] .

El último cuadro de Salvador Dalí , La cola de golondrina (1983), concluye una serie de obras inspiradas en la teoría de las catástrofes de René Thomas [174] . El pintor y escultor español Pablo Palazuelo (1916-2007) desarrolló un estilo que denominó "la geometría de la vida y de toda la naturaleza". Las obras de Palazuelo son conjuntos cuidadosamente estructurados y coloreados de figuras simples. Como medio de autoexpresión, utiliza transformaciones geométricas [9] .

Los artistas no siempre toman la geometría literalmente. En 1979 se publicó el libro Gödel , Escher, Bach de Douglas Hofstadter , donde reflexiona sobre los patrones del pensamiento humano, incluyendo la conexión del arte con las matemáticas:

“La diferencia entre los dibujos de Escher y la geometría no euclidiana es que en la última es posible encontrar interpretaciones significativas para conceptos indefinidos de tal manera que el sistema se vuelve inteligible, mientras que en el primero el resultado final es inconsistente con nuestra concepción del mundo, no importa cuánto tiempo consideremos la imagen". [175]

Hofstadter se refiere a la paradoja de la "Galería de imágenes" de Escher, caracterizándola como un "bucle extraño o una jerarquía intrincada" [176] de niveles de realidad. El propio artista no está representado en este ciclo; ni su existencia ni el hecho de la autoría son paradojas [177] . El vacío en el centro de la imagen atrajo la atención de los matemáticos Bart de Smit y Hendrik Lenstra. Sugieren la presencia del efecto Droste : la imagen se reproduce a sí misma en forma rotada y comprimida. Si el efecto Droste está realmente presente, la recurrencia es aún más complicada de lo que concluyó Hofstadter [178] [179] .

Análisis de la historia del arte

El análisis algorítmico de obras de arte, por ejemplo, la fluorescencia de rayos X , permite detectar capas pintadas posteriormente por el autor, restaurar la apariencia original de imágenes agrietadas u oscurecidas, distinguir copias del original y distinguir la mano del maestro de del estudiante [180] [181] .

La técnica del "dripping" de Jackson Pollock [182] destaca por su dimensión fractal [183] . Posiblemente el caos controlado de Pollock [184] fue influenciado por Max Ernst. Haciendo girar un cubo de pintura con el fondo perforado sobre el lienzo, Ernst creó figuras de Lissajous [185] . El informático Neil Dodgson trató de averiguar si los lienzos a rayas de Bridget Riley podían caracterizarse matemáticamente . Un análisis de las distancias entre las bandas "dio un resultado definitivo", en algunos casos se confirmó la hipótesis de la entropía global , pero no hubo autocorrelación , ya que Riley varió los patrones. Funcionaba mejor la entropía local, lo que concordaba con las tesis del crítico Robert Koudelka sobre la obra del artista [186] .

En 1933, el matemático estadounidense George D. Birkhoff presentó al público el trabajo "Medida estética", una teoría cuantitativa de la calidad estética de la pintura. Birkhoff excluyó las cuestiones de connotación de la consideración, centrándose en las propiedades geométricas ("elementos de orden") de la imagen como polígono. La métrica aditiva toma valores de -3 a 7 y combina cinco características:

• si hay un eje de simetría vertical;
• si hay equilibrio óptico;
• cuál es el número de simetrías de rotación;
• qué tan similar es la figura al papel tapiz;
• si existen propiedades desfavorables como excesiva proximidad de vértices.

La segunda métrica refleja el número de líneas que contienen al menos un lado del polígono. Birkhoff define la medida de la estética de un objeto como una proporción . La actitud puede interpretarse como un equilibrio entre el placer que proporciona la contemplación de un objeto y la complejidad de la construcción. La teoría de Birkhoff ha sido criticada desde varios puntos de vista, reprochándole su intención de describir la belleza con una fórmula. El matemático afirmó que no tenía tal intención [187] .

Alimentos para la investigación

Hay casos en que el arte sirvió como estímulo para el desarrollo de las matemáticas. Habiendo formulado la teoría de la perspectiva en arquitectura y pintura, Brunelleschi abrió toda una serie de estudios, que incluían el trabajo de Brooke Taylor y Johann Lambert sobre los fundamentos matemáticos de la perspectiva [188] . Sobre esta base Gerard Desargues y Jean-Victor Poncelet erigieron la teoría de la geometría proyectiva [189] .

Los métodos matemáticos permitieron a Tomoko Fuse desarrollar el arte japonés del origami . Utilizando módulos , ensambla a partir de piezas de papel congruentes, por ejemplo, cuadrados, poliedros y parquets [190] . En 1893, T. Sundara Rao publicó Ejercicios geométricos en el plegado de papel, donde dio pruebas visuales de varios resultados geométricos [191] . Los descubrimientos más importantes en el campo de las matemáticas del origami incluyen el teorema de Maekawa [192] , el teorema de Kawasaki [193] y las reglas de Fujita [194] .

• Presagio de la geometría proyectiva : esquema de LB Alberti (1435-1436) que muestra la percepción de un círculo en perspectiva

• Matemáticas de origami : "Primavera en acción" de J. Beynon creada a partir de una sola hoja de papel rectangular [195]

De la ilusión al arte óptico

Las ilusiones ópticas , incluida la espiral de Fraser, demuestran las limitaciones de la percepción humana de las imágenes visuales. El historiador del arte Ernst Gombrich llamó a los efectos que creaban "trucos incomprensibles" [196] . Las rayas blancas y negras, que a simple vista forman una espiral , en realidad son círculos concéntricos . A mediados del siglo XX, surgió un estilo de arte óptico que explotaba las ilusiones para dar dinamismo a las pinturas, para crear el efecto de parpadeo o vibración. Representantes célebres de la dirección, en virtud de una conocida analogía también conocida como "op art", son Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Geometría Sagrada

La idea de un Dios-geómetra y la naturaleza sagrada de la geometría de todas las cosas se conoce desde la antigua Grecia y se puede rastrear en la cultura de Europa occidental. Plutarco señala que tales puntos de vista fueron sostenidos por Platón : "Dios geometriza incesantemente" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Los puntos de vista de Platón tienen sus raíces en el concepto pitagórico de armonía musical, donde las notas están espaciadas en proporciones ideales dictadas por la longitud de las cuerdas de la lira. Por analogía con la música, los poliedros regulares (“sólidos platónicos”) establecen las proporciones del mundo circundante y, como resultado, las tramas en el arte [199] [200] . Una famosa ilustración medieval de Dios creando el universo con una brújula se refiere al versículo bíblico : “Cuando estaba preparando los cielos, yo estaba allí. Cuando trazó un círculo sobre la faz del abismo” ( Libro de los Proverbios de Salomón , 8:27) [201] . En 1596, el matemático y astrónomo Johannes Kepler presentó un modelo del sistema solar  : un conjunto de sólidos platónicos anidados que representan los tamaños relativos de las órbitas planetarias [201] . La pintura "El Gran Arquitecto " de William Blake , así como su monotipo "Newton", donde el gran científico es representado como un geómetra desnudo, demuestran el contraste entre el mundo espiritual matemáticamente perfecto y el físico imperfecto [202] . De la misma manera, se puede interpretar el " Cuerpo hipercúbico " de Dalí , donde Cristo está crucificado en un despliegue tridimensional de un hipercubo tetradimensional . Según el artista, el ojo divino puede medir más que el humano [82] . Dalí imaginó la última comida de Cristo con los discípulos dentro de un gigantesco dodecaedro [203] ,

• Dios geómetra. Frontispicio de " Bible moralisée ". Códice Vindobonensis 2554. c. 1220

• " Copa Kepler ": modelo de cinco polígonos regulares del sistema solar . " El Misterio del Universo ", 1596

• "El gran arquitecto " (1794) de William Blake

• " Cuerpo hipercúbico " (1954) Dalí

Véase también

• Matemáticas y arquitectura.

Notas

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Literatura

• Voloshinov A. V. Matemáticas y arte: un libro para aquellos que no solo aman las matemáticas o el arte, sino que también quieren reflexionar sobre la naturaleza de la belleza y la belleza de la ciencia. 2ª edición, revisada y ampliada . - M. : Educación, 2000. - 399 p. — ISBN 5-09-008033-X . (Ruso)

Enlaces

• Conferencia de la Organización Bridges sobre las conexiones entre el arte y las matemáticas
• Cerrando la brecha entre las matemáticas y el arte  : presentación de diapositivas de Scientific American
• Conexiones en el espacio - topología en el arte
• Descubriendo el arte de las matemáticas
• Matemáticas y Arte  - AMS
• Matemáticas y Arte  - Cut-the-Knot
• Imágenes Matemáticas  — American Mathematical Society
• Matemáticas en Arte y Arquitectura  - Universidad Nacional de Singapur
• Arte Matemático  - Museo Virtual de Matemáticas
• Cuando el arte y las matemáticas chocan  — Science News
• Por qué la historia de las matemáticas es también la historia del arte : Lynn Gamwell en The Guardian

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