Deltoides

Deltoides (o curva de Steiner ) es una curva algebraica plana descrita por un punto fijo de un círculo que rueda a lo largo del lado interior de otro círculo, cuyo radio es tres veces el radio del primero.

El deltoides es un caso especial del hipocicloide en . $k=3$

Historia

Las cicloides ordinarias fueron estudiadas por Galileo Galilei y Marin Mersenne ya en 1599, pero las curvas cicloidales especiales fueron consideradas por primera vez por Ole Rømer en 1674 mientras estudiaba la mejor forma de dientes de engranaje. Leonhard Euler menciona por primera vez un deltoides real en 1745 en relación con un problema de óptica.

La curva obtuvo su nombre por su parecido con la letra griega Δ . Sus propiedades fueron estudiadas primero por L. Euler en el siglo XVIII y luego por J. Steiner en el XIX .

Ecuaciones

El deltoides se puede representar (hasta rotación y traslación paralela) mediante la siguiente ecuación paramétrica :

x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,

y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,

donde a es el radio del círculo rodante, b es el radio del círculo mayor a lo largo del cual rueda dicho círculo. (En la figura anterior , b = 3a ).

En coordenadas complejas, toma la forma

{\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it))

Ecuación implícita en un sistema rectangular :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x +27

Paramétrico:

{\begin{casos}x=2r\cos {t}+r\cos(2t)\\y=2r\sin {t}-r\sin(2t)\end{casos))

donde es un tercio del ángulo polar.

{\ Displaystyle t = {\ frac {\ varphi} {3}}}

En coordenadas polares, toma la forma

r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.

Propiedades

La curva tiene tres singularidades ( cúspide ) correspondientes a la ecuación paramétrica anterior. $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3))$
Los 3 vértices del deltoides son los 3 vértices de un triángulo equilátero .
El deltoides es una curva racional de género cero .
La longitud de la intersección del área delimitada por el deltoides con cualquiera de sus tangentes es fija e igual a , donde es el radio del círculo fijo. ${\tfrac {4}{3}}{\cdotR}$ $R$
Deltoides es una curva algebraica de orden 4.
La longitud de la curva , donde es el radio del círculo fijo. $\textstyle L={\frac {16}{3}}R$ $R$
El área delimitada por el deltoides, . $\textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}$
Deltoides tangentes a dos ramas (en la figura, las tres ramas son negras), dibujadas en dos puntos de los extremos del segmento de la tangente a su tercera rama (llamados dos puntos conectados, son azules en la figura), siempre se cortan en ángulo recto (no se muestra en la figura) . El vértice de este ángulo recto siempre se encuentra en el círculo de un círculo pequeño (en la misma figura, un círculo pequeño es rojo y está descrito por un punto rojo en el medio del segmento azul), tocando las tres ramas indicadas [1] .

Aplicaciones

Los deltoides surgen en varias áreas de las matemáticas. Por ejemplo:

El conjunto de valores propios complejos de matrices unistocásticas de tercer orden forma un deltoides .
La sección transversal del conjunto de matrices unistocásticas (unistocásticas) de tercer orden forma un deltoides.
El conjunto de posibles trazas de matrices unitarias pertenecientes al grupo SU(3) forma un deltoides.
La intersección de dos deltoides parametriza una familia de matrices complejas de Hadamard (Complex Hadamard matrix) de sexto orden.
Todas las líneas de Simson del triángulo dado forman envolturas en forma de deltoides. Se conoce como deltoides de Steiner o hipocicloide de Steiner en honor a Jakob Steiner , quien describió la forma y la simetría de la curva en 1856 [2] .
La envolvente de la familia de rectas que bisecan el área del triángulo es una curva tipo deltoides con vértices en los puntos medios de las tres medianas . Los arcos de este "deltoides" son los arcos de una hipérbola que tienen asíntotas que pasan por los lados del triángulo [3] [4] .
El deltoides se ha propuesto como solución al problema de la aguja .

Véase también

La astroide es una hipocicloide en . $k=4$
hipocicloide
Deltoides
Problema de aguja
recta de simson
Cicloide

Notas

↑ Savelov, 1960 , pág. 127.
↑ Lockwood, 1961 .
↑ Dunn, JA y Pretty, JA, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108.
↑ Área bisectrices de un triángulo . Consultado el 29 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 21 de noviembre de 2017. (indefinido)

Literatura

Savelov A.A._ _ Curvas planas: Sistemática, propiedades, aplicaciones. Guía de Referencia / Ed. AP Nórdico . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
V. Berezín. Deltoides // Kvant . - 1977. - Nº 3 . - S. 19 . (Ruso)
EH Lockwood. Capítulo 8: El deltoides // Un libro de curvas (inglés) . — Prensa de la Universidad de Cambridge , 1961.

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio