Longitud de la curva

La longitud de la curva (o, lo que es lo mismo, la longitud del arco de la curva ) es una característica numérica de la longitud de esta curva [1] . Históricamente, el cálculo de la longitud de una curva se denominaba enderezamiento de curvas (del latín rectificatio , enderezamiento).

Definición

Para el espacio euclidiano , la longitud de un segmento de curva se define como el límite superior mínimo de las longitudes de las líneas discontinuas inscritas en la curva.

Por ejemplo, sea paramétricamente dada una curva continua en un espacio tridimensional: $\gama$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(una)

donde , las tres funciones son continuas y no hay múltiples puntos, es decir, diferentes puntos de la curva corresponden a diferentes valores. Construimos todas las particiones posibles del intervalo paramétrico en segmentos: . Conectar los puntos de una curva con segmentos de línea da como resultado una línea discontinua. Luego, la longitud del segmento de la curva se define como el límite superior mínimo de las longitudes totales de todas esas líneas discontinuas [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $metro$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ ${\ estilo de visualización \ gamma (t_{0}), \ puntos, \ gamma (t_ {m})}$

Definiciones relacionadas

Toda curva tiene una longitud, finita o infinita. Si la longitud de la curva es finita, se dice que la curva es rectificable ; de lo contrario, no es rectificable . El copo de nieve de Koch es un ejemplo clásico de una curva acotada pero no rectificable; además, cualquiera, arbitrariamente pequeño de su arco, no es rectificable [3] .
La parametrización de una curva por la longitud de su arco se llama natural .
Una curva es un caso especial de una función de un segmento al espacio. La variación de la función , definida en el análisis matemático, es una generalización de la longitud de la curva (ver más abajo).

Propiedades

Si todas las funciones en (1) son funciones de variación acotada , entonces la longitud de la curva existe y es finita.

En el análisis matemático , se deriva una fórmula para calcular la longitud de un segmento de una curva dada por las ecuaciones (1), siempre que las tres funciones sean continuamente diferenciables : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

La fórmula implica que la longitud también se cuenta en la dirección del aumento del parámetro t . Si se consideran dos direcciones diferentes de contar la longitud desde un punto de la curva, a menudo es conveniente asignar un signo menos al arco en una de estas direcciones.

a\leqslant b

En el caso n -dimensional, en lugar de (2) tenemos una fórmula similar:

s=\int \limits_{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits_{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Si una curva plana está dada por la ecuación donde es una función uniforme en el intervalo de valores de los parámetros , entonces la longitud de la curva está determinada por la fórmula: $y=f(x),$ $F$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

En coordenadas polares :

(r,\varfi)

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi.

La fórmula de Crofton permite relacionar la longitud de una curva en un plano y la integral del número de sus intersecciones con líneas en una medida natural en el espacio de líneas.

Historia

El problema de enderezamiento resultó ser mucho más difícil que calcular el área , y en la antigüedad el único enderezamiento exitoso se realizaba para un círculo . Descartes incluso expresó la opinión de que "la relación entre líneas rectas y curvas es desconocida y, creo, ni siquiera puede ser conocida por las personas " [4] [5] .

El primer logro fue el enderezamiento de la parábola de Neil ( 1657 ), realizado por Fermat y el propio Neil . Pronto se encontró la longitud del arco de la cicloide ( Renne , Huygens ). James Gregory (incluso antes del descubrimiento del cálculo ) creó una teoría general para encontrar la longitud de un arco, que se usó inmediatamente para varias curvas.

Variaciones y generalizaciones

Espacio riemanniano

En un espacio riemanniano de n dimensiones con coordenadas , la curva viene dada por ecuaciones paramétricas: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

La longitud de una curva en un espacio de Riemann está dada por:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

donde: es el tensor métrico . Ejemplo: curva en una superficie en . $g_{ij}$ $\mathbb{R} ^{3}$

Espacio métrico general

En un caso más general de un espacio métrico arbitrario, la longitud de una curva es una variación del mapeo que define la curva, es decir, la longitud de la curva se determina según la fórmula: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\to X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

donde el límite superior se toma, como antes, sobre todas las particiones del segmento . $a=x_{0}<x_{1}<\puntos <x_{m}=b$ $[a,b]$

Véase también

Notas

↑ Extensión // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , pág. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , pág. 201-202.
↑ René Descartes. Geometría. Con la aplicación de obras seleccionadas de P. Fermat y correspondencia de Descartes / Traducción, notas y artículos de A. P. Yushkevich . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 p. - (Clásicos de las ciencias naturales).
↑ Cita original en francés : "la proporción qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes", véase Descartes , René. Discors de la method... . - 1637. - S. 340.

Literatura

Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . — M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Longitud, área, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral en tres volúmenes. - Ed. 6to. — M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Ejemplos y contraejemplos en el curso del análisis matemático. Tutorial. - M. : Escuela Superior, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio