Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría como ciencia de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo y otras figuras geométricas abarca más de dos milenios. La mayoría de estas relaciones no pueden expresarse mediante operaciones algebraicas ordinarias y, por lo tanto, fue necesario introducir funciones trigonométricas especiales , originalmente presentadas en forma de tablas numéricas.

Los historiadores creen que los antiguos astrónomos crearon la trigonometría ; un poco más tarde comenzó a usarse en geodesia y arquitectura . Con el tiempo, el alcance de la trigonometría se ha ampliado constantemente y hoy en día incluye casi todas las ciencias naturales, la tecnología y una serie de otros campos de actividad [1] . Las funciones trigonométricas resultaron especialmente útiles en el estudio de procesos oscilatorios ; el análisis armónico de funciones y otras herramientas de análisis también se basan en ellos . Thomas Paine , en su Age of Reason (1794), llamó a la trigonometría “el alma de la ciencia” [2] .

Período temprano

Los comienzos de la trigonometría se pueden encontrar en los manuscritos matemáticos del antiguo Egipto , Babilonia y la antigua China . El problema 56 del papiro Rinda (II milenio antes de Cristo) propone encontrar la pendiente de la pirámide, cuya altura es de 250 codos, y la longitud del lado de la base es de 360 ​​codos [3] .

Desde las matemáticas babilónicas, estamos acostumbrados a medir ángulos en grados, minutos y segundos (la introducción de estas unidades en las matemáticas griegas antiguas se suele atribuir a Hypsicles , siglo II a.C.). Entre los teoremas conocidos por los babilonios estaba, por ejemplo, el siguiente: un ángulo inscrito basado en el diámetro de un círculo es una línea recta [4] . El principal logro de este período fue la razón, que más tarde recibió el nombre de teorema de Pitágoras ; Van der Waerden cree que los babilonios lo descubrieron entre 2000 y 1786 a. mi. [5] Es posible que los chinos lo descubrieran de forma independiente (ver " Matemáticas en Nueve Libros "); no está claro si los antiguos egipcios conocían la formulación general del teorema, pero el " triángulo egipcio " de ángulo recto con lados 3, 4 y 5 era bien conocido y ampliamente utilizado allí [6] [7] .

Antigua Grecia

Una presentación general y lógicamente coherente de las relaciones trigonométricas apareció en la geometría griega antigua [8] . Los matemáticos griegos aún no destacaban la trigonometría como una ciencia separada, para ellos era parte de la astronomía [9] .

Trigonometría plana

Varios teoremas de naturaleza trigonométrica contienen los Elementos de Euclides (siglo IV a. C.). En el primer libro de los Elementos, los Teoremas 18 y 19 establecen que el lado mayor de un triángulo corresponde al ángulo opuesto mayor - y viceversa, el ángulo mayor corresponde al lado mayor. Los teoremas 20 y 22 formulan la " desigualdad triangular ": tres segmentos pueden formar un triángulo si y solo si la longitud de cada uno es menor que la suma de las longitudes de los otros dos. El teorema 32 demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

En el segundo libro de "Comienzos", el Teorema 12 es un análogo verbal del teorema del coseno [10] :

En los triángulos obtusos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo obtuso es mayor que la [suma] de los cuadrados de los lados que contienen el ángulo obtuso por el rectángulo doble encerrado entre uno de los lados en un ángulo obtuso, en el que la perpendicular cae, y el segmento cortado por esta perpendicular desde el exterior en una esquina obtusa.

El teorema 13 siguiente es una variante del teorema del coseno para triángulos acutángulos. Los griegos no tenían un análogo del teorema del seno , este descubrimiento tan importante se hizo mucho más tarde [11] .

El mayor desarrollo de la trigonometría está asociado con el nombre del astrónomo Aristarco de Samos (siglo III a. C.). En su tratado "Sobre las magnitudes y distancias del Sol y la Luna" se planteó el problema de determinar las distancias a los cuerpos celestes; esta tarea requería calcular la razón de los lados de un triángulo rectángulo dado el valor de uno de los ángulos. Aristarco consideró un triángulo rectángulo formado por el Sol, la Luna y la Tierra durante la cuadratura . Necesitaba calcular el valor de la hipotenusa (la distancia de la Tierra al Sol) a través del cateto (la distancia de la Tierra a la Luna) con un valor conocido del ángulo incluido (87°), lo que equivale a calcular el valor de . Según Aristarco, este valor se encuentra en el rango de 1/20 a 1/18, es decir, la distancia al Sol es 20 veces mayor que a la Luna [12] ; de hecho, el Sol está casi 400 veces más lejos que la Luna, un error debido a una imprecisión en la medida del ángulo. En el camino, Aristarco demostró la desigualdad, que en términos modernos se transmite mediante la fórmula:

La misma desigualdad está contenida en el "Cálculo de los granos de arena" de Arquímedes [13] . En los escritos de Arquímedes (siglo III a. C.) hay un importante teorema de división de cuerdas, esencialmente equivalente a la fórmula del seno de un medio ángulo [14] [15] :

Durante todo el período de desarrollo de la ciencia antigua, la astronomía siguió siendo el principal campo de aplicación de los resultados de la trigonometría plana entre los griegos. Además de la tarea de calcular distancias, la participación de la trigonometría requería la determinación de los parámetros del sistema de epiciclos y/o excentros que representan el movimiento de la estrella en el espacio. Según la opinión generalizada, este problema fue formulado y resuelto por primera vez por Hiparco (mediados del siglo II a. C.) al determinar los elementos de las órbitas del Sol y la Luna; es posible que los astrónomos de una época anterior también se dedicaran a tareas similares. También se le suele atribuir la autoría de las primeras tablas trigonométricas que no han llegado hasta nosotros [16] . Sin embargo, según algunas reconstrucciones, las primeras tablas trigonométricas se compilaron ya en el siglo III a. e., posiblemente por Apolonio de Perge [17] .

En lugar de la función seno moderna, Hiparco y otros matemáticos griegos antiguos generalmente consideraban la dependencia de la longitud de la cuerda de un círculo en un ángulo central dado (o, de manera equivalente, en un arco circular dado expresado en medida angular). En la terminología moderna, la longitud de la cuerda que subtiende el arco θ del círculo unitario es igual al doble del seno del ángulo central θ/2. Esta correspondencia es válida para cualquier ángulo: 0° < θ < 360°. Las primeras relaciones trigonométricas descubiertas por los griegos se formularon en el lenguaje de las cuerdas [1] . Por ejemplo, la fórmula moderna:

el teorema [18] correspondía entre los griegos :

donde  es la cuerda para el ángulo central ,  es el diámetro del círculo.

Al mismo tiempo, el radio del círculo no se consideraba igual a uno, como ahora. Por ejemplo, en Hipparchus, el radio de un círculo supuestamente se consideraba igual a R = 3438 unidades - con esta definición, la longitud de un arco de círculo era igual a la medida angular de este arco, expresada en minutos: , y esto cálculos facilitados. Ptolomeo tiene R = 60 unidades. Según reconstrucciones modernas [16] [19] , las cuerdas de Hiparco se tabularon a intervalos de 7°30'. Es posible que el cálculo de la tabla de Hiparco se basara en el método desarrollado por Arquímedes y que se remonta a Aristarco [20] .

Más tarde, el astrónomo del siglo II Claudio Ptolomeo , en el Almagesto , complementó los resultados de Hiparco. Los trece libros del Almagesto son el trabajo trigonométrico más significativo de toda la antigüedad. En particular, el Almagesto contiene extensas tablas de cuerdas de cinco dígitos para ángulos agudos y obtusos, con un paso de 30 minutos de arco [1] . Para calcular las cuerdas, Ptolomeo usó (en el Capítulo X) el teorema de Ptolomeo (conocido, sin embargo, por Arquímedes), que establece: la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo es igual al producto de las longitudes de sus diagonales. De este teorema es fácil derivar dos fórmulas para el seno y coseno de la suma de ángulos y dos más para el seno y coseno de la diferencia de ángulos, pero los griegos no tienen una formulación general de estos teoremas [21] .

El principal logro de la teoría trigonométrica antigua fue la solución en forma general del problema de "resolver triángulos" , es decir, encontrar los elementos desconocidos de un triángulo, en función de sus tres elementos dados (de los cuales al menos uno es un lado ) [8] . Posteriormente, este problema y sus generalizaciones se convirtieron en el principal problema de la trigonometría [1] : dados varios (generalmente tres) elementos conocidos de un triángulo, se requiere encontrar las cantidades restantes asociadas con él. Inicialmente, los elementos de un triángulo (conocidos o desconocidos) incluían lados y ángulos en los vértices, luego se les agregaron medianas , alturas , bisectrices , el radio de la circunferencia inscrita o circunscrita , la posición del centro de gravedad , etc. Los problemas trigonométricos aplicados son muy diversos: por ejemplo, se pueden especificar resultados medibles de acciones sobre las cantidades enumeradas (por ejemplo, la suma de ángulos o la relación de las longitudes de los lados).

trigonometría esférica

Paralelamente al desarrollo de la trigonometría plana, los griegos, bajo la influencia de la astronomía, avanzaron mucho en la trigonometría esférica . En los "Principios" de Euclides sobre este tema, solo hay un teorema sobre la relación de los volúmenes de bolas de diferentes diámetros, pero las necesidades de la astronomía y la cartografía provocaron el rápido desarrollo de la trigonometría esférica y áreas relacionadas: sistemas de coordenadas celestes , la teoría de las proyecciones cartográficas , la tecnología de los instrumentos astronómicos (en particular, fue el astrolabio fue [22] ).

Los historiadores no han llegado a un consenso sobre el grado de desarrollo de la geometría de la esfera celeste entre los antiguos griegos . Algunos investigadores argumentan que el sistema de coordenadas eclípticas o ecuatoriales se utilizó para registrar los resultados de las observaciones astronómicas al menos desde la época de Hipparchus [23] . Quizás, entonces se conocieron algunos teoremas de trigonometría esférica, que podrían ser utilizados para compilar catálogos estelares [24] y en geodesia .

Los primeros trabajos que conocemos sobre la "Esfera" (es decir, la geometría esférica, con un claro sesgo astronómico) escribieron [25] :

(siglo IV a. C.) Autólico de Pitana y Euclides ("Fenómenos"). (siglo II aC) Teodosio e Hypsicles .

Algunos de los problemas analizados en estos trabajos son de carácter trigonométrico, sin embargo, debido al escaso desarrollo de la teoría, los autores aún utilizan soluciones alternativas. Por ejemplo, la tarea “para encontrar la hora del amanecer completo (puesta) de la constelación del zodiaco ” Hypsicle resuelve aproximadamente usando números poligonales [25] .

La etapa decisiva en el desarrollo de la teoría fue la monografía "Esfera" en tres libros, que fue escrita por Menelao de Alejandría (alrededor del año 100 dC). En el primer libro, esbozó teoremas sobre triángulos esféricos , similares a los teoremas de Euclides sobre triángulos planos (ver Libro I de los Principios). Los historiadores creen que el enfoque de Menelao se basa en gran medida en los escritos de Teodosio , que Menelao amplía y codifica en gran medida. Según Pappus , Menelao fue el primero en introducir el concepto de triángulo esférico como una figura formada por segmentos de grandes círculos [26] . Menelao demostró un teorema para el cual Euclides no tiene un análogo plano: dos triángulos esféricos son congruentes (compatibles) si los ángulos correspondientes son iguales. Otro teorema suyo establece que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es siempre mayor que 180° [26] .

El segundo libro de las Esferas establece la aplicación de la geometría esférica a la astronomía. El tercer libro contiene el teorema de Menelao , importante para la astronomía práctica , conocido como la "regla de las seis cantidades" [27] . Otros dos teoremas fundamentales descubiertos por Menelao recibieron posteriormente los nombres de "regla de las cuatro cantidades" y "regla de las tangentes" [26] .

Unas décadas más tarde, Claudio Ptolomeo , en su Geografía, Analemma y Planisferium, ofrece una exposición detallada de las aplicaciones trigonométricas a la cartografía, la astronomía y la mecánica. Entre otras cosas, se describe una proyección estereográfica , se investigan varios problemas prácticos, por ejemplo: determinar la altura y el azimut de un cuerpo celeste a partir de su declinación y ángulo horario . Desde el punto de vista de la trigonometría, esto significa que necesitas encontrar el lado de un triángulo esférico dados los otros dos lados y el ángulo opuesto [28] .

Ptolomeo también dedicó el capítulo XIII a la geometría esférica en el primer libro del Almagesto; a diferencia de Menelao, Ptolomeo no proporcionó pruebas para muchas de las afirmaciones, pero prestó mucha atención a los algoritmos adecuados para los cálculos prácticos en astronomía. La estructura de soporte, en lugar de cuerdas planas, en el Almagesto es el "Menelao de cuatro lados". Para "resolver" un triángulo esférico rectángulo, es decir, para calcular sus características, Ptolomeo citó 4 teoremas en notación verbal; en notación moderna, tienen la forma ( ángulo recto ) [29] :

(un caso especial del teorema del seno esférico ) (un caso especial del teorema del coseno esférico )

Expliquemos que en geometría esférica se acostumbra medir los lados de un triángulo no en unidades lineales, sino por el valor de los ángulos centrales en función de ellas . En trigonometría esférica moderna, se dan dos relaciones más:

(también se sigue del teorema del coseno esférico)

Ptolomeo no los tiene, ya que no se pueden deducir del teorema de Menelao [29] .

Edad Media

India

En el siglo IV, tras el declive de la ciencia antigua, el centro de desarrollo de las matemáticas se trasladó a la India. Los escritos de los matemáticos indios ( siddhantas ) muestran que sus autores estaban bien familiarizados con los trabajos de los astrónomos y geómetras griegos [30] . Los indios estaban poco interesados ​​en la geometría pura, pero su contribución a la astronomía aplicada ya los aspectos computacionales de la trigonometría es muy significativa.

En primer lugar, los indios cambiaron algunos de los conceptos de la trigonometría, acercándolos a los modernos. Reemplazaron los acordes antiguos con senos (el nombre "seno" se remonta a la palabra "cuerda" en sánscrito [31] ) en un triángulo rectángulo . Así, la trigonometría se planteó en la India como una doctrina general de las relaciones en un triángulo, aunque, a diferencia de las cuerdas griegas, el enfoque indio se limitaba únicamente a las funciones de un ángulo agudo [32] .

Los indios definieron el seno de forma algo diferente que en las matemáticas modernas (ver la figura de la derecha): el seno se entendía como la longitud del segmento AD, basado en el arco AC de un círculo de radio R = 3438 unidades (como en Hipparchus ). Así, el "seno indio" del ángulo es 3438 veces mayor que el seno moderno y tenía la dimensión de longitud [31] . Había excepciones a esta regla; por ejemplo, Brahmagupta , por razones poco claras, asumió un radio de 3270 unidades [33] .

Los indios fueron los primeros en introducir el uso del coseno . También se utilizó el llamado seno invertido, o seno-versus , igual a la longitud del segmento DC en la figura de la derecha [34] .

Al igual que los griegos, la trigonometría india se desarrolló principalmente en relación con sus aplicaciones astronómicas, principalmente para su uso en la teoría del movimiento planetario y para el estudio de la esfera celeste. Esto indica un buen conocimiento de la trigonometría esférica del "Almagest" y "Analemma", sin embargo, no se encontró un solo trabajo propio que desarrolle la teoría de esta sección de la trigonometría [35] . Sin embargo, los indios han logrado un gran éxito en el desarrollo de algoritmos aplicados para la resolución de problemas astronómicos [30] . Por ejemplo, en el "Pancha-siddhantika" de Varahamihira (siglo VII), se da una solución original al problema astronómico descrito por Ptolomeo: encontrar la altura del Sol sobre el horizonte, si la latitud del área, la declinación del Sol y su ángulo horario son conocidos . El autor usa un análogo del teorema del coseno [36] para la solución , fue el primero en dar una fórmula para el seno de un medio ángulo [37] .

Se compilaron varias tablas trigonométricas para cálculos astronómicos. Las primeras tablas de senos (cuatro dígitos) se dan en el antiguo "Surya-siddhanta" y en Aryabhata ("Aryabhatiya", siglo V). Las tablas de Aryabhata contienen 24 valores de senos y seno-versus con un intervalo de 3° 45' (la mitad del paso de las tablas de Hiparco).

Una importante contribución al desarrollo de la trigonometría la hizo Brahmagupta (siglo VII), quien descubrió la fórmula de la interpolación , que le permitió obtener los valores del seno a partir de un pequeño número de valores conocidos de esta función [38 ] . Además, los indios conocían las fórmulas para ángulos múltiples , para . En Surya-siddhanta y en los trabajos de Brahmagupta, cuando se resuelven problemas, se usa realmente la versión esférica del teorema del seno , pero la formulación general de este teorema no ha aparecido en la India [39] . Los historiadores han encontrado en los escritos indios un uso implícito de las tangentes , pero la importancia de este concepto se dio cuenta solo más tarde, por los matemáticos de los países islámicos [30] .

En los trabajos de otro destacado científico, Bhaskara II (siglo XII), se dan fórmulas para el seno y el coseno de la suma y diferencia de ángulos:

así como la fórmula para un pequeño incremento del seno:

(en ), correspondiente a la expresión moderna para el seno diferencial. Basado en la fórmula para el seno de la suma, Bhaskara publicó tablas trigonométricas con un paso de 1° más precisas y detalladas que las de Aryabhata [40] .

En el siglo XI, los musulmanes ( Mahmud de Ghaznevi ) tomaron el control y devastaron el norte de la India. Los centros culturales se trasladaron al sur de la India, donde se formó la llamada " Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala " (por el nombre del estado moderno de Kerala en el sur de la India) [41] . En los siglos XV-XVI, los matemáticos de Kerala en el curso de la investigación astronómica lograron un gran éxito en el campo de la suma de series de números infinitos, incluso para funciones trigonométricas [39] . El tratado anónimo "Karanapaddhati" ("Técnica de computación") da las reglas para expandir el seno y el coseno en series de potencias infinitas [42] , probablemente remontándose al fundador de esta escuela, el astrónomo Madhava del Sangamagrama (primera mitad del s. el siglo XV) [43] . Madhava y su seguidor Nilakanta (en el tratado " Tantpasanrpaha ") también dan las reglas para expandir el arco tangente en una serie de potencia infinita. En Europa, resultados similares se acercaron solo en los siglos XVII-XVIII. Así, la serie para seno y coseno fue derivada por Isaac Newton alrededor de 1666, y la serie arco tangente fue encontrada por J. Gregory en 1671 y G. W. Leibniz en 1673 [44] .

Países islámicos

En el siglo VIII, los científicos de los países del Cercano y Medio Oriente se familiarizaron con los trabajos de los antiguos matemáticos y astrónomos griegos e indios. Fueron traducidos al árabe por científicos tan destacados del siglo VIII como Ibrahim Al-Fazari y Yakub ibn Tariq . Luego, ellos y sus seguidores comenzaron a comentar y desarrollar activamente estas teorías. La estructura de sustentación de los científicos islámicos, así como de los indios, era un seno en un triángulo, o lo que es lo mismo, una media cuerda en un círculo [35] .

Sus tratados astronómicos, similares a los Siddhantas indios, fueron llamados " zijis "; un zij típico era una colección de tablas astronómicas y trigonométricas, provistas de una guía para su uso y (no siempre) un resumen de la teoría general [45] . La comparación de zijs del período de los siglos VIII-XIII muestra la rápida evolución del conocimiento trigonométrico. La trigonometría esférica, cuyos métodos se utilizaron para resolver problemas de astronomía y geodesia [46] , fue objeto de especial atención por parte de científicos de los países del Islam . Entre los principales problemas a resolver estaban los siguientes [47] [45] .

 - Determinación precisa de la hora del día.  - Cálculo de la ubicación futura de los cuerpos celestes, los momentos de su salida y puesta del sol, eclipses de Sol y Luna .  — Encontrar las coordenadas geográficas de la ubicación actual.  - Cálculo de la distancia entre ciudades con coordenadas geográficas conocidas .  - Determinar la dirección a La Meca ( qibla ) desde un lugar determinado.

Los trabajos más antiguos que se conservan pertenecen a al-Khwarizmi y al-Marvazi (siglo IX), quienes consideraron, junto con el seno y el coseno conocidos por los indios, nuevas funciones trigonométricas: tangente , cotangente , secante y cosecante [34] . Inicialmente, estas funciones se definieron de manera diferente que en las matemáticas modernas. Así, la cotangente se entendía como la longitud de la sombra de un gnomon vertical con una altura de 12 (a veces 7) unidades; originalmente estos conceptos se usaban para calcular el reloj de sol . La tangente era la sombra del gnomon horizontal. La cosecante y la secante eran las hipotenusas de los correspondientes triángulos rectángulos (segmentos AO en la figura de la derecha) [48] . Recién en el siglo X, el filósofo y matemático al-Farabi , en sus comentarios sobre el Almagesto, introdujo definiciones de estas cuatro funciones independientes de la gnomónica, definiéndolas a través del seno y el coseno en el círculo trigonométrico del radio ptolemaico (60 unidades) . Las correlaciones básicas entre las seis funciones fueron presentadas por al-Battani en el mismo siglo. La unificación final la logró Abu-l-Vafa en la segunda mitad del siglo X, quien por primera vez utilizó un círculo de radio unitario para determinar funciones trigonométricas, como se hace en las matemáticas modernas.

Thabit ibn Qurra (siglo IX) y al-Battani (siglo X) fueron los primeros en descubrir el teorema fundamental del seno para el caso especial de un triángulo esférico rectángulo . Para un triángulo esférico arbitrario, Abu-l-Vafa, al-Khujandi e ibn Iraq encontraron la prueba (de varias maneras y probablemente de forma independiente) a finales del siglo X [11] . En otro tratado, ibn Iraq formuló y demostró el teorema del seno para un triángulo plano [49] .

El teorema del coseno esférico no se formuló generalmente en los países del Islam, sin embargo, en los trabajos de Sabit ibn Kurra, al-Battani y otros astrónomos hay enunciados equivalentes. Esta es probablemente la razón por la cual Regiomontanus , quien primero dio una formulación general de esta importante relación (siglo XV), la llamó el “teorema de Albategnius” (como se llamaba entonces a al-Battani en Europa) [50] .

Ibn Yunis (siglo X) descubrió la transformación del producto de funciones trigonométricas en una suma [51] , por ejemplo:

Las fórmulas de transformación hicieron posible reemplazar la multiplicación que consume mucho tiempo con sumas o restas más simples. Posteriormente, en Europa, estas mismas fórmulas se utilizaron con el propósito contrario, reemplazando la suma y la resta por la multiplicación, para luego aplicar tablas logarítmicas para calcular el resultado [52] .

Una de las tareas más importantes de la ciencia en ese momento fue la compilación de tablas trigonométricas con el paso más pequeño posible. En el siglo IX, al-Khwarizmi compiló tablas de senos con paso de 1°, su contemporáneo Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) les agregó las primeras tablas de tangentes, cotangentes y cosecantes (con el mismo paso) [34 ] . A principios del siglo X, al-Battani publicó tablas con paso de 30'; a finales del mismo siglo, Ibn Yunis compiló tablas con paso de 1' [53] . A la hora de confeccionar las tablas, la clave fue el cálculo del valor . Métodos hábiles para calcular este valor fueron inventados por Ibn Yunis, Abu-l-Wafa , al-Biruni . El mayor éxito lo logró en el siglo XV al-Kashi ; en uno de sus papeles calculó que (todos los signos son correctos). En las "Tablas astronómicas" del Observatorio de Samarcanda de Ulugbek compiladas con su participación, las tablas de senos se calcularon con seis dígitos sexagesimales [54] , con un paso de 1'. Sultan Ulugbek participó personalmente en este trabajo: escribió un tratado especial sobre el cálculo del seno de un ángulo de 1°.

El primer tratado especializado en trigonometría fue obra del científico centroasiático al-Biruni (siglo X-XI) “El Libro de las Claves de la Ciencia de la Astronomía” (995-996). Todo un curso de trigonometría contenía la obra principal de al-Biruni, El Canon de Mas'ud (Libro III). Además de las tablas de senos (con un paso de 15'), Al-Biruni dio tablas de tangentes (con un paso de 1°). Ideológicamente, las obras de Biruni son cercanas a las de Ptolomeo: en el lenguaje de las cuerdas, formula teoremas sobre el seno de un ángulo doble y medio, el seno de la suma y diferencia de ángulos [55] . Entre las aplicaciones, el libro de Al-Biruni muestra la construcción de un nonágono regular inscrito y un cálculo aproximado de la longitud de su lado; usa este algoritmo para encontrar . En otro trabajo, Geodesia, Biruni informó los resultados de sus propias mediciones de la longitud del meridiano de la Tierra , a partir de lo cual se obtiene una estimación del radio de la Tierra cercana a la verdadera (en términos del sistema métrico , Biruni recibió 6340 km) [56 ] .

La presentación fundamental de la trigonometría como ciencia independiente (tanto plana como esférica) fue realizada por el matemático y astrónomo persa Nasir ad-Din at-Tusi en 1260 [57] . Su "Tratado sobre el cuadrilátero completo" contiene métodos prácticos para resolver problemas típicos, incluidos los más difíciles, resueltos por el mismo at-Tusi, por ejemplo, construir los lados de un triángulo esférico en tres ángulos dados [58] . Se da el teorema de las tangentes para triángulos esféricos, se describe el importante concepto del triángulo polar (utilizado por primera vez en el siglo XI por Ibn Iraq y al-Jayani ). El trabajo de At-Tusi se hizo ampliamente conocido en Europa e influyó significativamente en el desarrollo de la trigonometría.

Así, a finales del siglo XIII se descubrieron los teoremas básicos que conforman el contenido de la trigonometría:

 - Expresión de cualquier función trigonométrica a través de cualquier otra.  — Fórmulas para senos y cosenos de múltiplos y medios ángulos, así como para la suma y diferencia de ángulos.  — Teoremas de senos y cosenos.  — Solución de triángulos planos y esféricos

Debido a la falta de simbolismo algebraico, todos los teoremas anteriores se expresaron en forma verbal engorrosa, pero en esencia eran completamente equivalentes a su comprensión moderna.

Europa

Después de que los tratados árabes fueran traducidos al latín en los siglos XII y XIII, muchas ideas de los matemáticos indios y persas pasaron a ser propiedad de la ciencia europea. Aparentemente, el primer contacto de los europeos con la trigonometría tuvo lugar gracias al zij al-Khwarizmi , del cual se realizaron dos traducciones en el siglo XII. Inicialmente, la información sobre trigonometría (reglas para su uso, tablas de algunas funciones trigonométricas) se dio en escritos sobre astronomía, pero en el trabajo de Fibonacci "La práctica de la geometría", escrito alrededor de 1220, la trigonometría se describe como parte de la geometría. El primer trabajo europeo dedicado íntegramente a la trigonometría a menudo se llama los Cuatro tratados sobre cuerdas directas e inversas del astrónomo inglés Richard of Wallingford (circa 1320). El libro contiene una prueba de varias identidades trigonométricas y un método original para calcular los senos. Por los mismos años se escribió el tratado del matemático judío Levi ben Gershom (Gersonides) "Sobre senos, cuerdas y arcos", traducido al latín en 1342 [59] . El libro contiene una demostración del teorema del seno y tablas de senos de cinco dígitos [60] . La trigonometría se aborda en The Theoretical Geometry del matemático inglés Thomas Bradwardine (escrito en la primera mitad del siglo XIV, publicado en 1495). Las tablas trigonométricas, a menudo traducidas del árabe, pero a veces originales, están contenidas en las obras de varios otros autores de los siglos XIV y XV. Entonces la trigonometría tomó su lugar entre los cursos universitarios.

Un logro importante fue la monografía de Regiomontanus Five Books on Triangles of All Kinds (publicada entre 1462 y 1464), que resumía todo el conocimiento conocido en ese momento sobre trigonometría plana y esférica y adjuntaba tablas de senos de siete dígitos (en incrementos de 1 ') y tangentes (con paso de 1°). También es importante que en las tablas de Regiomontanus, en violación de la tradición astronómica, se utilizó por primera vez el sistema decimal (y no el arcaico sexagesimal ). Regiomontanus tomó el radio del círculo trigonométrico igual a , de modo que los valores tabulares se representaban con números enteros (las fracciones decimales se usaron algo más tarde, y fueron los cálculos trigonométricos los que se convirtieron en un poderoso incentivo para su uso [61] ).

En comparación con el tratado de at-Tusi, el trabajo de Regiomontanus es mucho más completo, contiene una serie de problemas nuevos resueltos por métodos originales. Por ejemplo, muestra cómo construir un triángulo si se conocen uno de sus lados, la longitud de la altura que baja a él y el ángulo opuesto [62] .

Nuevo tiempo

Siglos XVI-XVII

El desarrollo de la trigonometría en los tiempos modernos se volvió extremadamente importante, no solo para la astronomía y la astrología, sino también para otras aplicaciones, en particular la artillería , la óptica y la navegación marítima de larga distancia . Por lo tanto, después del siglo XVI, muchos científicos prominentes trataron este tema, incluidos Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Francois Viet [63] . Copérnico dedicó dos capítulos a la trigonometría en su tratado Sobre las revoluciones de las esferas celestes (1543). Pronto (1551) aparecieron las tablas trigonométricas de 15 dígitos de Rheticus , alumno de Copérnico, con un paso de 10” [64] . Kepler publicó la obra “La parte óptica de la astronomía” (1604).

La necesidad de cálculos trigonométricos complejos provocó el descubrimiento de los logaritmos a principios del siglo XVII , y las primeras tablas logarítmicas de John Napier contenían únicamente los logaritmos de las funciones trigonométricas. Entre los otros descubrimientos de Napier se encuentra un algoritmo eficiente para resolver triángulos esféricos , llamado " fórmulas de analogía de Naper " [65] .

El término "trigonometría" como nombre de una disciplina matemática fue introducido por el matemático alemán B. Pitiscus , quien publicó en 1595 el libro "Trigonometría, o un tratado breve y claro sobre la resolución de triángulos " ( lat.  Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus ). A finales del siglo XVII aparecieron nombres modernos para las funciones trigonométricas. El término "seno" fue utilizado por primera vez alrededor de 1145 por el matemático y arabista inglés Robert of Chester [31] . Regiomontanus en su libro llamó al coseno "el seno del complemento" ( lat.  sinus complementi ), ya que ; sus seguidores en el siglo XVII acortaron esta designación a co-seno (Edmund Gunther) [63] , y más tarde a cos ( William Oughtred ). Los nombres de tangente y secante fueron propuestos en 1583 por el matemático danés Thomas Fincke [63] , y Edmund Gunter, mencionado anteriormente, introdujo los nombres de cotangente y cosecante . El término "funciones trigonométricas" fue utilizado por primera vez en su trigonometría analítica (1770) por Georg Simon Klugel [66] .

Thomas Fincke propuso una solución original al problema geodésico: encontrar los ángulos de un triángulo si se conocen su suma y la razón de los lados opuestos . Para resolver Fincke usó la fórmula Regiomontana (ver figura) [67] :

Vieta en la primera parte de su "Canon matemático" (1579) colocó varias tablas, incluidas las trigonométricas, y en la segunda parte dio una presentación detallada y sistemática, aunque sin demostración, de la trigonometría plana y esférica. En 1593 Vieta preparó una edición ampliada de esta obra capital. "No hay duda de que su mismo interés por el álgebra se debió originalmente a la posibilidad de aplicaciones a la trigonometría y la astronomía" [68] . Otro mérito importante de Vieta fue el uso en trigonometría del simbolismo algebraico general desarrollado por él; si antes la solución del problema se entendía como una construcción geométrica, entonces, a partir de los trabajos de Vieta, la prioridad comienza a pasar a los cálculos algebraicos [69] . La aparición del simbolismo hizo posible escribir identidades trigonométricas de forma compacta y general, por ejemplo, fórmulas para ángulos múltiples [70] :

Cabe señalar que el propio Viet dio estas fórmulas parcialmente en una descripción verbal, pero al mismo tiempo señaló claramente la conexión entre los coeficientes de las fórmulas y los coeficientes binomiales y dio una tabla de sus valores para valores [68] .

Entre otros logros de Vieta [71] : en el trabajo "Suplemento a la Geometría" Vieta indicó un método trigonométrico para resolver una ecuación cúbica para el caso más difícil en ese momento - irreductible  - caso (la fórmula estándar requiere la capacidad de trabajar con raíces de números complejos ). Viet dio el primer trabajo infinito:

Además de la artillería y la navegación, la trigonometría también se desarrolló rápidamente en áreas tan clásicas de su aplicación como la geodesia . El uso generalizado de tangentes se explica, en particular, por la simplicidad de medir la altura de una montaña o edificio con su ayuda (ver figura):

En 1615, Snellius encontró una solución al "problema de Snellius-Potenot" : encuentre un punto desde el cual los lados de un triángulo (plano) dado sean visibles en ángulos dados. Descubrió la ley de la refracción de la luz : para un medio inicial y refractivo dado, la relación de los senos del ángulo de incidencia y el ángulo de refracción es constante. Así, Snell abrió el camino para nuevas aplicaciones de las funciones trigonométricas en óptica, y la invención de los primeros telescopios en los mismos años hizo que este descubrimiento fuera de particular importancia.

El primer gráfico de una sinusoide apareció en el libro de Albrecht Dürer "Guía para medir con compás y regla" (en alemán:  Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt , 1525) [72] . En la década de 1630, Gilles Roberval , en el curso de sus estudios de la cicloide , dibujó de forma independiente una sinusoide [73] , también publicó la fórmula para la tangente de un ángulo doble [52] . John Wallis , en su Mecánica (1670), se adelantó a su tiempo al indicar correctamente los signos del seno en todos los cuadrantes e indicar que una sinusoide tiene infinitas "vueltas". La gráfica tangente para el primer cuadrante fue dibujada por primera vez por James Gregory (1668) [74] .

En la segunda mitad del siglo XVII se inicia el rápido desarrollo de la teoría general de las cuadraturas (es decir, el cálculo del área), que culmina con la aparición del análisis matemático a finales de siglo . Para las funciones trigonométricas, Blaise Pascal obtuvo resultados importantes al comienzo de este período (publicado en su libro Cartas de A. Dettonville sobre algunos de sus descubrimientos geométricos, 1659). En terminología moderna, Pascal calculó integrales de las potencias naturales de seno y coseno y algunas relacionadas [75] , y también señaló que . El trabajo en el campo de la trigonometría fue realizado por importantes matemáticos del siglo XVII como Otred , Huygens , Ozanam , Wallis . Un proceso notable en la segunda mitad del siglo XVII fue la progresiva algebrización de la trigonometría, la mejora y simplificación de su simbolismo (aunque antes de Euler el simbolismo era todavía mucho más engorroso que el moderno) [76] .

Siglo XVIII

Después del descubrimiento del análisis matemático , primero James Gregory , y luego Isaac Newton , obtuvieron la expansión de las funciones trigonométricas (así como sus inversas ) en series infinitas . Newton dedicó 10 problemas a los problemas de geometría y trigonometría en su libro " Universal Arithmetic " [77] . Por ejemplo, en el problema X, se requiere "resolver un triángulo" si se conoce uno de sus lados, el ángulo opuesto y la suma de los otros dos lados. El método de solución propuesto por Newton es una de las fórmulas de Mollweide [78] .

Leibniz probó rigurosamente que , en términos generales, no se puede expresar algebraicamente en términos de , es decir, en la terminología moderna, las funciones trigonométricas son trascendentales [79] .

Los descubrimientos importantes a principios del siglo XVIII fueron:

 — Descubrimiento y uso generalizado de la medida de ángulos en radianes [80] ( Roger Cotes , 1714). El propio término "radian" apareció más tarde, fue propuesto en 1873 por el ingeniero inglés James Thomson [81] .  — Representación trigonométrica de un número complejo y fórmula de De Moivre .  - El comienzo del uso ( Newton y Gregory ) del sistema de coordenadas polares asociado a las relaciones trigonométricas cartesianas ; Euler (1748) [82] introdujo estas coordenadas en el uso general .

En 1706, el matemático suizo Jakob Hermann publicó fórmulas para la tangente de una suma y la tangente de múltiples ángulos, y Johann Lambert en 1765 encontró fórmulas extremadamente útiles que expresaban varias funciones trigonométricas en términos de la tangente de un medio ángulo [83] . Investigando las funciones hiperbólicas (1761), Lambert demostró que sus propiedades son similares a las de las funciones trigonométricas; la razón de esto fue descubierta allá por 1707 por De Moivre : cuando el argumento real es reemplazado por un círculo imaginario , se pasa a una hipérbola , y las funciones trigonométricas a las hiperbólicas correspondientes [84] .

matemático alemán Friedrich Wilhelm von Oppelen su libro Análisis de triángulos (1746) publicó ambas fórmulas de Mollweide en notación moderna [85] .

En el libro "Polygonometry" (1789), Simon Lhuillier generalizó las relaciones trigonométricas para triángulos, dando sus análogos para polígonos arbitrarios, incluidos los espaciales. En trabajos sobre este tema, Luillier citó el teorema básico de la poligometría : el área de cada cara de un poliedro es igual a la suma de los productos de las áreas de las caras restantes y los cosenos de los ángulos que forman. con la primera cara . Consideró métodos para "resolver polígonos" con lados para diferentes definiciones de problemas: dado un lado y un ángulo, o todos los ángulos y lados, o todos los lados y un ángulo [86] .

En 1798, Legendre demostró que si las dimensiones de un triángulo esférico son pequeñas en comparación con el radio de la esfera, entonces, al resolver problemas trigonométricos, se pueden aplicar las fórmulas de la trigonometría plana, restando un tercio del exceso esférico de cada ángulo [87]. ] .

La forma de designar las funciones trigonométricas inversas con el prefijo arco (del latín  arcus - arco) apareció con el matemático austriaco Karl Scherfer ( Karl Scherffer , 1716-1783) y se fijó gracias a Lagrange . Quería decir que, por ejemplo, el seno habitual te permite encontrar la cuerda que lo subtiende a lo largo del arco de un círculo, y la función inversa resuelve el problema opuesto. Hasta finales del siglo XIX, las escuelas matemáticas inglesa y alemana ofrecían otras notaciones: , pero no arraigaban [88] .

Reformas de Leonhard Euler

La forma moderna de trigonometría fue dada por Leonhard Euler . En su tratado Introducción al análisis de infinitos (1748), Euler dio una definición de funciones trigonométricas equivalente a la moderna [77] y definió funciones inversas en consecuencia . Si sus predecesores entendieron el seno y otros conceptos geométricamente, es decir, como líneas en un círculo o un triángulo, luego del trabajo de Euler , etc., comenzaron a considerarse funciones analíticas adimensionales de una variable real y compleja . Para el caso complejo, estableció una conexión entre las funciones trigonométricas y la función exponencial ( fórmula de Euler ). Desde entonces, el enfoque de Euler se ha aceptado generalmente y ha entrado en los libros de texto.

Euler consideró permisibles los ángulos negativos y los ángulos mayores de 360°, lo que hizo posible determinar funciones trigonométricas en toda la recta numérica real , y luego extenderlas al plano complejo . Cuando surgió la cuestión de extender las funciones trigonométricas a los ángulos obtusos, los signos de estas funciones antes de Euler a menudo se elegían erróneamente; muchos matemáticos consideraban, por ejemplo, que el coseno y la tangente de un ángulo obtuso eran positivos [73] . Euler determinó estos signos para ángulos en diferentes cuadrantes de coordenadas basándose en fórmulas de reducción [89] .

Euler introdujo por primera vez la expansión de funciones trigonométricas en productos infinitos (1734), de los cuales derivó series para sus logaritmos [90] .

En otras obras, más notablemente The Foundations of Spherical Trigonometry Deduced from the Method of Maxima and Minima (1753) y General Spherical Trigonometry Deducted Concise and Clearly from First Foundations (1779), Euler dio la primera exposición sistemática completa de la trigonometría esférica en un análisis analítico. sobre la base de [91] , y muchos resultados importantes se deben al propio Euler.

A mediados del siglo XVIII, estalló el "argumento sobre la cuerda" [92] , que fue el más importante en sus consecuencias . Euler , en una polémica con d'Alembert , propuso una definición más general de función que la aceptada anteriormente; en particular, la función puede estar dada por una serie trigonométrica . En sus escritos, Euler utilizó varias representaciones de funciones algebraicas como una serie de múltiples argumentos de funciones trigonométricas, por ejemplo [93] :

Euler no estudió la teoría general de las series trigonométricas y no investigó la convergencia de las series obtenidas, pero obtuvo varios resultados importantes. En particular, derivó expansiones de potencias enteras de seno y coseno [93] .

Trigonometría en Rusia

En Rusia, la primera información sobre trigonometría se publicó en la colección "Tablas de logaritmos, senos y tangentes para el estudio de sabios fanáticos", publicada con la participación de L. F. Magnitsky en 1703 [94] . En 1714 apareció el manual informativo "Geometría de la práctica", el primer libro de texto ruso sobre trigonometría, centrado en problemas aplicados de artillería, navegación y geodesia [95] . El libro de texto fundamental del académico M. E. Golovin (estudiante de Euler) "Trigonometría plana y esférica con pruebas algebraicas" (1789) puede considerarse la finalización del período de dominio del conocimiento trigonométrico en Rusia .

A finales del siglo XVIII, surgió en San Petersburgo una escuela trigonométrica autorizada ( A. I. Leksel , N. I. Fuss , F. I. Schubert ), que hizo una gran contribución a la trigonometría plana y esférica [66] .

Siglos XIX-XXI

A principios del siglo XIX, N. I. Lobachevsky agregó una tercera sección a la trigonometría plana y esférica: hiperbólica (para la geometría de Lobachevsky , el primer trabajo en esta área fue publicado por F. A. Taurinus en 1826). Lobachevsky demostró que las fórmulas de trigonometría esférica se convierten en fórmulas de trigonometría hiperbólica cuando las longitudes de los lados de un triángulo a, b, c se reemplazan por cantidades imaginarias: ai, bi, ci  - o, de manera equivalente, cuando se reemplazan las funciones trigonométricas por las correspondientes hiperbólicas [96] .

En los siglos XIX y XX, la teoría de series trigonométricas y áreas relacionadas de las matemáticas se desarrollaron rápidamente : análisis armónico , teoría de procesos aleatorios , codificación de información de audio y video , y otros. Incluso Daniel Bernoulli expresó la creencia de que cualquier función (continua) en un intervalo dado puede representarse mediante una serie trigonométrica [97] . Las discusiones continuaron hasta 1807, cuando Fourier publicó una teoría para la representación de funciones analíticas por partes arbitrarias mediante series trigonométricas (la versión final está contenida en su Teoría analítica del calor, 1822) [92] . Para expandir una función en una serie:

Fourier dio fórmulas integrales para calcular los coeficientes [92] :

La exposición de Fourier no era rigurosa en el sentido moderno, pero ya contenía una investigación de la convergencia de la mayoría de las series que obtuvo. Para funciones dadas en toda la recta numérica y que no sean periódicas, Fourier propuso una expansión a una integral de Fourier .

La versatilidad y eficiencia de los métodos de análisis de Fourier han causado una gran impresión en el mundo científico. Si las primeras series trigonométricas se usaban en física matemática principalmente para estudiar procesos periódicos (oscilaciones de cuerdas, mecánica celeste , movimiento de péndulo, etc.), entonces en el trabajo de Fourier se estudiaban procesos de un tipo completamente diferente (transferencia de calor), y las series trigonométricas ayudaban a obtener valiosos resultados prácticos. Desde entonces, las series trigonométricas y las integrales se han convertido en una poderosa herramienta para analizar diversas funciones. Los resultados de Fourier fueron continuados y profundizados por Poisson y Cauchy , el tema de la convergencia de series fue estudiado en detalle por Dirichlet y otros matemáticos [98] . Riemann en su disertación investigó series trigonométricas arbitrarias, no necesariamente asociadas con la expansión de ninguna función (1853), formuló el "principio de localización" para ellas. La cuestión de la representabilidad de una función arbitraria medible y finita en casi todas partes por una serie trigonométrica (que no necesariamente coincide con su serie de Fourier) fue resuelta en 1941 por el teorema de Men'shov .

Al explorar los conjuntos de puntos singulares para series trigonométricas, Georg Cantor desarrolló la teoría de conjuntos fundamental para todas las matemáticas [99] . La teoría de las series trigonométricas tuvo un gran impacto en el desarrollo del análisis complejo , la física matemática , la electrónica y muchas otras ramas de la ciencia [92] . La teoría de las funciones de una variable real , la teoría de la medida y la integral de Lebesgue aparecieron y se desarrollaron más en estrecha relación con la teoría de las series trigonométricas [92] [100] . La aproximación de funciones por polinomios trigonométricos finitos [101] (también utilizados para la interpolación ) tiene importantes aplicaciones prácticas .

Historiadores de la trigonometría

En los siglos XVIII-XIX, los trabajos sobre la historia de las matemáticas y la astronomía prestaron una atención considerable a la historia de la trigonometría ( J. E. Montucla , J. B. J. Delambre , G. Hankel , P. Tannery y otros). En 1900, el historiador alemán de las matemáticas Anton von Braunmühlpublicó la primera monografía en dos volúmenes, dedicada específicamente a la historia de la trigonometría [102] . En el siglo XX, I. G. Zeiten , M. B. Kantor , O. Neugebauer , B. A. Rosenfeld , G. P. Matvievskaya y otros publicaron importantes trabajos sobre este tema.

Véase también

• Astronomía de la antigua Grecia
• Astronomía de la Edad Media Islámica
• historia de las matematicas
• Identidades trigonométricas

Notas

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Literatura

Libros

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Enlaces

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