Paraleloedro
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Un paraleloedro es un poliedro convexo , por traslación paralela del cual se puede pavimentar el espacio, es decir, cubrir el espacio euclidiano para que los poliedros no entren entre sí y no dejen vacíos entre ellos [1] .
Ejemplos y propiedades
- Los paraleloedros son, por ejemplo, las regiones de las redes de Dirichlet-Voronoi en el espacio euclidiano.
- Hay dos tipos de paraleloedros en el plano: paralelogramos y hexágonos con simetría central.
- En el espacio tridimensional, hay exactamente cinco tipos topológicos de paraleloedros: cubo , prisma hexagonal , dodecaedro rómbico , dodecaedro alargado (ver figura) y octaedro truncado .
- Todos los paraleloedros (de cualquier dimensión) son poliedros centralmente simétricos. Todas las facetas del paraleloedro también son centralmente simétricas.
- En los casos bidimensionales y tridimensionales, todos los paraleloedros son zonoedros . Por el contrario, cualquier zonaedro que tenga uno de los tipos topológicos descritos es un paraleloedro.
- Incluso en el espacio de cuatro dimensiones, no todos los paraleleedros son zonoedros.
Historia
El comienzo de la teoría de los paraleloedros se estableció en el siglo XIX con los trabajos de Fedorov y Minkowski . Voronoi hizo una contribución notable , demostrando que cada paraleloedro primitivo es afínmente equivalente a un dominio DV de alguna red. En el siglo XX, Delaunay , B. A. Venkov, Ryshkov , P. Macmallen y otros desarrollaron la teoría de los paraleloedros.
Recientemente, el estudio de todos los paraleleedros reticulares se ha reducido al estudio de los llamados paraleloedros raíz, que de alguna manera forman la base de los paraleleedros. El teorema sobre la representación de cualquier paraleleedro reticular como una suma de Minkowski de un número finito de paraleleedros raíces fue formulado por S.S. Ryshkov. Una demostración detallada de este teorema se encuentra en un artículo conjunto de S. S. Ryshkov y E. A. Bolshakova.
Notas
- ↑ Aleksándrov, 1950 , pág. 321.
Literatura