Romboedro
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| romboedro | ||
| Tipo de | Prisma | |
| Propiedades |
Zonoedro politopo convexo |
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| combinatoria | ||
| Elementos |
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| facetas | 6 diamantes | |
| Clasificación | ||
| grupo de simetría | C i , [2 + ,2 + ], (×), orden 2 | |
| Archivos multimedia en Wikimedia Commons | ||
Romboedro (del rombo y otro griego ἕδρα - base, cara ) es un cuerpo geométrico, que es una generalización del cubo , cuyas caras no son necesariamente cuadradas, sino que son solo rombos . Un romboedro es un paralelepípedo en el que todas las aristas son iguales. El romboedro se puede utilizar para definir el sistema de celosía romboédrica , panales con celdas romboédricas.
En general, un romboedro puede tener tres tipos de caras rómbicas, que se descomponen en pares congruentes de lados opuestos. El romboedro tiene simetría C i de orden 2.
Cuatro puntos correspondientes a vértices no adyacentes de un romboedro forman necesariamente cuatro vértices de un tetraedro ortocéntrico , y todos los tetraedros ortocéntricos se pueden obtener de esta forma [1] .
Sistema de red romboédrica
El sistema de celosía romboédrica tiene celdas romboédricas con 3 pares de caras rómbicas únicas:
En cristalografía, el romboedro se destaca como una forma simple de la singonía trigonal de la categoría media. Minerales en forma de romboedro: dioptasa , fenaquita , muchos minerales tienen estructuras complejas con la presencia de un romboedro, por ejemplo, calcita .
Casos especiales
| Vista | Cubo | Trapezoedro trigonal | Prisma rómbico recto | Prisma rómbico general | romboedro general |
|---|---|---|---|---|---|
| Simetría | O h , [4,3], orden 48 | D 3d , [2+,6], orden 12 | D 2h , [2,2], orden 8 | C 2h , [2], orden 4 | C i , [2+,2+], orden 2 |
| Imagen | |||||
| facetas | 6 cuadrados | 6 diamantes idénticos | Dos rombos y 4 cuadrados. | 6 caras rómbicas | 6 caras rómbicas |
- Cubo : con simetría O h de orden 48. Todas las caras son cuadrados.
- Trapezoedro trigonal : con simetríaD 3d de orden 12. Si todos los ángulos internos agudos de las caras son iguales (todas las caras son iguales). Se puede pensar en el cuerpo como una extensión del cubo a lo largo de la diagonal principal. Por ejemplo, un octaedroregularcon dostetraedrospegados a caras opuestas forma untrapezoedro trigonalcon un ángulo de 60 grados. Un trapezoedro trigonal tiene al menos dos vértices tales que todos los ángulos adyacentes son iguales. Un eje de simetríapasa a través de estos vértices(es decir, dicho eje, cuando gira alrededor de él en un ángulo de 120 ° \u003d 2π / 3, el cuerpo pasa a sí mismo). Además, este es unsigno detrapezoedro trigonal: una caja es un trapezoedro trigonal si y solo si tiene un eje de simetría triple [2] .
- Prisma rómbico recto : con simetría D 2h de orden 8. Se construye a partir de dos rombos y 4 cuadrados. Se puede pensar en la figura como la extensión de un cubo a lo largo de una diagonal en una cara. Por ejemplo, dos prismas triangulares conectados a lo largo de una cara lateral forman un prisma rómbico con un ángulo de 60 grados.
- Prisma rómbico general : con simetría C 2h de orden 4. Tiene un solo plano de simetría que pasa por cuatro vértices y tiene 6 caras rómbicas.
Geometría del cuerpo
Para un romboedro unitario [3] (longitud de lado = 1), en el que el ángulo rómbico agudo es θ, un vértice se encuentra en el origen (0, 0, 0) y una arista se encuentra en el eje x, los tres vectores son
mi 1 : mi 2 : mi 3 :
Se pueden obtener otras coordenadas sumando vectores [4] de 3 direcciones, e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 2 + e 3 y e 1 + e 2 + e 3.
El volumen de un romboedro cuyo lado mide a es una simplificación de la fórmula para el volumen de un paralelepípedo y viene dado por la fórmula
Como el área de la base viene dada por la fórmula , la altura del romboedro h viene dada por la fórmula (volumen dividido por el área de la base)
Considere las diagonales interiores del romboedro en la figura. Tres de las diagonales interiores (BG, CF y DE) tienen la misma longitud. Son fáciles de calcular usando geometría de coordenadas si se conocen las coordenadas de cada vértice. La distancia en el espacio tridimensional se calcula mediante la fórmula [5]
Por ejemplo, para un romboedro unidad con un ángulo agudo de 72 grados, las tres diagonales internas (BG, CF y DE) son 1,543 y la diagonal mayor (AH) es 2,203. El volumen de este romboedro es 0,8789 y la altura es 0,9242.
Véase también
Notas
- ↑ Corte, 1934 , p. 499–502.
- ↑ Romboedro - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética
- ↑ Líneas, 1965 .
- ↑ Suma de vectores . Wolfram (17 de mayo de 2016). Fecha de acceso: 17 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 3 de junio de 2016.
- ↑ Calcular la distancia en el espacio 3D . Consultado el 17 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 5 de junio de 2016.
Literatura
- Líneas L. Geometría sólida: con capítulos sobre redes espaciales, paquetes de esferas y cristales. — Publicaciones de Dover, 1965.
- Corte NA. Notas sobre el tetraedro ortocéntrico // American Mathematical Monthly . - 1934. - Octubre. — .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Rhombohedron (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
- Calculadora de volumen https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php