Espiral de Teodoro

La espiral de Teodorio (también llamada raíz cuadrada de la espiral angular , espiral de Einstein o espiral de Pitágoras ) [1]  es una aproximación a la espiral de Arquímedes , que consta de triángulos rectángulos adyacentes entre sí. Lleva el nombre de Teodoro de Cirene , un antiguo científico griego, conocido como el maestro de Platón , que vivió en el siglo V a. C. en Libia.

Construcción

La espiral comienza con un triángulo rectángulo isósceles , cada uno de cuyos catetos tiene una unidad de longitud. Luego se suma otro triángulo rectángulo, cuyo cateto es la hipotenusa del triángulo anterior (de longitud √2 ) y el otro cateto es de longitud 1; la longitud de la hipotenusa del segundo triángulo es √ 3 . A continuación el proceso es repetido; El enésimo triángulo de la sucesión es un triángulo rectángulo con catetos √ n y 1 y con hipotenusa √ n + 1 . Por ejemplo, el triángulo 16 tiene lados de tamaño 4 (= √ 16 ), 1 e hipotenusa √ 17 .

Historia y uso

Aunque todas las obras de Teodoro se han perdido, Platón menciona a Teodoro en su diálogo Theaetetus , que relata su obra. En particular, dice que Teodoro probó que todas las raíces cuadradas de los números enteros no cuadrados del 3 al 17 son números irracionales (Platón no le atribuye a Teodoro la prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional , porque era bien conocida antes que él) . Posteriormente, Teeteto de Atenas clasificó los segmentos que producen cuadrados racionales en dos categorías: proporcionales a la unidad e irracionales [2] [3] .

Hay varias hipótesis sobre cómo Theodore demostró esto y por qué se decidió por √17 . Una de las hipótesis, que posee el matemático alemán Anderhub, es que lo hizo con la ayuda de la espiral de Teodoro [4] . En esta espiral, la hipotenusa √ 17 pertenece al último triángulo que no se superpone a la figura formada por la espiral, lo que explica por qué Teodoro llegó a √ 17 [5] . Sin embargo, esta no es la única explicación posible para este hecho [3] .

Continuación de la espiral

En 1958, Erich Teuffel demostró que dos hipotenusas de los triángulos que forman la hélice no se encuentran en el mismo rayo. Además, si los lados de la unidad de longitud se prolongan en línea recta, nunca pasarán por ninguno de los otros vértices de la espiral [6] [7] .

Tasa de crecimiento

Ángulo

Si es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:

Así, el incremento del ángulo que sigue al enésimo triángulo es: [1]

La suma de los ángulos de los primeros "k" triángulos, se denota por el ángulo común para el k-ésimo triángulo, crece en proporción a la raíz cuadrada de k , siendo una función acotada con término de corrección c 2 : [1]

dónde

Radio

El crecimiento del radio de la espiral de un triángulo de número n es igual a

Espiral de Arquímedes

La espiral de Teodoro se acerca a la espiral de Arquímedes . [1] . Como la distancia entre dos vueltas de la espiral de Arquímedes es igual a la constante pi = 3,14..., entonces cuando el número de vueltas de la espiral de Teodoro tiende a infinito, la distancia entre dos vueltas sucesivas se aproxima rápidamente a π. [8] A continuación se muestra una tabla que muestra la aproximación de las vueltas de la espiral a pi:


Número de bobina: Distancia media estimada entre vueltas Precisión media de la distancia de devanado en comparación con π
2 3.1592037 99.44255%
3 3.1443455 99.91245%
cuatro 3.14428 99.91453%
5 3.142395 99.97447%
Límite de una función cuando n → ∞ → pag → 100%

Como se muestra, después de solo la quinta vuelta de la hélice, la distancia, con una precisión del 99,97 %, es una aproximación exacta a π.

En el plano complejo

En el plano complejo , los vértices de la hélice pueden estar dados por la siguiente relación de recurrencia simple :

, por

donde  es la unidad imaginaria [9] .

Curva continua

El problema de cómo interpolar puntos discretos de la espiral de Theodore de una curva suave fue propuesto y resuelto en ( Davis 2001 , pp. 37-38) por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como aproximación del factorial , Philip Davis encontró la función

que más tarde fue estudiado por su alumno Geoffrey Lieder [10] y Arie Iserles (apéndice de ( Davis 2001 )). Una caracterización axiomática de esta función se da en ( Gronau 2004 ) como la única función que satisface la ecuación funcional

con la condición inicial y es monótono tanto en argumento como en módulo . Allí también se están explorando condiciones y relajaciones alternativas. Se da una prueba alternativa en ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ). En ( Waldvogel 2009 ) se da una continuación analítica de la función de Davis continua para la espiral de Teodorio que se extiende en la dirección opuesta al origen .

En la figura, los nodos de la espiral original (discreta) de Theodore están marcados con pequeños círculos verdes. Los círculos azules son los que se agregaron durante la continuación a la rama negativa (según el valor del parámetro, también es el radio polar). Solo se numeran los nodos con un valor entero del radio polar . El círculo punteado naranja es el círculo de curvatura de la espiral en el origen .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., La distribución ordenada de números naturales en la espiral de raíz cuadrada, arΧiv : 0712.2184 .  
  2. ↑ Plato & Dyde, Samuel Walters (1899), The Aetetus of Platón , J. Maclehose, p. 86–87. , < https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage >  
  3. ↑ 1 2 Van der Waerden. Ciencia del despertar. Las Matemáticas del Antiguo Egipto, Babilonia y Grecia . - M. : Nauka, 1959. - S. 199. - 456 p. Archivado el 27 de marzo de 2009 en Wayback Machine .
  4. ↑ The Spiral of Theodorus and Sums of Zeta-values ​​​​at the Half-integers  //  The American Mathematical Monthly. - 2012. - vol. 119 , edición. 9 _ — Pág. 779 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.09.779 . Archivado desde el original el 27 de abril de 2019.
  5. ↑ Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of √ −1 , Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1 , < https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover >  
  6. ↑ Long, Kate Una lección sobre la raíz espiral . Consultado el 30 de abril de 2008. Archivado desde el original el 4 de abril de 2013.
  7. ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semestreber. 6 (1958), págs. 148-152.
  8. ↑ Hahn, Harry K. (2008), La distribución de números naturales divisibles por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 en la espiral de raíz cuadrada, arΧiv : 0801.4422 .  
  9. ↑ Gronau, 2004 .
  10. ↑ Leader, JJ The Generalized Theodorus Iteration (disertación), 1990, Universidad de Brown

Literatura