Hiperoctaedro
El hiperoctaedro es una figura geométrica en el espacio euclidiano de n dimensiones : un politopo regular , dual a un hipercubo de n dimensiones . Otros nombres: kokub [1] , orthoplex , cross-polytope .
El símbolo de Schläfli de un hiperoctaedro n-dimensional es {3;3;...;3;4}, donde está el número total entre paréntesis (n-1).
El hiperoctaedro puede entenderse como una bola en la métrica de manzana de la ciudad .
Casos especiales
| Número de mediciones n | Nombre de la figura | Símbolo Schläfli | Imagen |
|---|---|---|---|
| una | segmento de línea | {} | |
| 2 | cuadrado | {cuatro} | |
| 3 | octaedro | {3;4} | |
| cuatro | dieciséis celda | {3;3;4} | |
| 5 | 5-ortoplex | {3;3;3;4} |
Descripción
El hiperoctaedro dimensional tiene vértices; cualquier vértice está conectado por un borde a cualquier otro, excepto el vértice simétrico con respecto al centro del politopo.
Todas sus facetas bidimensionales son los mismos simples simples regulares ; su número es
El ángulo entre dos hipercaras dimensionales adyacentes (for es igual a .
El hiperoctaedro bidimensional se puede representar como dos pirámides bidimensionales idénticas unidas entre sí por sus bases en forma de hiperoctaedro bidimensional.
En coordenadas
El hiperoctaedro bidimensional se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesianas para que sus vértices tengan coordenadas, en este caso, cada una de sus hipercaras bidimensionales estará ubicada en uno de los ortantes del espacio bidimensional.
El origen de coordenadas será el centro de simetría del politopo, así como el centro de sus hiperesferas inscritas, circunscritas y semiinscritas .
La superficie del hiperoctaedro será el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuación
y el interior es el lugar geométrico de los puntos para los cuales
Características métricas
Si un hiperoctaedro bidimensional tiene una arista de longitud, entonces su hipervolumen bidimensional y su hiperárea superficial bidimensional se expresan, respectivamente, como
El radio de la hiperesfera bidimensional descrita (que pasa por todos los vértices) será igual a
radio de la -ésima hiperesfera semi-inscrita (tocando todas las hipercaras -dimensionales en sus centros; ) -
radio de una hiperesfera inscrita (tocando todas las hipercaras dimensionales en sus centros) —
Notas
- ↑ E. Yu. Smirnov. Grupos de reflexión y poliedros regulares. - M.: MTSNMO, 2009. - P. 44. ( Copia archivada del 27 de enero de 2021 en la Wayback Machine )