Cúpula (geometría)
| Cúpula pentagonal (ejemplo) | |
|---|---|
| Tipo de | muchas cúpulas |
| Símbolo Schläfli | { norte } || t{ n } |
| caras | n triángulos , n cuadrados , 1 n - gon , 1 2 n - gon |
| costillas | 5n_ _ |
| picos | 3n_ _ |
| grupo de simetría | C n v , [1, n ], (* nn ), orden 2n |
| grupo de rotación | C n , [1, n ] + , ( nn ), orden n |
| Poliedro dual | ? |
| Propiedades | convexo |
Una cúpula es un cuerpo formado por la unión de dos polígonos , en el que uno (la base) tiene el doble de lados que el otro (la cara superior). Los polígonos están conectados por triángulos isósceles y rectángulos . Si los triángulos son regulares y los rectángulos son cuadrados , mientras que la base y el vértice son polígonos regulares , la cúpula es un poliedro de Johnson . Estas cúpulas, de tres , cuatro y cinco pendientes , se pueden obtener tomando secciones del cuboctaedro , rombicuboctaedro y rombicosidodecaedro , respectivamente.
La cúpula se puede ver como un prisma , donde uno de los polígonos se contrae a la mitad al unir los vértices en pares.
A la cúpula se le puede asignar el símbolo de Schläfli extendido { n } || t{ n } que representa un polígono regular {n} conectado a su copia paralela truncada , t{n} o {2n}.
Las cúpulas son una subclase de prismatoides .
Ejemplos
| norte | 2 | 3 | cuatro | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
| Hazme | cúpula diagonal |
cúpula de tres pendientes |
cúpula de cuatro tonos |
cúpula de cinco pendientes |
Cúpula hexagonal (plana) |
| Poliedros
uniformes relacionados |
prisma triangular   
|
cuboctaedro
|
Rombicubo- octaedro 
|
dodecaedro Rombicos 
|
Rombotría - mosaico hexagonal 
|
Los tres poliedros mencionados anteriormente son cúpulas convexas no triviales con caras regulares. Una " cúpula hexagonal " es una figura plana, y un prisma triangular puede considerarse una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento y un cuadrado). Sin embargo, las cúpulas con muchos lados poligonales solo se pueden construir con caras triangulares y rectangulares irregulares .
Coordenadas de vértice
La definición de una cúpula no requiere la corrección de la base y la cara superior, pero es conveniente considerar los casos en los que las cúpulas tienen la máxima simetría, C n v . En este caso, la cara superior es un n -ágono regular, mientras que la base es un 2n -ágono regular, o un 2n -ágono con dos longitudes de lado diferentes (pasando por uno) y los mismos ángulos que un 2n -ágono regular. Es conveniente colocar la cúpula en el sistema de coordenadas de manera que su base quede en el plano xy con la cara superior paralela a este plano. El eje z es un eje de simetría de orden n , los planos del espejo pasan por este eje y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o las esquinas de la cara superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los espejos bisecan los lados y la mitad de las esquinas. Si n es impar, cada espejo biseca un lado y una esquina de la cara superior). Numeramos los vértices de la base con números de V 1 a V 2 n , y los vértices de la cara superior - números de V 2 n +1 a V 3 n . Las coordenadas de los vértices se pueden escribir de la siguiente manera:
- V 2 j −1 : ( r segundo cos[2π( j − 1) / norte + α], r segundo pecado[2π( j − 1) / norte + α], 0)
- V 2 j : ( r segundo cos(2π j / n − α), r segundo sin(2π j / n − α ) , 0)
- V 2 n + j : ( r t cos(π j / n ), r t sin(π j / n ), h ),
donde j = 1, 2, …, norte .
Dado que los polígonos V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 , etc. son rectángulos, existen restricciones en los valores de r b , rt y α. La distancia V 1 V 2 es
r segundo {[cos(2π / n − α) − cos α] 2 + [sin(2π / n − α ) − sin α] 2 } 1 ⁄ 2 = r segundo {[cos 2 (2π / n − α) − 2cos (2π / n − α)cos α + cos 2 α] + [sen 2 (2π / n − α) − 2sin (2π / n − α ) pecado α + pecado 2 α]} 1 ⁄ 2 = r segundo {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α ) sin α]} 1 ⁄ 2 = r segundo {2[1 − cos(2π / norte − 2α)] } 1 ⁄ 2y la distancia V 2 n +1 V 2 n +2 es
r t {[cos(π / n ) − 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {[cos 2 (π / n ) − 2cos (π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {2[1 - porque (π / norte )] } 1 ⁄ 2 .Deben ser iguales, por lo que si esta arista común tiene una longitud s ,
r segundo = s / {2[1 − cos(2π / norte − 2α)]} 1 ⁄ 2 r t = s / {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2Y estos valores deben sustituirse en las fórmulas anteriores para los vértices.
Cúpulas estelares
| n / d | cuatro | 5 | 7 | ocho |
|---|---|---|---|---|
| 3 | {4/3} |
{5/3} |
{7/3} |
{8/3} |
| 5 | — | — | {7/5} |
{8/5} |
| n / d | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|
| 2 | Cúpula triangular cruzada |
cúpula de pentagrama |
Cúpula de heptagrama |
| cuatro | — | Cúpula de pentagrama cruzado |
Cúpula de heptagrama cruzado |
Existen cúpulas estelares para todas las bases { n / d } donde 6 / 5 < n / d < 6 y d es impar. En los bordes, las cúpulas se convierten en figuras planas. Si d es par, la base inferior {2 n / d } se vuelve degenerada: podemos formar una cúpula o una semicúpula eliminando esta cara degenerada y permitiendo que los triángulos y los cuadrados se conecten entre sí. En particular, el tetrahemihexaedro se puede considerar como una cúpula {3/2}. Todos los domos están orientados , mientras que todos los domos no están orientados. Si n / d > 2 para una cúpula, los triángulos y cuadrados no cubren toda la base y queda una pequeña membrana en la base que solo cubre el agujero. Por lo tanto, los domos {5/2} y {7/2} de la figura anterior tienen membranas (no llenas), mientras que los domos {5/4} y {7/4} no.
La altura h de la cúpula { n / d } o cúpula viene dada por la fórmula . En particular, h = 0 en los límites n / d = 6 y n / d = 6/5, y h es máxima en n / d = 2 (un prisma triangular donde los triángulos son verticales) [1] [2] .
En las imágenes de arriba, las cúpulas de estrellas se muestran en colores para enfatizar sus caras: la cara n / d - gon se muestra en rojo, la cara 2 n / d - gon se muestra en amarillo, los cuadrados se muestran en azul y los triángulos están en verde. Las cúpulas tienen caras angulares rojas n / d , caras cuadradas amarillas y caras triangulares pintadas de azul, mientras que la segunda base se ha eliminado.
Hiperdomos
Las cúpulas hipercúpulas o poliédricas son una familia de poliedros cuatridimensionales no uniformes convexos similares a las cúpulas. Las bases de cada uno de estos poliedros son un poliedro regular (tridimensional) y su extensión [3] .
La tabla utiliza el concepto de Segmentochora - una figura que satisface las siguientes propiedades:
1. todos los vértices están en la misma hiperesfera 2. todos los vértices están en dos hiperplanos paralelos 3. todos los bordes tienen longitud 1Hay dos segmentogons (segmentogons) en el plano: un triángulo regular y un cuadrado.
En el espacio tridimensional incluyen pirámides, prismas, antiprismas, cúpulas.
| Nombre | cúpula tetraédrica | Cúpula Cúbica | cúpula octaédrica | cúpula decaédrica | Cúpula de mosaico hexagonal | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Símbolo Schläfli | {3,3} ∨ rr{3,3} | {4,3} ∨ rr{4,3} | {3,4} ∨ rr{3,4} | {5,3} ∨ rr{5,3} | {6,3} ∨ r{6,3} | |||||
| Índice facial segmentado [3] |
K4.23 | K4.71 | K4.107 | K4.152 | ||||||
| Radio del círculo circunscrito |
una | sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1.485634 |
sqrt(2+sqrt(2)) = 1.847759 |
3+raíz cuadrada(5) = 5.236068 |
||||||
| Imagen | ||||||||||
| Celdas principales | ||||||||||
| picos | dieciséis | 32 | treinta | 80 | ∞ | |||||
| costillas | 42 | 84 | 84 | 210 | ∞ | |||||
| caras | 42 | 24 {3} + 18 {4} | 80 | 32 {3} + 48 {4} | 82 | 40 {3} + 42 {4} | 194 | 80 {3} + 90 {4} + 24 {5} | ∞ | |
| células | dieciséis | 1 tetraedro 4 prismas triangulares 6 prismas triangulares 4 prismas triangulares 1 cuboctaedro |
28 | 1 cubo 6 prismas cuadrados 12 prismas triangulares 8 pirámides triangulares 1 rombicuboctaedro |
28 | 1 octaedro 8 prismas triangulares 12 prismas triangulares 6 pirámides cuadradas 1 rombicuboctaedro |
64 | 1 dodecaedro 12 prismas pentagonales 30 prismas triangulares 20 pirámides triangulares 1 rombicosidodecaedro |
∞ | 1 mosaico hexagonal ∞ prismas hexagonales ∞ prismas triangulares ∞ pirámides triangulares 1 mosaico trihexagonal rómbico |
Uniforme relacionado 4- poliedros |
Clasificación de 5 celdas
|
Teseracto clasificado
|
Clasificación de 24 celdas
|
Celda clasificada 120
|
Panal de mosaico hexagonal clasificado
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Notas
- ↑ cúpulas . Consultado el 18 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 3 de junio de 2021.
- ↑ semicúpulas . Consultado el 18 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 13 de abril de 2021.
- ↑ 12 Klitzing, 2000 , págs. 139-181.
Literatura
- NW Johnson . Poliedros convexos con caras regulares // Canadá. Matemáticas J. - 1966.. - Emisión. 18 _ — S. 169–200 .
- Dr. Richard Klitzing. Segmentochora convexa. — Simetría: Cultura y Ciencia. - 2000. - T. 11. - S. 139-181.
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Cupola (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
- segmentótopos