Teorema de barrido de Alexandrov
El teorema de despliegue de Alexandrov es un teorema sobre la existencia y unicidad de un poliedro convexo cerrado con un desarrollo dado, demostrado por Alexander Danilovich Aleksandrov . [1] La unicidad de este teorema es una generalización del teorema de los poliedros de Cauchy y tiene una prueba similar.
La generalización de este teorema a métricas arbitrarias en la esfera desempeñó un papel clave en la formación y desarrollo de la geometría de Alexander . Otra prueba, basada en la deformación de un espacio poliédrico tridimensional , fue propuesta por Yu.A. Volkov en su tesis doctoral de 1955. [2]
Redacción
Una métrica poliédrica en una esfera es isométrica a la superficie de un poliedro convexo si y solo si la suma de los ángulos en cualquiera de sus vértices no excede . Además, un poliedro está definido por una métrica en su superficie hasta la congruencia.
Se supone que el poliedro degenera en un polígono plano, en este caso la superficie del poliedro se define como una duplicación del polígono en su límite, es decir, dos copias del polígono pegadas en los puntos correspondientes del límite.
Notas
- En la formulación original, Alexandrov utiliza el concepto de desarrollo de un poliedro en un plano, es decir, un conjunto de polígonos planos y las reglas para unir estos polígonos en una métrica poliédrica. Uno de tales desarrollos se puede obtener del conjunto de todas las caras de un poliedro con una regla de encolado natural. Sin embargo, en general, los polígonos de patrones planos pueden superponerse con varias caras; ver imagen
Variaciones y generalizaciones
- (Teorema de Aleksandrov) Una métrica intrínseca en una esfera es isométrica a la superficie de un cuerpo convexo si y solo si tiene una curvatura no negativa en el sentido de Alexandrov . Se supone que el cuerpo degenera en una figura plana, en este caso la superficie de la figura se define como su desdoblamiento.
- (Teorema de Pogorelov) Además, un cuerpo convexo está definido de forma única hasta la congruencia.
- (Teorema de Olovyanishnikov) Una métrica completa en el plano es isométrica a la superficie de un conjunto convexo solo si tiene una curvatura no negativa en el sentido de Aleksandrov. Además, el cono en el infinito se puede establecer arbitrariamente, siempre que su límite sea isométrico al cono en el infinito .
Véase también
Notas
- ↑ A. D. Alexandrov , Poliedros convexos . METRO.; L.: GITTL, 1950.
- ↑ Yu. A. Volkov. Existencia de un poliedro con un desarrollo dado // Zap. científico familia POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .
Literatura
- N. Lebedeva y A. Petrunin. Teorema de Aleksandrov sobre la incrustación de politopos .