Cicloide
Cicloide (del griego κυκλοειδής "redondo") - una curva trascendental plana .
Una cicloide se define cinemáticamente como la trayectoria de un punto fijo de un círculo generador (de radio ) que rueda sin deslizamiento a lo largo de una línea recta .
Ecuaciones
Tomemos el eje de coordenadas horizontales como una línea recta a lo largo de la cual rueda el círculo generador de radio . Cicloide se describe como:
- paramétricamente .
- ecuación en coordenadas cartesianas .
- como solución a una ecuación diferencial .
Propiedades
- La cicloide es una función periódica a lo largo de la abscisa, con un período . Es conveniente tomar puntos singulares (puntos cúspides ) de la forma , donde es un número entero arbitrario, para los límites del período.
- Para trazar una tangente a la cicloide en su punto A arbitrario, es suficiente conectar este punto con el punto superior del círculo generador. Conectando A al punto más bajo del círculo generador, obtenemos la normal .
- La longitud del arco cicloide es . Esta propiedad fue descubierta por Christopher Wren ( 1658 ). La dependencia de la longitud del arco cicloide (s) del parámetro t es la siguiente [1] : .
- El área debajo de cada arco de la cicloide es tres veces mayor que el área del círculo generador. Torricelli dijo que Galileo descubrió este hecho experimentalmente: comparó el peso de las placas con un círculo y con un arco de cicloide. [2] Matemáticamente, este hecho fue probado por primera vez por Roberval alrededor de 1634 usando el método de los indivisibles .
- El radio de curvatura del primer arco de la cicloide es .
- Una cicloide "invertida" es una curva de descenso más empinado ( una braquistocrona ). Además, también tiene la propiedad del tautocronismo : un cuerpo pesado colocado en cualquier punto del arco cicloide alcanza la horizontal en el mismo tiempo.
- El periodo de oscilación de un punto material , deslizándose a lo largo de una cicloide invertida, no depende de la amplitud . (Consecuencia inmediata del tautocronismo).
- La evoluta de una cicloide es una cicloide congruente con la original y desplazada paralela a la original de manera que los vértices se convierten en " puntos ".
- Las dos últimas propiedades descubiertas por Huygens fueron utilizadas por él para crear relojes mecánicos precisos .
- Las partes de la máquina que realizan simultáneamente un movimiento de rotación y traslación uniforme describen curvas cicloidales : cicloide, epicicloide , hipocicloide , trocoide , astroide ( cf. la construcción de la lemniscata de Bernoulli ).
Reseña histórica
Los primeros científicos en prestar atención a la cicloide fueron Nicolás de Cusa en el siglo XV y Charles de Beauvel en la obra de 1501. Pero el estudio serio de esta curva no comenzó hasta el siglo XVII .
El nombre cicloide fue acuñado por Galileo (en Francia esta curva primero se llamó ruleta ). Un estudio significativo de la cicloide fue realizado por un contemporáneo de Galileo Mersenne . Entre las curvas trascendentales (es decir, curvas cuya ecuación no se puede escribir como un polinomio en ), la cicloide es la primera que se estudia.
Pascal escribió sobre la cicloide [3] [4] :
La ruleta es una línea tan común que después de la recta y el círculo no hay línea más común; se dibuja tan a menudo ante los ojos de todos que uno debe sorprenderse de que los antiguos no lo consideraran ... porque esto no es más que un camino descrito en el aire por un clavo de rueda ...
Texto original (fr.)[ mostrarocultar] La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si frecuence; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu'il ya lieu de s'estonner qu'elle n'ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n'en trouue rien : Car ce n'est autre eligió que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...La nueva curva rápidamente ganó popularidad y fue objeto de un análisis profundo, en el que participaron Descartes , Fermat , Newton , Leibniz , los hermanos Jacob y Johann Bernoulli y otras luminarias de la ciencia de los siglos XVII-XVIII. En la cicloide, los métodos de análisis matemático que aparecieron en esos años se perfeccionaron activamente .
El hecho de que el estudio analítico de la cicloide resultara tan exitoso como el análisis de las curvas algebraicas causó una gran impresión y se convirtió en un argumento importante a favor de la "igualación de derechos" de las curvas algebraicas y trascendentales.
Véase también
Notas
- ↑ Arkhipov G. I. , Sadovnichiy V. A. , Chubarikov V. N. Conferencias sobre Análisis Matemático / Ed. V. A. Sadovnichy. - 2ª ed. - M. : Escuela superior , 2000. - S. 261. - 695 p. - 8000 copias. — ISBN 5-06-003955-2 .
- ↑ Alexandrova N. V. Historia de los términos matemáticos, conceptos, notación: Diccionario-libro de referencia, ed. 3ro . - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 págs. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
- ↑ Klyaus E. M., Pogrebyssky I. B. , Frankfurt W. I. Pascal. - M .: Nauka , 1971. - S. 191. - ( Literatura científica y biográfica ). — 10.000 copias.
- ↑ Pascual, Blaise. Histoire de la roulette, appellée autrement la trochoïde, ou la cycloïde, où l'on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connoissance de la nature de cette ligne . 10 de octubre de 1658. P.1.
Literatura
- Berman G. N. Cicloide. M., Nauka, 1980, 112 págs.
- Gindikin S. G. Historias sobre físicos y matemáticos . - tercera edición, ampliada. - M. : MTSNMO , 2001. - S. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9 .
- Enciclopedia Matemática (en 5 tomos) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 5.
- Markushevich A. I. Remarkable Curves , Popular Lectures in Mathematics , número 4, Nauka 1978 , página 32.
Enlaces
- Curvas cicloidales ( Animación ).
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