Esponja Menger

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La esponja de Menger es un fractal geométrico , uno de los análogos tridimensionales de la alfombra de Sierpinski .

Construcción

Método iterativo

Un cubo de arista 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. El cubo central y todos los cubos de esta subdivisión adyacentes a él a lo largo de caras bidimensionales se eliminan del cubo. Resulta un conjunto que consta de 20 cubos cerrados restantes del "primer rango". Haciendo lo mismo con cada uno de los cubos de la primera fila, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos de la segunda fila. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos una secuencia infinita $C_{0}$ $C_{0}$ $C_{1}$ $C_{2}$

C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots

la intersección de cuyos miembros es la esponja de Menger.

Juego de caos

La Esponja Menger también se puede obtener mediante un proceso llamado juego del caos [1] [2] , que es el siguiente:

Se especifican 20 puntos de atracción: 8 vértices y 12 puntos medios de las aristas del cubo original.
Se establece un punto de partida , que se encuentra dentro del cubo. $P_0$
Una secuencia de puntos se construye en el siguiente ciclo:
1. Se selecciona aleatoriamente un atractor de 20 posibles con igual probabilidad. $A$
2. Un punto se construye con nuevas coordenadas: , donde: — coordenadas del punto anterior ; son las coordenadas del atractor seleccionado. $Pi}$ $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3));y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}} {3));z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$ ${\ estilo de visualización x_ {i-1}, y_ {i-1}, z_ {i-1}}$ $P_{{i-1}}$ ${\ estilo de visualización x_ {A}, y_ {A}, z_ {A}}$

Si ejecuta el ciclo muchas veces (al menos 100 mil) y luego descarta las primeras decenas de puntos, los puntos restantes formarán una figura cercana a la esponja de Menger.

Propiedades

La esponja Menger consta de 20 partes idénticas, cuyo coeficiente de similitud es 1/3.
Las proyecciones ortogonales de la esponja de Menger representan la alfombra de Sierpinski.
La esponja de Menger tiene una dimensión de Hausdorff intermedia (es decir, no entera ) , que es igual porque consta de 20 partes iguales, cada una de las cuales es similar a la esponja entera con un factor de similitud de 1/3. ${\ estilo de visualización \ ln 20/\ ln 3 \ aproximadamente 2 {,} 73}$
La esponja Menger tiene dimensión topológica 1, además
- La esponja de Menger se caracteriza topológicamente como un conjunto compacto metrizable unidimensional conectado localmente conectado que no tiene puntos de ruptura local (es decir, para cualquier vecindad conectada de cualquier punto , el conjunto es conectado) y no tiene subconjuntos abiertos no vacíos empotrable en el plano. $tu$ $x \en M$ $U\setminus x$
La esponja de Menger es una curva de Uryson universal , es decir, cualquiera que sea la curva de Urysohn , hay un subconjunto en la esponja de Menger que es homeomorfo . $C$ $C'$ $C$
La esponja Menger tiene un volumen cero pero un área facial infinita.
- El volumen está determinado por la fórmula 20/27 para cada iteración: $\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$

La sección de la esponja de Menger, delimitada por un cubo de lado 1 y centro en el origen, por un plano contiene hexagramas . ${\ estilo de visualización x + y + z = 0}$
La esponja Menger disipa bien las ondas de choque. [3]

Véase también

Teoría del caos
Sistema de funciones iterables

Notas

↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Transformaciones fractales // Los fractales como arte. Colección de artículos / Per. en inglés, francés E. V. Nikolaeva. - San Petersburgo. : Esparta, 2015. - S. 35. - 224 p. — ISBN 9785040137008 .
↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Modelos estocásticos con colas de ley de potencias: la ecuación X = AX + B . — Springer, 2016-07-04. — 325 págs. - Pág. 7. - ISBN 9783319296791 .
↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Disipación de ondas de choque por estructuras porosas dominadas por interfaz // AIP Advances. — 2020-07-01. - T. 10 , n. 7 . - S. 075016 . -doi : 10.1063/ 5.0015179 . Archivado desde el original el 12 de marzo de 2022.

Enlaces

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Definiciones

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algebraica plana

Secciones cónicas

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Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

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