Cero

0
cero
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Binario	0
octales	0
hexadecimal	0
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“Hay dos formas: cero y cero . En el sentido terminológico (sobre todo en los casos indirectos), se suele utilizar el segundo, por ejemplo: igual a cero, la temperatura se queda en cero ” [1] .
"... un adjetivo derivado generalmente se forma a partir de la forma cero , por ejemplo: meridiano cero, marca cero " [1] .

El cero ( 0 , cero del lat. nullus - none [2] ) es un número entero que , al sumarse o restarse a cualquier número, no cambia el último [3] , es decir, da un resultado igual a este último ; multiplicar cualquier número por cero da cero [4] .

El Gran Diccionario Explicativo de Kuznetsov (2009) [5] cita ambas formas de la palabra: cero, cero - como equivalentes, aunque hay alguna diferencia en el uso. En particular, la forma cero se usa con más frecuencia en terminología, especialmente en casos indirectos, también se toma como base para la formación del adjetivo cero ; en consecuencia, la forma cero se usa con más frecuencia en el caso nominativo (ver recuadro) .

El cero juega un papel extremadamente importante en las matemáticas y la física [6] .

Cero en matemáticas

Numeral "cero" en matemáticas

El número "cero" es un signo matemático que expresa la ausencia del valor de este bit en la notación de un número en el sistema numérico posicional . En la actualidad, esta cifra casi siempre se denota por "0" (según la notación indoárabe para números). El dígito cero, colocado a la derecha de otro dígito, aumenta el valor numérico de todos los dígitos a la izquierda en un dígito (por ejemplo, en el sistema numérico decimal , multiplica por diez). Compare, por ejemplo, los números 4 10 y 40 10 ; 4 16 y 40 16 (el subíndice significa la base del sistema numérico). El concepto de cero ha aparecido históricamente como un símbolo digital especial requerido cuando se escriben números en un sistema numérico posicional . Este símbolo indicaba la ausencia de valor en el bit correspondiente, lo que permitía no confundir, por ejemplo, entradas ${\ estilo de visualización 7,70,700.}$

El número 0 está asociado con signos especialmente simples de la divisibilidad de los números enteros.

En sistema numérico decimal:

Un número es divisible por 10 si y solo si termina en 0.
Un número es divisible por 100 si y solo si termina en dos ceros.

Signos similares de divisibilidad están disponibles para los números 1000, 10000, etc.

Los signos de divisibilidad asociados al número 0 en el sistema decimal son especialmente fáciles de combinar con los signos de divisibilidad por 2 y 5, por ejemplo:

Un número es divisible por 20 si y solo si el último dígito del número es 0 y el penúltimo dígito es par.
Un número es divisible por 50 si y solo si el último dígito del número es 0 y el penúltimo dígito es 0 o 5.

Signos similares de divisibilidad están disponibles para los números 200, 500, 2000, 5000, etc.

Los signos de divisibilidad asociados con el número "0" en otros sistemas numéricos son similares a los del decimal. En particular, en cualquier sistema numérico con base k, un número es divisible por kn si termina en n ceros.

El número "cero" en matemáticas

Perteneciente a los números naturales

Hay dos enfoques para la definición de números naturales : algunos autores clasifican el cero como números naturales [7] , otros no. En los planes de estudio de matemáticas de las escuelas rusas, no se acostumbra añadir cero a los números naturales, aunque esto dificulta algunas formulaciones (por ejemplo, hay que distinguir entre la división con un resto y la división por un número entero ). Como compromiso, las fuentes a veces consideran una "serie natural extendida", que incluye cero [8] .

El conjunto de todos los números naturales se suele denotar con el símbolo . Las normas internacionales ISO 31-11 (1992) e ISO 80000-2 (2009) establecen las siguientes designaciones [9] : $\matemáticas {N}$

$\matemáticas {N}$ - números naturales, incluido el cero: . $\{0,1,2,3,4\puntos\}$
$\mathbb {N^{*}}$ - números naturales sin cero: . $\{1,2,3,4\puntos\}$

Al igual que en ISO, la notación para el conjunto de números naturales está fijada en el GOST ruso 2011: R 54521-2011, tabla 6.1 [10] . Sin embargo, en las fuentes rusas, este estándar aún no se observa; en ellas, el símbolo denota números naturales sin cero, y la serie natural extendida se denota, por ejemplo, etc. [8] $\matemáticas {N}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {N} _ {0}, \ mathbb {Z} _ {0}}$

Propiedades básicas del cero

0 es un número entero .
En la recta numérica , el 0 separa los números positivos y negativos .

El cero es un número par porque cuando se divide por 2, el resultado es un número entero : . $0/2=0$
El cero no está firmado . Se pueden usar las convenciones para infinitesimales negativos y positivos : , , pero estos no son números en el sentido habitual. ${\ estilo de visualización -0}$ ${\ estilo de visualización +0}$
Cualquier número no cambia cuando se suma a cero: Restar cero de cualquier número da como resultado el mismo número [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
Multiplicar cualquier número por cero da cero [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

Dividir cero por cualquier número distinto de cero da como resultado cero:

0/a=0

a\neq 0.

División por cero

La división por cero no es posible en ningún campo o anillo , incluidos los campos de números reales y complejos .

De hecho, si denotamos , entonces, por definición, la división debería ser formalmente , mientras que la expresión , para cualquier , es igual a cero. En otras palabras, no hay elemento inverso para cero en ningún campo.

{\frac{a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

La división por cero de un número complejo distinto de cero es posible en el plano complejo extendido y su resultado es un punto en el infinito.

Significados de las funciones individuales

El factorial de cero, según el acuerdo [12] , se toma igual a uno: . Con tal acuerdo, la identidad será verdadera para $0!=1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ ${\ estilo de visualización n = 1.}$
El resultado de elevar cero a cualquier potencia positiva es cero: en . Elevar cero a cualquier potencia negativa no tiene sentido. ${\ estilo de visualización 0^{a} = 0}$ $a>0$
El resultado de elevar cualquier número (excepto el cero) a la potencia cero es igual a uno: . $un^{0}=1$
- La expresión ( cero al grado cero ) se considera sin sentido [13] [14] [15] , es decir, indefinida. $0^{0}$

Esto se debe a que una función de dos variables en un punto tiene una discontinuidad irreductible .

x^{y}

\{0,0\}

De hecho, a lo largo de la dirección positiva del eje donde es igual a uno, y a lo largo de la dirección positiva del eje donde es igual a cero.

X,

y=0,

Y,

x=0,

Ver el artículo Cero a la potencia cero para más detalles . Cero en geometría

Un punto puede ser considerado como un objeto de dimensión cero .
Un punto en el plano con una coordenada cero se encuentra en el eje de coordenadas correspondiente. Ambas coordenadas cero definen un punto llamado origen .
Un punto en el espacio tridimensional con una coordenada cero se encuentra en el plano de coordenadas correspondiente. Un punto en el espacio tridimensional también se llama origen si todas sus coordenadas son cero.
Afirmaciones similares son ciertas para un espacio de cualquier dimensión .
En un círculo, las posiciones 0° y 360° coinciden.

Cero en cálculo

Al calcular el límite de la relación , donde y , se presenta tal situación que la sustitución directa da una expresión cuyo valor no está definido. En el proceso de revelación de incertidumbres , siete situaciones de este tipo son posibles, y en cuatro de ellas cero está formalmente presente: , , , . $(a/b)$ $a\flecha derecha 0$ $b\flecha derecha 0$ $(0/0)$ $\izquierda({\frac{0}{0}}\derecha)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty)$
Una situación bien definida también es posible cuando se considera un límite lateral (derecho o izquierdo) de un valor infinitesimal:

Límite derecho: _ o _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Límite izquierdo: _ o _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Generalizaciones (cero en álgebra general)

Un análogo de cero puede existir en cualquier conjunto sobre el que se defina la operación de suma; en álgebra general, tal elemento a veces se llama elemento neutral , a veces cero aditivo , más a menudo cero con respecto a la suma . Ejemplos de tal elemento son el vector nulo y la matriz nula . (Si la operación de multiplicación se define en el conjunto, la unidad multiplicativa se puede considerar como un análogo de cero , o unidad con respecto a la multiplicación , si la hay).

Las estructuras algebraicas equipadas con suma y multiplicación también pueden contener un análogo de cero. El elemento cero contiene cualquier anillo y sus casos especiales: el cuerpo y el campo . Por ejemplo, la matriz cuadrada de tamaño cero es el elemento cero del anillo de matriz cuadrada . El anillo de polinomios también tiene un elemento cero: un polinomio con coeficientes cero, o un polinomio cero , . $n\veces n$ $M_{n}(R)$ $p(x)\equiv 0$

Cero en informática y computación

El número "cero" en informática y computación

La gran mayoría de las computadoras se basan en el sistema binario , es decir, su memoria contiene solo ceros y unos. Los datos no numéricos usan una codificación estándar; por ejemplo, los conceptos lógicos VERDADERO y FALSO generalmente se codifican como 1 y 0, respectivamente, y Unicode se ha desarrollado para datos de texto en diferentes idiomas .

Cuando se trabaja con una computadora, debido al peligro de confundir el número 0 con la letra O latina o rusa , lo que puede causar graves consecuencias, en un momento hubo una recomendación [16] de tachar el cero : . A veces hacían lo contrario: al programar en la computadora Minsk-32 , tachaban la letra O , y no el cero [17] . Los generadores de caracteres de muchas terminales de texto , adaptadores de video e impresoras matriciales también generan un cero en forma tachada cuando se trabaja en modo de texto (algunas impresoras tenían interruptores incorporados para habilitar y deshabilitar el modo cero tachado) [18] [19] . En las pantallas IBM 3270 , el número 0 se representaba con un punto en el centro. La distinción visual entre el número 0 y la letra O sigue siendo un requisito importante para las fuentes monoespaciadas . En las fuentes proporcionales , la letra O es notablemente más ancha que cero, por lo que generalmente no se requiere tachado. $\conjunto vacio$

El cero tachado no tiene un carácter Unicode separado; se puede obtener como un carácter U+0030 seguido inmediatamente por U+FE00, sin embargo, el resultado depende tanto de la fuente actual como del navegador. A veces, se utilizan símbolos de aspecto similar para la letra escandinava (Ø), el conjunto vacío (∅) o el diámetro (⌀). Algunas fuentes OpenType incluyen una opción especial de cero golpes, para la cual existe una opción especial en CSSfont-feature-settings: zero .

El número "cero" en informática y computación

En las computadoras, existe el concepto de " máquina cero ": este es un número de coma flotante y un orden tan negativo que la computadora percibe como cero.

Otra característica de la representación de datos en informática: en muchos lenguajes de programación, los elementos de una matriz de datos no se numeran desde la unidad habitual, sino desde cero, por lo que la descripción de M(n) real significa .array La plataforma Microsoft .NET Framework consolidó este estándar e incluso tradujo Visual Basic , que originalmente usaba la numeración desde uno. $M_{0},M_{1}\puntos M_{n-1}.$

En las bases de datos SQL , un campo puede tener el valor especial NULL , lo que significa que no es cero, sino un valor indefinido. Cualquier expresión que contenga NULL da como resultado NULL.

en matemáticas ; es decir, representan el mismo número, no hay ceros positivos y negativos separados. Sin embargo, en algunos formatos de computadora (por ejemplo, en el estándar IEEE 754 o en el código hacia adelante y hacia atrás ), existen dos representaciones diferentes para el cero: positivo (con signo positivo) y negativo; ver −0 (programación) para más detalles . Sin embargo, estas diferencias no afectan los resultados de los cálculos. ${\ estilo de visualización -0=+0=0}$ ${\ estilo de visualización -0,+0}$

representación decimal	Representación binaria (8 bits)
representación decimal	directo	espalda	adicional
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000

Historia de Zero

Historia del número 0

El número 0 apareció simultáneamente con el advenimiento de la numeración posicional (local): decimal en India y sexagesimal en Babilonia.

Antiguo Oriente

Los matemáticos babilónicos solían indicar el cero sexagesimal , primero un espacio y luego un signo cuneiforme especial "doble cuña"; se supone que la última insignia fue utilizada por los babilonios alrededor del 300 a. e., y sus maestros sumerios probablemente hicieron esto incluso antes. Sin embargo, el símbolo de la "doble cuña" de los sabios babilónicos nunca tuvo un significado independiente y no se percibía como un número, sino como la ausencia de un número; además, nunca se colocó al final de la entrada de un número, por lo que, digamos, los números 2 y 120 (2×60) tenían que distinguirse por contexto [20] [21] .

El número 0 estaba ausente en los sistemas de numeración romano, griego y chino. Se prescindió de esta cifra asignando a algunos símbolos los valores de números grandes. Por ejemplo, el número 100 en el sistema numérico griego se denotaba con la letra Ρ, en romano , con la letra C, en chino , con el jeroglífico 百.

Mayas e Incas

El Imperio Maya existió en la Península de Yucatán desde alrededor del año 300 a.C. mi. al 900 d.C. mi. Los mayas usaban el cero en su sistema numérico vigesimal casi un milenio antes que los indios, pero solo por los sacerdotes y solo para las necesidades del calendario (en la vida cotidiana, los mayas usaban el sistema jeroglífico de cinco) [22] . La primera estela sobreviviente con una fecha del calendario maya data del 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, es decir, el 8 de diciembre del 36 a. mi.

Es curioso que el infinito también se denotara con el mismo signo de las matemáticas mayas , ya que no significaba cero en el sentido europeo de la palabra, sino “principio”, “razón” [23] . La cuenta de los días del mes en el calendario maya comenzaba con el día cero, que se llamaba Ahau .

En el imperio inca del Tahuantinsuyu , el sistema de quipu nodal, basado en el sistema de numeración decimal posicional, se utilizaba para registrar información numérica . Los números del 1 al 9 fueron designados por nudos de cierto tipo, cero, saltando un nudo en la posición deseada. En el quechua moderno , el cero se denota con la palabra quechua ch'usaq (lit. "ausente", "vacío"), pero aún no está claro qué palabra usaron los incas para denotar cero al leer quipu, porque, por ejemplo, en algunos de los primeros españoles quechuas ( Diego González Holguín , 1608) y los primeros españoles aymaras ( Ludovico Bertonio , 1612) no hubo coincidencia para el español "cero" - "zero".

India

En la India, el número "cero" se llamaba la palabra sánscrita śūnyaḥ ("vacío"; "ausencia") y se usaba mucho en poesía y textos sagrados. Sin el cero, la notación posicional decimal de los números inventada en la India habría sido imposible . El primer carácter para cero se encuentra en el " manuscrito Bakhshali " indio de 876 EC. es decir, parece un punto grueso o un círculo lleno, más tarde llamado śūnya-binduḥ "punto de vacío" [24] [25] .

Desde los indios hasta los árabes, que llamaron al número 0 ṣifr (de ahí las palabras figura , cifra , y el italiano cero , cero), llegó a Europa Occidental [26] .

Europa

En Viena se almacena aritmética manuscrita del siglo XV, adquirida en Constantinopla ( Estambul ), en la que se utilizan signos numéricos griegos junto con la designación del cero con punto [27] . En las traducciones latinas de tratados árabes del siglo XII, el signo de cero (0) se llama círculo - circulus . En el manual Sacrobosco , que tuvo una gran influencia en la enseñanza de la aritmética en los países occidentales , escrito en 1250 y reimpreso en muchísimos países, el cero se llama “ thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili ” - theta , o teka , o círculo , o figura , o el signo de nada . El término nulla figura - sin signo - aparece en traducciones manuscritas latinas y adaptaciones de obras árabes del siglo XII. El término nulla se encuentra en un manuscrito de 1484 de Nicolas Schuquet y en el primer impreso llamado (según el lugar de publicación) aritmética de Trevize (1478) [28] .

Desde principios del siglo XVI, la palabra "cero" ha sido de uso generalizado en Alemania y otros países, al principio como una palabra extranjera y en una forma gramatical latina, pero gradualmente toma una forma característica de esta lengua nacional.

Rusia

Leonty Magnitsky en su " Aritmética " llama al signo 0 "dígito o nada" (primera página del texto); en la segunda página de la tabla, en la que se da un nombre a cada dígito, el 0 se denomina " ninguno ". A finales del siglo XVIII, en la segunda edición rusa de " Abreviaturas de los primeros fundamentos de las matemáticas " de X. Wolf ( 1791 ), el cero también se denomina figura . En los manuscritos matemáticos del siglo XVII, utilizando números indios, el 0 se denomina "on " debido a su parecido con la letra o [29] .

La historia del número "cero"

Aunque no existe el número 0 en el sistema numérico egipcio, los matemáticos egipcios ya desde el Reino Medio (principios del segundo milenio a. C.) utilizaron el jeroglífico nfr (“hermoso”) en su lugar, lo que también significó el comienzo de la cuenta regresiva en los esquemas de templos, pirámides y tumbas [30] .

En los registros chinos de números, el número "cero" también está ausente; para denotar el número "cero" usan el signo 〇 - uno de los " jeroglíficos de la emperatriz Wu Zetian ".

En la antigua Grecia no se conocía el número 0. En las tablas astronómicas de Claudio Ptolomeo , las celdas vacías se designaban con el símbolo ο (letra omicron , del otro griego οὐδέν - nada ); es posible que esta designación haya influido en la aparición del número "cero", pero la mayoría de los historiadores reconocen que los matemáticos indios inventaron el cero decimal .

En Europa, durante mucho tiempo, el 0 se consideró un símbolo convencional y no se reconoció como un número; incluso en el siglo XVII, Wallis escribió: "El cero no es un número". En los escritos aritméticos, un número negativo se interpretaba como una deuda y el cero como una situación de ruina total. Las obras de Leonhard Euler contribuyeron especialmente a la completa equiparación de sus derechos con otros números .

Véase también

Notas

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↑ Zero // Gran Diccionario Enciclopédico . — 2000. (Ruso)
↑ Gran diccionario explicativo de la lengua rusa. cap. edición S. A. Kuznetsov. Primera edición: San Petersburgo: Norint, 1998.
↑
El número más importante es el cero. Fue una idea brillante hacer algo de la nada, darle un nombre e inventar un símbolo para ello.
— Van der Waerden B. L. La ciencia del despertar. Matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. - M.: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
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Literatura

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A salvo, Carlos. Cero. Biografía de una Idea Peligrosa = Cero: La Biografía de una Idea Peligrosa. - Neoclásico, AST, 2014. - 288 p. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
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Enlaces

Historia de cero
¿Por qué no puedes dividir por cero?
Simbolismo de los números (cero) /S. Curius / "Tiempo Z" No. 2/2007
Sobre la comparación de los conceptos de "cero" y "nada" Smirnov OA - Sesión científica MEPhI-2003.
Propiedades del número cero
JJ O'Connor, E. F. Robertson. Una historia de Cero . MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia (noviembre de 2000). (indefinido)

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enteros

Hasta 100
0 una 2 3 cuatro 5 6 7 ocho 9 diez once 12 13 catorce quince dieciséis 17 Dieciocho 19 veinte 21 22 23 24 25 26 27 28 29 treinta 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 cincuenta 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 66 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81 82 83 85 87 88 89 90 91 92 95 97 98 99

100 y más