Poliedro de johnson

Un poliedro de Johnson o un cuerpo de Johnson es un poliedro convexo , cada una de cuyas caras es un polígono regular , y al mismo tiempo no es ni un sólido platónico , ni un sólido de Arquímedes , ni un prisma , ni un antiprisma . Hay 92 cuerpos de Johnson en total.

Un ejemplo de cuerpo Johnson es una pirámide de base cuadrada y lados en forma de triángulos regulares ( J 1 (M 2 ) . Tiene 1 cara cuadrada y 4 triangulares.

Como todo cuerpo estrictamente convexo, estos poliedros tienen al menos tres caras contiguas a cada vértice y la suma de sus ángulos (contiguos al vértice) es inferior a 360º. Debido a que los polígonos regulares tienen ángulos de al menos 60º, un máximo de cinco caras pueden tocar un vértice. La pirámide pentagonal ( J 2 ) es un ejemplo que tiene un vértice de orden cinco (es decir, con cinco caras).

Aunque no existe una restricción explícita sobre los polígonos regulares que pueden servir como caras de los sólidos de Johnson, de hecho, las caras solo pueden tener 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados, y cualquier sólido de Johnson tiene caras triangulares (al menos cuatro).

De los sólidos de Johnson, el bicúpolo rotado alargado de cuatro pendientes ( J 37 ), también llamado pseudorombicuboctaedro [1] , es el único que tiene la propiedad de uniformidad de vértice local: hay 4 caras en cada vértice y su disposición es lo mismo - 3 cuadrados y 1 triángulo. Sin embargo, el cuerpo no es de vértice transitivo, ya que tiene diferentes isometrías en diferentes vértices, lo que lo convierte en un cuerpo de Johnson y no de Arquímedes .

Historia

En 1966, Norman Johnson publicó una lista que incluía los 92 cuerpos y les dio nombres y números. Él planteó la hipótesis de que solo hay 92 de ellos, es decir, no hay otros.

Anteriormente, en 1946, L. N. Esaulova envió una carta a A. D. Aleksandrov , en la que demostraba que solo puede existir un número finito de poliedros regulares (excepto 5 poliedros regulares, 13 semirregulares y dos series infinitas (prismas y antiprismas). En 1961 Aleksandrov entregó esta carta a V. A. Zalgaller, posiblemente debido a la nota de Johnson de 1960 [2] .

En 1967, Victor Zalgaller publicó pruebas de que la lista de Johnson estaba completa. Un grupo de escolares de la escuela N° 239 estuvo involucrado en la decisión . La prueba completa tomó alrededor de 4 años con la participación de la tecnología informática . La prueba también hizo un uso significativo del teorema de los poliedros convexos de Aleksandrov .

Terminología

Los nombres de los cuerpos de Johnson tienen mucho poder descriptivo. La mayoría de estos sólidos se pueden construir a partir de múltiples sólidos ( pirámides , cúpulas y rotondas ) agregando sólidos platónicos y de Arquímedes , prismas y antiprismas .

Las últimas tres operaciones, incrementar , truncar y rotar  , se pueden realizar más de una vez en poliedros suficientemente grandes. Para operaciones realizadas dos veces, se suma dos veces . ( Un cuerpo torcido dos veces tiene dos cúpulas torneadas.) Para operaciones realizadas tres veces, agregue tres veces . ( Se han quitado tres pirámides o cúpulas del cuerpo cortado tres veces ).

A veces la palabra dos veces no es suficiente. Es necesario distinguir los cuerpos en los que se han modificado dos caras opuestas de los cuerpos en los que se han modificado otras caras. Cuando las caras modificadas son paralelas, se agrega lo contrario al nombre . ( Un cuerpo extendido doblemente opuesto tiene dos caras paralelas (opuestas) con cuerpos agregados). Si los cambios se refieren a caras que no son opuestas, se agrega oblicuo al nombre . ( Un cuerpo doblemente sesgado tiene dos caras con cuerpos agregados, pero las caras no son opuestas).

Varios nombres se derivan de los polígonos a partir de los cuales se ensambla el cuerpo de Johnson.

Si un mes se define como un grupo de dos triángulos unidos a un cuadrado, la palabra corona en cuña corresponde a un grupo en forma de corona en forma de cuña formado por dos meses. La palabra dos clinoides o dos clínicas significa dos de esos grupos.

Este artículo utiliza los títulos del artículo de Zalgaller [3] . Junto con los números de poliedro dados por Johnson, el número compuesto del artículo de Zalgaller se da entre paréntesis. En este número compuesto

P n denota un prisma con una base n -gonal. Y n denota un antiprisma de base n -gonal. M n denota un cuerpo con índice n (es decir, en este caso, el cuerpo está construido sobre la base de otro cuerpo). Subrayado significa rotación del cuerpo.

Nota : M n no es lo mismo que J n . Así, la pirámide cuadrada J 1 (M 2 ) tiene índice 1 para Johnson e índice 2 para Zalgaller.

Lista

Pirámides

Los dos primeros cuerpos de Johnson, J 1 y J 2 , son pirámides . La pirámide triangular es un tetraedro regular , por lo que no es un sólido de Johnson.

pirámides
correcto J1 ( M2 ) _ J 2 (M 3 )
Pirámide triangular
( Tetraedro ) 		pirámide cuadrada Pirámide pentagonal

Cúpulas y rotondas

Los siguientes cuatro poliedros son tres cúpulas y una rotonda .

cúpulas rotondas
Homogéneo J3 ( M4 ) _ J4 ( M5 ) _ J5 ( M6 ) _ J6 ( M9 ) _
prisma triangular cúpula de tres pendientes cúpula de cuatro tonos cúpula de cinco pendientes rotonda de cinco pendientes
Poliedros uniformes relacionados
cuboctaedro Rombicuboctaedro Rombicosidodecaedro icosidodecaedro

Pirámides alargadas alargadas y retorcidas

Los siguientes cinco poliedros de Johnson son pirámides alargadas alargadas y torcidas. Representan el pegado de dos poliedros. En el caso de una pirámide triangular alargada por torsión, tres pares de triángulos adyacentes son coplanares, por lo que el cuerpo no es un poliedro de Johnson.

Pirámides alargadas
(o prismas alargados) 		Pirámides alargadas retorcidas
(o antiprismas aumentados)
J 7 (M 1 + P 3 ) J 8 (M 2 + P 4 ) J 9 (M 3 + P 5 ) coplanario J 10 (M 2 + A 4 ) J 11 (M 3 + A 5 )
Pirámide triangular alargada Pirámide cuadrangular alargada Pirámide pentagonal alargada Pirámide triangular alargada retorcida Pirámide cuadrangular alargada retorcida Pirámide pentagonal alargada torcida
Prisma triangular extendido cubo aumentado Prisma pentagonal extendido octaedro aumentado Antiprisma cuadrado aumentado Antiprisma pentagonal extendido
Derivado de poliedros
prisma triangular tetraedro
 cubo piramidal cuadrado
 Prisma pentagonal de pirámide
pentagonal 		tetraedro
octaedro 		Antiprisma cuadrado piramidal
cuadrado 		pirámide
pentagonal antiprisma pentagonal

Bipirámides

Los siguientes poliedros de Johnson son bipirámides , bipirámides alargadas y bipirámides alargadas retorcidas :

Bipirámides Bipirámides alargadas Bipirámides alargadas retorcidas
J 12 (2M 1 ) correcto J 13 (2M 3 ) J 14 (M 1 + P 3 + M 1 ) J 15 (M 2 + P 4 + M 2 ) J 16 (M 3 + P 5 + M 3 ) coplanario J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) correcto
bipirámide triangular bipirámide cuadrada
( octaedro ) 		Bipirámide pentagonal Bipirámide triangular alargada Bipirámide cuadrangular alargada Bipirámide pentagonal alargada Bipirámide triangular alargada retorcida
( romboedro ) 		Bipirámide cuadrangular alargada retorcida Bipirámide pentagonal alargada retorcida
( icosaedro )
Derivado de poliedros
tetraedro pirámide cuadrada Pirámide pentagonal prisma triangular tetraedro
 cubo piramidal cuadrado
 Prisma pentagonal de pirámide
pentagonal 		tetraedro
octaedro 		Pirámide cuadrada Antiprisma
cuadrangular 		Pirámide
pentagonal Antiprisma pentagonal

Cúpulas y rotondas alargadas

Cúpulas alargadas rotonda alargada Cúpulas alargadas retorcidas rotonda alargada retorcida
coplanario J 18 (M 4 + P 6 ) J 19 (M 5 + P 8 ) J 20 (M 6 + P 10 ) J 21 (M 9 + P 10 ) Cóncavo J 22 (M 4 + A 6 ) J 23 (M 5 + A 8 ) J 24 (M 6 + A 10 ) J 25 (M 9 + A 10 )
Cúpula a dos aguas alargada Cúpula triangular alargada Cúpula a cuatro aguas alargada Cúpula alargada de cinco lados rotonda alargada de cinco pendientes Cúpula a dos aguas alargada torcida Cúpula triangular alargada retorcida Cúpula torcida alargada de cuatro tonos Cúpula torcida alargada de cinco tonos rotonda alargada torcida de cinco pendientes
Derivado de poliedros
Prisma cuadrado Prisma
triangular 		prisma hexagonal
 Prisma octogonal
 Prisma decagonal
Cúpula de cinco lados 		prisma decagonal
 Antiprisma cuadrangular
Prisma triangular 		Antiprisma hexagonal
 Antiprisma octogonal
Cúpula de cuatro aguas 		Antiprisma decagonal
Cúpula de cinco vertientes 		Antiprisma decagonal
Rotonda de cinco lados

Bicúpulas

Los bicúpolos triangulares rotados son poliedros semirregulares (en este caso, sólidos de Arquímedes ), por lo que no pertenecen a la clase de politopos de Johnson.

cúpulas rectas cúpulas giradas
coplanario J 27 (2M 4 ) J 28 (2M 5 ) J 30 (2M 6 ) J 26 (P 3 + P 3 ) semi-correcto J 29 (M 5 + M 5 ) J 31 (M 6 + M 6 )
Bicúpula recta a dos aguas Bi-domo recto de tres vertientes Bi-domo recto de cuatro pendientes Bi-domo recto de cinco pendientes Bicúpula torneada a dos aguas
( gyrobifastigium ) 		Bicúpolo rotado triangular
( cuboctaedro ) 		Bi-domo torneado de cuatro pendientes Bi-domo de cinco pendientes
Derivado de poliedros

Cupolorotundas y birotundas

copalorotunda birotundas
J 32 (M 6 + M 9 ) J 33 (M 6 + M 9 ) J 34 (2M 9 ) semi-correcto
Cúpula recta de cinco vertientes Cúpula torneada de cinco vertientes-orotonda Birotunda recta de cinco pendientes Birotunda
icosidodecaedro rotado de cinco lados
Derivado de poliedros
Cúpula
de cinco vertientes Rotonda de cinco vertientes 		rotonda de cinco pendientes

Bicúpolos alargados

Bicúpolos rectos alargados Bi-cúpulas rotadas alargadas
coplanario J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) semi-correcto J 38 (M 6 + P 10 + M 6 ) coplanario J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) J 37 (M 5 + P 8 + M 5 ) J 39 (M 6 + P 10 + M 6 )
Bi-domo recto a dos aguas alargado Bi-domo recto alargado de tres pendientes Bicúpolo recto cuadrado alargado
( rombicuboctaedro ) 		Bi-domo recto alargado de cinco pendientes Bi-cúpula rotada de doble pendiente alargada Bi-domo rotado de tres pendientes alargado Bi-domo rotado de cuatro pendientes alargado Bi-domo alargado de cinco pendientes convertido

Cúpula alargada y birotunda

cúpula alargada-orotonda Birotondas alargadas
J 40 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 41 (M 6 + P 10 + M 9 ) J 42 (M 9 + P 10 + M 9 ) J 43 (M 9 + P 10 + M 9 )
Cúpula recta alargada de cinco vertientes Cúpula torneada alargada de cinco vertientes Birotunda recta alargada de cinco vertientes Birotunda alargada de cinco pendientes convertida

Bicúpolos alargados torcidos, cúpulas ortundas y birotundas

Los siguientes sólidos de Johnson tienen dos formas quirales .

Bi-cúpulas alargadas retorcidas Cúpula alargada retorcida Birotunda alargada torcida
no convexo J 44 (M 4 + A 6 + M 4 ) J 45 (M 5 + A 8 + M 5 ) J 46 (M 6 + A 10 + M 6 ) J 47 (M 6 + A 10 + M 9 ) J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Bi-cúpula a dos aguas alargada retorcida Bi-cúpula alargada retorcida de tres pendientes Bi-cúpula alargada torcida de cuatro tonos Bi-cúpula alargada torcida de cinco pendientes Cúpula torcida alargada de cinco vertientes Birotunda alargada torcida de cinco vertientes
Derivado de poliedros
Prisma triangular Antiprisma
cuadrangular 		Cúpula tri-pendiente Antiprisma
hexagonal 		Cúpula de cuatro
aguas Antiprisma octogonal 		Cúpula de cinco vertientes Antiprisma
decagonal 		Cúpula de cinco vertientes Rotonda de cinco vertientes
Antiprisma
decagonal 		Rotonda de cinco vertientes Antiprisma
decagonal

Prismas triangulares extendidos

J 7 (M 1 + P 3 )
(repetidamente) 		J 49 (P 3 + M 2 ) J 50 (P 3 + 2M 2 ) J 51 (P 3 + 3M 2 )
Pirámide triangular alargada Prisma triangular extendido Prisma triangular doblemente extendido Prisma triangular triple extendido
Derivado de poliedros
prisma triangular
tetraedro 		Prisma triangular
Pirámide cuadrada

Prismas pentagonales y hexagonales extendidos

Prismas pentagonales extendidos Prismas hexagonales extendidos
J 52 (P 5 + M 2 ) J 53 (P 5 + 2M 2 ) J 54 (P 6 + M 2 ) J 55 (M 2 + P 6 + M 2 ) J 56 (P 6 + 2M 2 ) J 57 (P 6 + 3M 2 )
Prisma pentagonal extendido Prisma pentagonal doblemente extendido Prisma hexagonal extendido Prisma hexagonal extendido de doble opuesto Prisma hexagonal doblemente extendido oblicuamente Prisma hexagonal triple extendido
Derivado de poliedros
Prisma pentagonal
Pirámide cuadrada 		Prisma hexagonal
Pirámide cuadrada

Dodecaedros aumentados

Derecha J 58 (M 15 + M 3 ) J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) J 60 (M 15 + 2M 3 ) J 61 (M 15 + 3M 3 )
Dodecaedro dodecaedro aumentado Dodecaedro doblemente extendido Dodecaedro doblemente extendido Dodecaedro Triple Aumentado
Derivado de poliedros
Dodecaedro y pirámide pentagonal

Cortar icosaedros

Derecha J 11 (M 3 + A 5 )
(repetidamente) 		J 62 (M 7 +M 3 ) J 63 (M 7 ) J 64 (M 7 + M 1 )
icosaedro Corte el icosaedro
( pirámide pentagonal alargada retorcida ) 		Doble icosaedro cortado oblicuamente Icosaedro de corte triple Icosaedro de corte triple aumentado
Derivado de poliedros
Icosaedro de triple corte , pirámide pentagonal y tetraedro

Cubos y tetraedros truncados aumentados

J 65 (M 10 + M 4 ) J 66 (M 11 + M 5 ) J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Tetraedro truncado aumentado Cubo truncado aumentado Cubo truncado doblemente aumentado
Derivado de poliedros
tetraedro truncado
 Cubo truncado

Dodecaedros truncados aumentados

semi-correcto J 68 (M 6 + M 12 ) J 69 (M 6 + M 12 + M 6 ) J 70 (M 12 + 2M 6 ) J 71 (M 12 + 3M 6 )
dodecaedro truncado Dodecaedro truncado aumentado Dodecaedro truncado dodecaedro doblemente extendido dodecaedro dodecaedro Dodecaedro truncado de triple aumento

Rombicosidodecaedros retorcidos

J 72 ( METRO 6 + METRO 14 + METRO 6 = METRO 6 + METRO 13 + 2M 6 ) J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 ) J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 ) J 75 (3 M 6 + M 13 )
Rombicosidodecaedro retorcido Rombicosidodecaedro doblemente torcido Rombicosidodecaedro doblemente torcido Rombicosidodecaedro tritorcido

Cortar rombicosidodecaedros

J 76 (M 6 + M 14 = 2M 6 + M 13 ) J 77 (M 14 + M 6 ) J 78 (M 13 + M 6 + M 6 ) J 79 (M 13 +2 M 6 )
Cortar rombicosidodecaedro Rombicosidodecaedro truncado con torsión opuesta Rombicosidodecaedro truncado torcido oblicuamente Rombicosidodecaedro truncado doblemente torcido
J 80 (M 14 ) J 81 (M 13 + M 6 ) J 82 (M 14 + M 6 ) J 83 (M 13 )
Rombicosidodecaedro de doble corte opuesto El rombicosidodecaedro cortado dos veces oblicuamente Rombicosidodecaedro torcido de doble corte Rombicosidodecaedro trisecado

Antiprismas chatos

Los antiprismas chatos se pueden construir alterando antiprismas truncados. Dos cuerpos son poliedros de Johnson, un cuerpo es regular y el resto no se puede construir usando triángulos regulares.

J 84 (M 25 ) Derecha J 85 (M 28 ) Equivocado
el cuerpo de johnson Derecha el cuerpo de johnson Cóncavo

snub biclinoid
ss{2,4}
icosaedro
ss{2,6}
Snub cuadrado antiprisma
ss{2,8}
s{2,10}
imposible de construir a partir de
triángulos regulares

Otros

J 86 (M 22 ) J 87 (M 22 + M 3 ) J 88 (M 23 )
corona de cuña Corona de cuña extendida Corona de cuña grande
J 89 (M 21 ) J 90 (M 24 ) J 91 (M 8 ) J 92 (M 20 )
Corona de cuña grande aplanada biclínico con cinturón serporotonda doble Clinorotonda triangular aplanada

Clasificación por tipos de rostros

Caras triangulares

Los cinco poliedros de Johnson son deltaedros , lo que significa que todas sus caras son triángulos regulares:

J 12 (2M 1 ) Bipirámide triangular J 13 (2M 3 ) Bipirámide pentagonal J 17 (M 2 + A 4 + M 2 ) Bipirámide cuadrangular alargada torcida J 51 (P 3 + 3M 2 ) Prisma triangular triple prolongado J 84 (M 25 ) Dos clinoides de punta plana

Caras triangulares y cuadradas

Veinticuatro politopos de Johnson tienen solo caras triangulares y cuadriláteras:

J 1 (M 2 )
Pirámide cuadrada J 7 (M 1 + P 3 )
Pirámide triangular alargada J 8 (M 2 + P 4 )
Pirámide cuadrangular alargada J 10 (M 2 + A 4 )
Pirámide cuadrangular alargada torcida J 14 (M 1 + P 3 + M 1 )
Bipirámide triangular alargada J 15 (M 2 + P 4 + M 2 )
Bipirámide cuadrangular alargada J 16 (M 3 + P 5 + M 3 )
Bipirámide pentagonal alargada J 26 (P 3 + P 3 )
Bi-domo torneado de doble cara ( gyrobifastigium ) 		J 27 (2M 4 )
Bi-domo recto de tres pendientes J 28 (2M 5 )
Bicúpula recta de cuatro inclinaciones J 29 ( M 5 + M 5 )
J 35 (M 4 + P 6 + M 4 )
Bi-domo recto alargado de tres pendientes J 36 (M 4 + P 6 + M 4 )
J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
J 44 (M 4 + A 6 + M 4 )
Bicúpula alargada torcida de tres pendientes J 45 (M 5 + A 8 + M 5 )
Bicúpula alargada torcida de cuatro pendientes 		J 49 (P 3 + M 2 )
Prisma triangular extendido J 50 (P 3 +2M 2 )
Prisma triangular doblemente prolongado J 85 (M 28 )
Antiprisma cuadrado chato J 86 (M 22 )
Corona en cuña J 87 (M 22 + M 3 )
Corona de cuña extendida J 88 (M 23 )
Corona de cuña grande J 89 (M 21 )
Corona de cuña grande aplanada J 90 ( M 24 )

Caras triangulares y pentagonales

Once sólidos de Johnson solo tienen caras triangulares y pentagonales:

J 2 (M 3 )
Pirámide pentagonal J 11 (M 3 + A 5 )
Pirámide pentagonal alargada torcida J 34 (2M 9 )
Birotunda recta de cinco pendientes J 48 (M 9 + A 10 + M 9 )
Birotunda alargada torcida de cinco vertientes J 58 (P 15 + M 3 )
Dodecaedro extendido J 59 (M 3 + M 15 + M 3 )
Dodecaedro doblado en sentido opuesto 		J 60 (M 15 + 2M 3 )
Dodecaedro doblado oblicuamente J 61 (M 15 + 2M 3 )
Dodecaedro triple extendido J 62 (M 7 +M 3 )
Doble icosaedro cortado oblicuamente J 63 (M 7 )
Icosaedro cortado tres veces J 64 (M 7 + M 1 )
Icosaedro de corte triple extendido

Caras triangulares, cuadradas y hexagonales

Los ocho poliedros de Johnson solo tienen caras triangulares, cuadradas y hexagonales:

J 3 (M 4 )
Cúpula de tres aguas J 18 (M 4 + P 6 )
Domo alargado de tres pendientes J 22 (M 4 + A 6 )
Domo de tres pendientes alargado torcido J 54 (P 6 + M 2 )
Prisma hexagonal prolongado 		J 55 (M 2 + P 6 + M 2 )
Prisma hexagonal doble de extensión opuesta J 56 (P 6 +2M 2 )
Prisma hexagonal doblemente extendido oblicuamente J 57 (P 6 + 3M 2 )
Prisma hexagonal triple prolongado J 65 (M 10 + M 4 )
Tetraedro truncado extendido

Caras triangulares, cuadradas y octogonales

Los cinco poliedros de Johnson tienen solo caras triangulares, cuadradas y octogonales:

J 4 (M 5 )
Cúpula de cuatro aguas J 19 (M 5 + P 8 )
Cúpula alargada de cuatro aguas J 23 (M 5 + A 8 )
Cúpula torcida alargada de cuatro aguas 		J 66 (M 11 + M 5 )
Cubo truncado extendido J 67 (M 5 + M 11 + M 5 )
Cubo truncado doblemente prolongado

Politopos de Johnson inscritos en una esfera

25 Los politopos de Johnson tienen vértices que se encuentran en la misma esfera: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Todos estos poliedros se pueden obtener a partir de poliedros regulares o uniformes por rotación (cúpula) o por corte (cúpula o pirámide) [4] .

Octaedro cuboctaedro Rombicuboctaedro
J1 ( M2 ) _
 J3 ( M4 ) _
 J 27 (2M 4 )
 J4 ( M5 ) _
 J 19 (M 5 + P 8 )
 J 37 (M 5 + P 8 + M 5 )
icosaedro icosidodecaedro
J 2 (M 3 )
J 63 (M 7 )
 J 62 (M 7 +M 3 )
 J 11 (M 3 + A 5 )
 J6 ( M9 ) _
 J 34 (2M 9 )
Rombicosidodecaedro (recortado)
J5 ( M6 ) _
 J 76 (M 6 + M 14 )
 J 80 (M 14 )
 J 81 (M 13 + M 6 )
 J 83 (M 13 )
Rombicosidodecaedro (+ rotación)
J 72 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 73 ( M 6 + M 14 + M 6 )
 J 74 (2 M 6 + M 13 + M 6 )
 J 75 (3 M 6 + M 13 )
 J 77 (M 14 + M 6 )
 J 78 (M 13 + M 6 + M 6 )
 J 79 (M 13 + 2M 6 )
 J 82 (M 14 + M 6 )

Véase también

Notas

  1. ↑ Pseudo Rhombicuboctahedra Archivado el 8 de diciembre de 2012 en Wayback Machine .
  2. ↑ Johnson N. W. Poliedros convexos con caras regulares (informe preliminar) // Notices Amer. Matemáticas. soc. - 1960. - S. 952 .
  3. ↑ Zalgaller, 1967 .
  4. ↑ Johnson solids et al . Archivado el 2 de mayo de 2014 en Wayback Machine .

Literatura

Enlaces