Poliedros multidimensionales regulares

Un politopo regular de n dimensiones es  un politopo de espacio euclidiano de n dimensiones que es el más simétrico en algún sentido. Los poliedros tridimensionales regulares también se denominan sólidos platónicos .

Historia

Ludwig Schläfli obtuvo una clasificación de poliedros multidimensionales regulares . [una]

Definición

La bandera de un politopo n -dimensional es el conjunto de sus caras , donde es la cara bidimensional del politopo P, y para .

Un poliedro regular de n - dimensiones es un poliedro convexo de n - dimensiones , para el cual dos de sus banderas y tienen un movimiento que lleva a .

Clasificación

Dimensión 4

Hay 6 poliedros regulares de cuatro dimensiones (multi-celdas):

Nombre Imagen
( diagrama de Schlegel ) 		Símbolo
Schläfli 		Célula Número
de celdas 		Número
de caras 		Número
de aristas 		Número
de vértices
cinco celdas {3,3,3}
tetraedro regular 		5 diez diez 5
teseracto {4,3,3} cubo ocho 24 32 dieciséis
celda hexadecimal {3,3,4}
tetraedro regular 		dieciséis 32 24 ocho
veinticuatro celda {3,4,3} octaedro 24 96 96 24
120 celdas {5,3,3} dodecaedro 120 720 1200 600
seiscientas celdas {3,3,5}
tetraedro regular 		600 1200 720 120

Dimensiones 5 y más

En cada una de las dimensiones superiores, hay 3 poliedros regulares ( politopos ):

Nombre Símbolo Schläfli
n - símplex regular dimensional
 {3;3;...;3;3}
hipercubo n -dimensional
 {4;3;...;3;3}
hiperoctaedro n -
dimensional 		{3;3;...;3;4}

Propiedades geométricas

Ángulos

El ángulo diedro entre caras adyacentes de (n-1) dimensiones de un politopo regular de n dimensiones, dado por su símbolo de Schläfli , viene dado por la fórmula [2] [3] [4] :

donde es la mitad del ángulo entre las caras adyacentes de (n-1) dimensiones de un poliedro regular de n dimensiones

Radios, volúmenes

Radio de una esfera N-dimensional inscrita:

donde es el radio de la esfera de dimensión (N-1) inscrita de la cara.

Volumen de un poliedro de dimensión N:

donde es el volumen de una cara de dimensión (N-1), es el número de caras de dimensión (N-1).

Mosaicos

En dimensión n = 4
  • de tesseract
  • panales
  • Veinticuatro
En dimensión n ≥ 5

Véase también

Notas

  1. ↑ Schlafli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1–237.
  2. ↑ Sommerville DMY Introducción a la geometría de n dimensiones . - Londres, 1929. - S. 189. - 196 p.
  3. ↑ Coxeter HSM Regular Polytoopes . - Londres, 1948. - S. 134. - 321 p. Archivado el 5 de mayo de 2016 en Wayback Machine .
  4. ↑ Rosenfeld BA Espacios multidimensionales . - Ciencias, 1966. - S. 193.

Enlaces

Politopos homogéneos y regulares convexos básicos en dimensiones 2–10
Familia un norte segundo norte I₂(p) / D norte E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂ H₄
polígono regular triángulo rectángulo Cuadrado
p-ágono regular 		Hexágono regular pentágono regular
poliedro uniforme tetraedro regular Octaedro regular • Cubo medio cubo Dodecaedro regular • Icosaedro regular
multicelda uniforme cinco celdas 16 celdas • Teseracto semiteseracto 24 celdas 120 celdas • 600 celdas
5-politopo homogéneo 5 simples regulares 5-orthoplex • 5-hipercubo 5-semihipercubo
6 politopos homogéneos 6 simples simples 6-orthoplex • 6-hipercubo 6-semihipercubo 1 22 • 2 21
7-politopo homogéneo 7 simples regulares 7-orthoplex • 7-hipercubo 7-semihipercubo 1 32 • 2 31 • 3 21
8 politopos homogéneos 8 simples regulares 8-orthoplex • 8-hipercubo 8-medio-hipercubo 1 42 • 2 41 • 4 21
9-politopo homogéneo 9 simples regulares 9-orthoplex • 9-hipercubo 9-semihipercubo
10 politopos homogéneos 10 simples regulares 10-orthoplex • 10-hipercubo 10-medio-hipercubo
Uniforme n - politopo Normal n - símplex n - orthoplex • n - hipercubo n - semi-hipercubo 1 k2 • 2 k1 • k 21 n - poliedro pentagonal
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