Tetraedro

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 5 de diciembre de 2019; las comprobaciones requieren 36 ediciones .

Tetrahedron ( griego antiguo τετρά-εδρον " tetrahedron " [1] ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέτᾰρες / τέττορες / τέτορες " cuatro" + ἕδρα "asiento, base"), el triangle más simple de qué son .

Un tetraedro es una pirámide triangular cuando se toma como base alguna de las caras. Un tetraedro tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas. Un tetraedro en el que todas las caras son triángulos equiláteros se llama regular. El tetraedro regular es uno de los cinco poliedros regulares .

Propiedades

Los planos paralelos que pasan por tres pares de aristas cruzadas del tetraedro determinan el paralelepípedo descrito cerca del tetraedro .

El plano que pasa por los puntos medios de dos aristas cruzadas del tetraedro lo divide en dos partes de igual volumen [3] :216-217 .

Las bimedianas de un tetraedro se cortan en el mismo punto que las medianas de un tetraedro.
- Los bimedianos de un tetraedro son segmentos que conectan los puntos medios de sus aristas que se cruzan (que no tienen vértices comunes).

Los centros de las esferas que pasan por tres vértices y un incentro se encuentran sobre una esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera circunscrita.
- Esta afirmación también es cierta para los incentivos externos.

Los planos que pasan por el medio de un borde y son perpendiculares al borde opuesto se cortan en un punto (ortocentro).
- El ortocentro en un símplex se define como la intersección de hiperplanos que son perpendiculares a una arista y pasan por el centro de gravedad del elemento opuesto.

El centro de la esfera (F), que pasa por los centros de gravedad de las caras del tetraedro, el centro de gravedad del tetraedro (M), el centro de la esfera circunscrita (R) y el ortocentro (H) se encuentran en la misma línea recta. Al mismo tiempo $RM=MH=3\cdot MF$

El centro de la esfera (S) inscrito en el tetraedro complementario, el centro de la esfera (N) inscrito en el tetraedro anticomplementario, el centro de gravedad del tetraedro (M) y el centro de la esfera inscrita (I) se encuentran en la misma linea recta.

Deje que el punto G 1 divida el segmento que conecta el ortocentro (H) y el vértice 1 en la proporción 1:2. Dejemos caer la perpendicular desde el punto G 1 hasta la cara del vértice opuesto 1. La perpendicular corta la cara en el punto W 1 . Los puntos G 1 y W 1 se encuentran en una esfera (la esfera de Feuerbach), que pasa por los centros de gravedad de las caras del tetraedro.

La sección de un plano que pasa por los puntos medios de las cuatro aristas de un tetraedro es un paralelogramo.

Tipos de tetraedros

Tetraedro isoédrico

Todas sus caras son triángulos iguales entre sí. El desarrollo de un tetraedro isoédrico es un triángulo dividido por tres líneas medianas en cuatro triángulos iguales . En un tetraedro isoédrico, las bases de las alturas, los puntos medios de las alturas y los puntos de intersección de las alturas de las caras se encuentran en la superficie de una esfera (la esfera de 12 puntos) (Análogo del círculo de Euler para un triángulo ).

Propiedades de un tetraedro isoédrico:

Todas sus caras son iguales (congruentes).
Los bordes cruzados son iguales en pares.
Los ángulos triédricos son iguales.
Los ángulos diedros opuestos son iguales.
Dos ángulos planos basados en la misma arista son iguales.
La suma de los ángulos del plano en cada vértice es 180°.
El desarrollo de un tetraedro es un triángulo o un paralelogramo .
El paralelepípedo descrito es rectangular.
El tetraedro tiene tres ejes de simetría.
Las perpendiculares comunes de los bordes sesgados son perpendiculares por pares.
Las líneas medianas son pares perpendiculares.
Los perímetros de las caras son iguales.
Las áreas de las caras son iguales.
Las alturas del tetraedro son iguales.
Los segmentos que conectan los vértices con los centros de gravedad de las caras opuestas son iguales.
Los radios de los círculos descritos cerca de las caras son iguales.
El centro de gravedad del tetraedro coincide con el centro de la esfera circunscrita.
El centro de gravedad coincide con el centro de la esfera inscrita.
El centro de la esfera circunscrita coincide con el centro de la inscrita.
La esfera inscrita toca las caras en los centros de los círculos circunscritos a estas caras.
La suma de las normales unitarias exteriores (vectores unitarios perpendiculares a las caras) es cero.
La suma de todos los ángulos diedros es cero.
Los centros de las esferas exscritas se encuentran en la esfera circunscrita.

Tetraedro ortocéntrico

Todas las alturas caídas desde los vértices hasta las caras opuestas se cruzan en un punto.

Las alturas del tetraedro se cortan en un punto.
Las bases de las alturas del tetraedro son los ortocentros de las caras.
Cada dos aristas opuestas de un tetraedro son perpendiculares.
Las sumas de los cuadrados de las aristas opuestas de un tetraedro son iguales.
Los segmentos que conectan los puntos medios de los lados opuestos del tetraedro son iguales.
Los productos de los cosenos de ángulos diedros opuestos son iguales.
La suma de los cuadrados de las áreas de las caras es cuatro veces menor que la suma de los cuadrados de los productos de las aristas opuestas.
Un tetraedro circular ortocéntrico tiene 9 puntos ( círculos de Euler ) de cada cara pertenecientes a la misma esfera (la esfera de 24 puntos).
En un tetraedro ortocéntrico , los centros de gravedad y los puntos de intersección de las alturas de las caras, así como los puntos que dividen los segmentos de cada altura del tetraedro desde el vértice hasta el punto de intersección de las alturas en razón de 2 :1, se encuentran en la misma esfera (esfera de 12 puntos).

Tetraedro rectangular

Todas las aristas adyacentes a uno de los vértices son perpendiculares entre sí. Un tetraedro rectangular se obtiene cortando un tetraedro con un plano de un paralelepípedo rectangular .

Esqueleto tetraedro

Es un tetraedro que cumple alguna de las siguientes condiciones [4] :

hay una esfera que toca todos los bordes,
las sumas de las longitudes de los bordes que se cruzan son iguales,
las sumas de los ángulos diedros en los bordes opuestos son iguales,
los círculos inscritos en las caras se tocan de dos en dos,
todos los cuadriláteros resultantes del desarrollo de un tetraedro están circunscritos,
las perpendiculares levantadas a las caras desde los centros de los círculos inscritos en ellos se cortan en un punto.

Un tetraedro proporcional

Este tipo tiene bialturas iguales .

Propiedades de un tetraedro conmensurado:

Las dos alturas son iguales. Las dos alturas de un tetraedro son perpendiculares comunes a dos de sus aristas que se cruzan (aristas que no tienen vértices comunes).
La proyección de un tetraedro sobre un plano perpendicular a cualquier bimediana es un rombo . Los bimedianos de un tetraedro son segmentos que conectan los puntos medios de sus aristas que se cruzan (que no tienen vértices comunes).
Las caras del paralelepípedo circunscrito son iguales.
Se cumplen las siguientes relaciones: , donde y , y , y son las longitudes de los bordes opuestos. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $a$ $un_{1}$ $b$ $b_{1}$ $C$ $c_{1}$
Para cada par de aristas opuestas del tetraedro, los planos trazados a través de una de ellas y el punto medio de la segunda son perpendiculares.
Se puede inscribir una esfera en el paralelepípedo descrito de un tetraedro proporcional.

Tetraedro incéntrico

En este tipo, los segmentos que conectan los vértices del tetraedro con los centros de círculos inscritos en caras opuestas se cortan en un punto. Propiedades de un tetraedro incéntrico:

Los segmentos que conectan los centros de gravedad de las caras del tetraedro con vértices opuestos (medianas del tetraedro) siempre se cruzan en un punto. Este punto es el centro de gravedad del tetraedro.
comentario _ Si en la última condición reemplazamos los centros de gravedad de las caras con los ortocentros de las caras, entonces se convierte en una nueva definición del tetraedro ortocéntrico . Si los reemplazamos con los centros de los círculos inscritos en las caras, a veces llamados incentros , obtenemos la definición de una nueva clase de tetraedros: los incéntricos .
Los segmentos que conectan los vértices del tetraedro con los centros de círculos inscritos en caras opuestas se cortan en un punto.
Las bisectrices de los ángulos de dos caras trazadas a una arista común de estas caras tienen una base común.
Los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
Es equilátero el triángulo formado por los segundos puntos de intersección de tres aristas que salen de un vértice con cualquier esfera que pase por los tres extremos de estas aristas.

Tetraedro regular

Este es un tetraedro isoédrico, en el que todas las caras son triángulos regulares . Es uno de los cinco sólidos platónicos .

Propiedades de un tetraedro regular:

todas las aristas de un tetraedro son iguales,
Todas las caras de un tetraedro son iguales
los perímetros y las áreas de todas las caras son iguales.
Un tetraedro regular es simultáneamente ortocéntrico, alámbrico, isoédrico, incéntrico y conmensurado.
Un tetraedro es regular si pertenece a cualquiera de los dos tipos de tetraedros enumerados: ortocéntrico, estructura alámbrica, incéntrico, proporcional, isoédrico .
Un tetraedro es regular si es isoédrico y pertenece a uno de los siguientes tipos de tetraedros: ortocéntrico, alámbrico, incéntrico, conmensurado .
Un octaedro se puede inscribir en un tetraedro regular; además, cuatro (de ocho) caras del octaedro se alinearán con las cuatro caras del tetraedro, los seis vértices del octaedro se alinearán con los centros de las seis aristas del tetraedro. .
Un tetraedro regular consta de un octaedro inscrito (en el centro) y cuatro tetraedros (a lo largo de los vértices), y las aristas de estos tetraedros y el octaedro tienen la mitad del tamaño de las aristas del tetraedro regular.
Un tetraedro regular se puede inscribir en un cubo de dos formas, además, los cuatro vértices del tetraedro se alinearán con los cuatro vértices del cubo.
Un tetraedro regular se puede inscribir en un dodecaedro, además, cuatro vértices del tetraedro se alinearán con cuatro vértices del dodecaedro.
Los bordes que se cruzan de un tetraedro regular son mutuamente perpendiculares.

El volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro (teniendo en cuenta el signo), cuyos vértices son puntos, es igual a ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {3} (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {4} (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4}),}$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatriz}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatriz}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatriz}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatriz}},

V={\frac{1}{3}}\SH,

donde es el área de cualquier cara, y es la altura caída sobre esta cara. $S$ $H$

El volumen de un tetraedro en términos de longitudes de aristas se expresa utilizando el determinante de Cayley-Menger :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatriz}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatriz}}.

Esta fórmula tiene un análogo plano para el área de un triángulo en forma de variante de la fórmula de Heron a través de un determinante similar.
El volumen del tetraedro a través de las longitudes de dos lados opuestos a y b , como líneas que se cruzan, que están a una distancia h entre sí y forman un ángulo entre sí , se encuentra mediante la fórmula: $\fi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

El volumen de un tetraedro a través de las longitudes de sus tres aristas a , b y c , que emergen de un vértice y forman ángulos planos por pares, respectivamente, se encuentra mediante la fórmula [5] $\alfa,\beta,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\abc{\sqrt {D)),

dónde

D = | una porque ⁡ γ porque ⁡ β porque ⁡ γ una porque ⁡ α porque ⁡ β porque ⁡ α una | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

Un análogo para el plano de la última fórmula es la fórmula para el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus dos lados a y b , saliendo de un vértice y formando un ángulo entre ellos : $\gama$

S={\frac{1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

dónde $D={\begin{vmatriz}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatriz}}.$

Nota

Existe un análogo de la fórmula de Heron para el volumen de un tetraedro [6]

Fórmulas para el tetraedro en coordenadas cartesianas en el espacio

Designaciones:

${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {3} (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3}),}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {4} (x_ {4}, y_ {4}, z_ {4})}$ son las coordenadas de los vértices del tetraedro.

El volumen del tetraedro (teniendo en cuenta el signo):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatriz}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatriz}}$ .

Coordenadas del centro de gravedad (intersección de medianas): ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {T} (x_ {T}, y_ {T}, z_ {T})}$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Coordenadas del centro de la esfera inscrita: ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {r} (x_ {r}, y_ {r}, z_ {r})}$

$x_{r}={\frac{S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac{S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

donde es el área de la cara opuesta al primer vértice, es el área de la cara opuesta al segundo vértice, y así sucesivamente. $S_{1}$ ${\ Displaystyle S_ {2}}$

En consecuencia, la ecuación de la esfera inscrita:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ fracción {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Ecuación de la esfera exscrita frente al primer vértice:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac{-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac{3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

La ecuación de una esfera exscrita frente al primer y segundo vértices (el número de tales esferas puede variar de cero a tres):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac{3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

La ecuación de la esfera circunscrita:

${\begin{vmatriz}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatriz}}=0.$

Fórmulas tetraédricas en coordenadas baricéntricas

Designaciones:

$\mathbf {J} (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})=\alpha_{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ son coordenadas baricéntricas.

Volumen del tetraedro (teniendo en cuenta el signo): Sean las coordenadas de los vértices del tetraedro. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J}_{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Después

$V={\frac {\begin{vmatriz}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatriz}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ donde es el volumen del tetraedro básico. $V'$

Coordenadas del centro de gravedad (intersección de medianas): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Coordenadas del centro de la esfera inscrita: $\mathbf {J}_{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Coordenadas del centro de la esfera descrita:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alfa _{2,1}^{2}&0&\alfa _{3,2}^{2}&\alfa _{4,2}^{2}\\1&\alfa _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatriz}}.$

Distancia entre puntos : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J}_{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Deja y así sucesivamente. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac{B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Entonces la distancia entre dos puntos es: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Comparación de fórmulas de triángulos y tetraedros

Área (Volumen)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatriz}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alfa _{4,1}^{2}\\1&\alfa _{2,1}^{2}&0&\alfa _{3,2}^{2}&\alfa_{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatriz}}} }$ , donde es la distancia entre los vértices 1 y 2 ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1,2}}$
$S={\frac{1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac{1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sen\gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , donde es el ángulo entre las caras 1 y 2, y son las áreas de las caras opuestas a los vértices 1 y 2 ${\ estilo de visualización \ phi _ {1,2}}$ ${\ Displaystyle S_ {1}}$ ${\ Displaystyle S_ {2}}$
Longitud (área) de la bisectriz
$l_{c}={\frac{2ab\cos {\frac {\gamma}{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Longitud mediana
$m_{c}={\frac{{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Radio de un círculo inscrito (esfera)
$r={\frac{2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac{3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Radio del círculo circunscrito (esfera)
$R={\frac{abc}{4S}}$	$R={\frac{S_{T}}{6V}}$ , donde es el área de un triángulo de lados ${\ estilo de visualización S_ {T}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1,2} \ alfa _ {3,4}, \ alfa _ {1,3} \ alfa _ {2,4}, \ alfa _ {1,4} \ alfa _ {2} ,3}}$
teorema del coseno
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , donde es el ángulo entre las caras 1 y 2, y son las áreas de las caras opuestas a los vértices 1 y 2, es el complemento algebraico del elemento matriz ${\ estilo de visualización \ phi _ {1,2}}$ ${\ Displaystyle S_ {1}}$ ${\ Displaystyle S_ {2}}$ ${\ estilo de visualización A_ {1,2}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {2,1} ^ {2}}$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alfa _{4,2}^{2}&\alfa _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatriz}}$
teorema del seno
${\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}$	${\frac {S_{1}}{\Psi_{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi_{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi_{3}}}={\frac{S_{4}}{\Psi_{4}}}$ , donde están las áreas de las caras opuestas a los vértices 1, 2, 3, 4, donde están los ángulos diedros del vértice. ${\ estilo de visualización S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatriz}}}$ $A B C$
El teorema de la suma de los ángulos de un triángulo (la relación entre los ángulos diedros de un tetraedro)
$\alfa +\beta +\gamma =180^{\circ}$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ izquierda(\phi _{4,1}\derecha)\\-\cos \izquierda(\phi _{2,1}\derecha)&1&-\cos \izquierda(\phi _{3,2}\derecha) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatriz}}=0$ , ¿ Dónde está el ángulo entre las caras 1 y 2? ${\ estilo de visualización \ phi _ {1,2}}$
Distancia entre los centros de los círculos inscritos y descritos (esferas)
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha_{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha_{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , donde son las áreas de las caras opuestas a los vértices 1, 2, 3, 4. ${\ estilo de visualización S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ Otra expresión de la expresión: donde es la distancia entre el centro de la esfera circunscrita y el centro de la esfera, pasando por tres vértices y un incentro. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraedro en espacios no euclidianos

Volumen de tetraedros no euclidianos

Hay muchas fórmulas para encontrar el volumen de los tetraedros no euclidianos. Por ejemplo, la fórmula de Derevnin-Mednykh [7] para el tetraedro hiperbólico y la fórmula de J. Murakami [8] para el tetraedro esférico. El volumen de un tetraedro en el espacio esférico y en el espacio de Lobachevsky, por regla general, no se expresa a través de funciones elementales .

Relación entre los ángulos diédricos de un tetraedro

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {det} \ Psi> 0}$ para un tetraedro esférico.

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {det} \ Psi <0}$ para un tetraedro hiperbólico.

Donde es la matriz de Gram para los ángulos diédricos del tetraedro esférico e hiperbólico. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatriz}}$

$A_{{i,j}}$ es el ángulo entre las caras opuestas i y j al vértice.

Teorema del coseno

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi_{i,j)){\sqrt {\Phi_{i,i}\Phi_{j,j))} }$ — para tetraedro esférico e hiperbólico.

${\ Displaystyle \ cos (\ alpha _ {i, j}) = {\ frac {\ Psi _ {i, j}} {\ sqrt {\ Psi _ {i, i} \ Psi _ {j, j}} }}}$ para un tetraedro esférico.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ para un tetraedro hiperbólico.

Donde es la matriz de Gram para las aristas reducidas del tetraedro esférico. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha_{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alfa _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\nombre del operador {ch} (\alpha _{2,1})&1&\nombre del operador {ch} (\alpha _{3,2})&\nombre del operador {ch} ( \alpha _{4,2})\\\nombre del operador {ch} (\alpha _{3,1})&\nombre del operador {ch} (\alpha _{3,2})&1&\nombre del operador {ch} (\ alpha _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatriz}}$ es la matriz de Gram para las aristas reducidas del tetraedro hiperbólico.

${\ estilo de visualización \ alfa _ {i, j))$ — distancia reducida entre los vértices i y j.

${\ estilo de visualización \ Psi _ {i, j}}$ es el complemento algebraico de la matriz . $\psi$

Teorema del seno

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — para tetraedro esférico e hiperbólico.

Radio de la esfera circunscrita

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatriz} }=0$ para un tetraedro esférico.

Otra forma de escribir la expresión: , donde están las normales de las caras del tetraedro. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi_{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi_{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

O con las coordenadas de los vértices del tetraedro: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatriz}}|}{\sqrt {\nombre del operador {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\nombre del operador {ch} (\alpha_{2,1})&1&\nombre del operador {ch} (\alpha_{3,2})&\nombre del operador {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\nombre del operador {ch} (\alpha_{3,1})&\nombre del operador {ch} (\alpha_{3,2})&1&\nombre del operador {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\nombre del operador {ch} (\alpha_{4,1})&\nombre del operador {ch} (\alpha_{4,2})&\nombre del operador {ch} (\alpha _ {4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatriz}}=0$ - para tetraedro hiperbólico

Radio de una esfera inscrita

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\nombre del operador {det} \Phi }}$ para un tetraedro esférico.

Otra forma de escribir la expresión es , donde son los vectores de radio unitario de los vértices del tetraedro. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi_{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi_{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _ {3,3} + \ Phi _ {4,4} + 2 {\ sqrt {\ Phi _ {1,1} \ Phi _ {2,2}}} \ nombre del operador {ch} (\ alpha _ {1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\nombre del operador {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _ {1,1} \ Phi _ {4,4}}} \ nombre del operador {ch} (\ alpha _ {1,4}) + 2 {\ sqrt {\ Phi _ {2,2} \ Phi _ { 3,3))}\nombre de operador {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\nombre de operador {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\nombre del operador {ch} (\alpha _{3,4})} {\nombre del operador {det} \Phi }}$ para un tetraedro hiperbólico.

La distancia entre los centros de las esferas inscrita y circunscrita

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ para un tetraedro esférico.

Fórmulas tetraédricas en coordenadas baricéntricas

Coordenadas del centro de la esfera inscrita:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\raíz cuadrada {\Phi _{4,4}}}).$ para un tetraedro esférico.

Coordenadas del centro de la esfera descrita:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatriz}}.$ para un tetraedro esférico.

Tetraedros en el microcosmos

Se forma un tetraedro regular durante la hibridación sp 3 de los orbitales atómicos (sus ejes están dirigidos a los vértices de un tetraedro regular, y el núcleo del átomo central está ubicado en el centro de la esfera descrita del tetraedro regular), por lo tanto, muchos las moléculas en las que tiene lugar tal hibridación del átomo central tienen la forma de este poliedro.
CH 4 molécula de metano .
Ion amonio NH 4 + .
Ion sulfato SO 4 2- , ion fosfato PO 4 3- , ion perclorato ClO 4 - y muchos otros iones.
El diamante C es un tetraedro con una arista igual a 2,5220 angstroms .
Fluorita CaF 2 , un tetraedro de arista igual a 3,8626 angstroms .
Esfalerita , ZnS, un tetraedro con una arista igual a 3.823 angstroms .
Óxido de zinc , ZnO.
Iones complejos [BF 4 ] - , [ZnCl 4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3) 4 ] 2+ .
Silicatos , cuyas estructuras se basan en el tetraedro de silicio-oxígeno [SiO 4 ] 4- .

Tetraedros en la naturaleza

Algunos frutos, siendo cuatro de ellos por un lado, se sitúan en los vértices de un tetraedro próximo a regular. Este diseño se debe al hecho de que los centros de cuatro bolas idénticas que se tocan están ubicados en los vértices de un tetraedro regular. Por lo tanto, las frutas con forma de bola forman un arreglo mutuo similar. Por ejemplo, las nueces se pueden disponer de esta forma .

Tetraedros en tecnología

El tetraedro forma una estructura rígida, estáticamente determinada. Un tetraedro hecho de varillas se usa a menudo como base para estructuras de carga espacial de tramos de edificios, techos, vigas, cerchas Las varillas experimentan solo cargas longitudinales.
El tetraedro rectangular se usa en óptica. Si las caras que tienen un ángulo recto están cubiertas con una composición reflectante o todo el tetraedro está hecho de un material con fuerte refracción de la luz para que ocurra el efecto de reflexión interna total, entonces la luz dirigida a la cara opuesta al vértice con ángulos rectos será reflejarse en la misma dirección de donde vino. Esta propiedad se utiliza para crear reflectores de esquina , reflectores .
El gráfico de disparo cuaternario es un tetraedro [9] .

Tetraedros en la filosofía

"Platón dijo que las partículas más pequeñas de fuego son tetraedros" [10] .

sociedad secular. Una de las señoras cuenta su sueño:

- ¡Señores, hoy vi un sueño terrible! Es como si me metiera el dedo

boca - ¡y no hay un solo diente!

Rzhevski:

- Señora - probablemente puso el dedo en el lugar equivocado ( tetraedro ) ...

Véase también

Notas

↑ Diccionario griego-ruso antiguo de Dvoretsky "τετρά-εδρον" (enlace inaccesible) . Consultado el 20 de febrero de 2020. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014. (indefinido)
↑ Selivanov D. F .,. Cuerpo geométrico // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p. Archivado el 10 de enero de 2014 en Wayback Machine .
↑ V. E. MATIZEN Tetraedros isoédricos y marcos "Quantum" No. 7, 1983
↑ Modenov PD Problemas de geometría. - M. : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Fórmula para el volumen de un tetraedro // Educación Matemática. Tema. 6. 2002. Pág. 132
↑ Fuente . Consultado el 31 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 30 de agosto de 2017. (indefinido)
↑ Fuente . Consultado el 31 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 31 de marzo de 2018. (indefinido)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Archivado el 23 de noviembre de 2010 en Wayback Machine Trigger .
↑ Werner Heisenberg. En los orígenes de la teoría cuántica. M. 2004 p.107

Literatura

Matizen V. E., Dubrovsky. De la geometría del tetraedro "Quantum" , No. 9, 1988, p.66.
Zaslavsky A. A. Geometría comparativa de un triángulo y un tetraedro // Educación matemática, ser. 3 (2004), nº 8, pp.78-92.
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. Volumen 3. Triángulos y tetraedros 2009

poliedros

Correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro