Espiral

Según la Enciclopedia de Matemáticas , las espirales son curvas planas que "normalmente giran alrededor de uno (o varios puntos), acercándose o alejándose de él". Esta interpretación del término no es una definición estrictamente formalizada. Si alguna curva conocida contiene el epíteto "espiral" en su nombre, entonces debe tratarse como un nombre histórico.

Una de las opciones para una definición rigurosa, asumiendo la monotonicidad de la ecuación polar de la curva, no es universal: eligiendo otro polo, se puede romper la monotonicidad existente, y solo por eso la curva “deja de ser una espiral”. , a pesar de que en sí mismo no ha cambiado. La espiral de Cotes ecuación polar no monótona, mientras que la espiral de tiene dos polos y, por lo tanto, no puede describirse completamente en coordenadas polares.

Definiciones basadas en la monotonicidad de la curvatura

La definición formal de espiral, basada en la monotonicidad de la curvatura , se adopta en la monografía [1] (Capítulo 3-3, Arcos espirales ). Esto requiere la continuidad de la curvatura en función de la longitud del arco de la curva , y solo se consideran curvas convexas [2] . Una espiral en este sentido es un cuarto de elipse (entre dos vértices vecinos). El interés en tales curvas se debió en gran parte al teorema de los cuatro puntos del óvalo , que establece (en términos de la definición en discusión) que una curva cerrada simple con curvatura continua consta de al menos cuatro arcos espirales.

Son estas definiciones, con ciertas aclaraciones sobre convexidad, monotonicidad estricta/no estricta, continuidad y constancia de la curvatura, restricciones a la rotación completa de la curva, las que se utilizan en aplicaciones del campo del diseño asistido por computadora . Las principales aplicaciones están relacionadas con la construcción de carreteras de alta velocidad, en particular, la construcción de curvas de transición , proporcionando un cambio gradual en la curvatura a lo largo del camino.

Una definición más general, que no exige signo constante y continuidad de la curvatura, sino sólo su monotonicidad, se adopta en el artículo [3] . Dentro del marco de esta definición, la propiedad de una curva de ser una espiral es invariante bajo mapeos lineales-fraccionales de la curva.

Véase también

Espirales planas

El círculo puede considerarse un caso especial degenerado de la espiral (la curvatura no es estrictamente monótona, sino constante ).

Algunos de los tipos más importantes de espirales 2D son:

Espirales 3D

Como en el caso bidimensional, r  es una función monótona continua de θ .

Para espirales tridimensionales simples, la tercera variable h  también es una función monótona continua de θ . Por ejemplo, una hélice cónica se puede definir como una espiral sobre una superficie cónica con una distancia desde el vértice como una función exponencial de θ .

Para espirales tridimensionales complejas, como una espiral esférica , h aumenta con θ en un lado del punto y disminuye en el otro.

Espiral esférica

Una espiral esférica ( loxódromo ) es una curva en una esfera que corta todos los meridianos en un ángulo (no recto ). Esta curva tiene un número infinito de vueltas. La distancia entre ellos disminuye a medida que te acercas a los polos.

Cuerpos espirales

Véase también

Notas

  1. ↑ Guggenheimer HW Geometría diferencial.. - Nueva York: Publicaciones de Dover, 1977. - P. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
  2. ↑ ... es decir, tal que el arco y su cuerda forman una figura convexa .
  3. ↑ Kurnosenko I.A. Propiedades generales de las curvas espirales planas // Apuntes de Seminarios Científicos POMI: Tomo 353. - 2009. - P. 93-115 . — ISSN 0373-2703 .

Literatura