Hexacontaedro pentagonal

El hexacontaedro pentagonal (del otro griego πέντε - "cinco", γωνία - "ángulo", ἑξήκοντα - "sesenta" y ἕδρα - "cara") es un poliedro semirregular (cuerpo catalán), dual al dodecaedro chato . Compuesto por 60 pentágonos irregulares idénticos .

Tiene 92 vértices. En 12 vértices (dispuestos de la misma manera que los vértices del icosaedro ), 5 caras convergen en sus ángulos agudos; en 20 vértices (ubicados de la misma manera que los vértices del dodecaedro ) convergen en 3 caras con aquellos ángulos obtusos que están más alejados del agudo; en los 60 vértices restantes convergen dos caras con sus ángulos obtusos más próximos a uno agudo, y una con un ángulo obtuso alejado de uno agudo.

12 vértices están dispuestos de la misma forma que los vértices del icosaedro
20 vértices están dispuestos de la misma forma que los vértices del dodecaedro

El hexacontaedro pentagonal tiene 150 aristas - 60 "largas" y 90 "cortas".

A diferencia de la mayoría de los otros sólidos catalanes, el hexacontaedro pentagonal (junto con el icositetraedro pentagonal ) es quiral y existe en dos versiones simétricas especulares (enantiomórficas) diferentes: "derecha" e "izquierda".

Características métricas y ángulos

Al determinar las propiedades métricas de un hexacontaedro pentagonal, uno tiene que resolver ecuaciones cúbicas y usar raíces cúbicas , mientras que para sólidos catalanes aquirales, no se requiere nada más complicado que ecuaciones cuadráticas y raíces cuadradas . Por lo tanto, el hexacontaedro pentagonal, a diferencia de la mayoría de los otros sólidos catalanes, no permite una construcción euclidiana . Lo mismo es cierto para el icositetraedro pentagonal, así como para sus sólidos de Arquímedes duales.

En las fórmulas siguientes, la constante es la única raíz real [1] de la ecuación $\xi$

8x^{3}+8x^{2}=\Phi^{2},

donde está la razón de la sección áurea ; esta raíz es $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15))) ))+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15))))))-4\right)\approx 0{,}4715756.

Si los tres lados "cortos" de una cara tienen longitud , entonces los dos lados "largos" tienen longitud $b$

a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2)))))b\approx 1{,}7498526b.

El área superficial y el volumen del poliedro se expresan entonces como

S={\frac {30(2+3\xi ){\sqrt {1-\xi ^{2)))){1-2\xi ^{2))}\;b^{2 }\aproximadamente 162{,}6989642b^{2},

V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi ))))\ ;b^{3}\aproximadamente 189{,}7898521b^{3}.

El radio de la esfera inscrita (tocando todas las caras del poliedro por sus incentros ) será entonces igual a

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )))}\;b\approx 3 {,}4995278b,

radio de una esfera semi-inscrita (tocando todos los bordes) -

\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}5976248b,

radio del círculo inscrito en la cara -

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { 1+\xi }{1-\xi }}}\;b\aproximadamente 0{,}8343915b,

cara diagonal paralela a uno de los lados "cortos" -

e=(1+2\xi )b\aprox. 1{,}9431513b.

Es imposible describir una esfera alrededor de un hexacontaedro pentagonal de modo que pase por todos los vértices.

Los cuatro ángulos obtusos de la cara son iguales ; el ángulo agudo de la cara (entre los lados "largos") es igual a $\arccos\,(-\xi )\approx 118{,}14^{\circ };$ $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\approx 67{,}45^{\circ }.$

El ángulo diedro para cualquier borde es el mismo e igual a $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1))\approx 153{,}18^{\circ }.$

Notas

↑ Ver las raíces de esta ecuación .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Hexacontaedro pentagonal en Wolfram MathWorld .

poliedros

correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro