Dodecaedro chato
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|---|---|
| Tipo de | Poliedro semirregular |
| borde | pentágono , triángulo |
| caras | |
| costillas | |
| picos | |
| Facetas en la parte superior | |
| Ángulo sólido |
3-3:164°10'31"(164,18°) |
| Símbolo Schläfli | Sr{5,3} o |
| símbolo de Wythoff | 2 3 5 |
| Gráfico de Coxeter |   
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| simetrías de rotación | I , [5,3] + , (532), orden 60 |
Poliedro dual |
hexacontaedro pentagonal |
| Escanear | |
Con borde para colorear |
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El dodecaedro chato [1] [2] , el dodecaedro chato [3] o el icosidodecaedro chato es un poliedro semirregular (sólido de Arquímedes), uno de los trece sólidos isogonales convexos no prismáticos cuyas caras son dos o más polígonos regulares .
El dodecaedro chato tiene 92 caras (el mayor número de todos los sólidos de Arquímedes), 12 de ellos son pentágonos y los 80 restantes son triángulos regulares . Tiene 150 aristas y 60 vértices.
El poliedro tiene dos formas distintas que son imágenes especulares (o " vista enantiomórfica ") entre sí. La unión de ambos tipos forma un compuesto de dos dodecaedros chatos , y el casco convexo de esta construcción es un icosidodecaedro rombotruncado .
Kepler lo llamó originalmente en 1619 el dodecaedro latino simum en su libro Harmonices Mundi . Harold Coxeter notó que un poliedro podía obtenerse igualmente de un dodecaedro o de un icosaedro y lo llamó icosidodecaedro chato , con el símbolo vertical de Schläfli .
La relación entre la longitud de la nervadura "a" y el diámetro de la bola circunscrita "D":
D=4,311675*a
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas de los vértices del dodecaedro chato son todas permutaciones pares
(±2α, ±2, ±2β), (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)), (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)), (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) y (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),con un número par de signos más, donde
α = ξ − 1 / ξy
β = ξϕ + ϕ 2 + ϕ /ξ,Aquí ϕ = (1 + √5)/2 es la proporción áurea , y ξ es la solución real de la ecuación ξ 3 − 2ξ = ϕ y este número es
![\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27))} + \sqrt[3]{ \frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82cface6818cdc3ab95d570839064eae3faa7)
o, aproximadamente, 1,7155615.
Este dodecaedro chato tiene una longitud de arista de aproximadamente 6,0437380841.
Si tomamos permutaciones impares de las coordenadas anteriores con un número par de signos más, obtenemos otra forma enantiomórfica de la primera. Aunque no es inmediatamente obvio, el cuerpo obtenido de las permutaciones pares es el mismo que el de las permutaciones impares. De la misma manera, la imagen especular de un poliedro corresponderá a permutaciones pares o impares.
Superficie y volumen
Para un dodecaedro chato con longitud de borde 1, el área de la superficie es
y el volumen es
,
donde ϕ es la proporción áurea .
El dodecaedro chato tiene la mayor esfericidad de todos los sólidos de Arquímedes .
Proyecciones ortográficas
El dodecaedro chato tiene dos proyecciones ortogonales especiales centradas en dos tipos de caras: triangular y pentagonal, correspondientes a los planos de Coxeter A 2 y H 2 .
| relativo centrado | cara triangular |
cara pentagonal |
Costillas |
|---|---|---|---|
| Imagen | |||
simetría proyectiva |
[3] | [5] + | [2] |
Poliedro dual |
Enlaces geométricos
| Rotación del dodecaedro chato |
|---|
El dodecaedro chato se puede obtener a partir de las doce caras pentagonales regulares del dodecaedro tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen entre sí. Cuando se estira a una distancia adecuada, dará un rombicosidodecaedro , si el espacio resultante entre los bordes divididos se llena con cuadrados y entre los vértices divididos con triángulos. Pero para obtener un aspecto desairado, rellenamos solo las caras triangulares, dejando vacíos los espacios cuadrados. Ahora giramos los pentágonos sobre sus centros junto con los triángulos hasta que los espacios cuadrados se conviertan en triángulos equiláteros.
Dodecaedro |
Rombicosidodecaedro ( dodecaedro extendido ) |
dodecaedro chato |
El dodecaedro chato también se puede obtener del icosidodecaedro truncado alternando . Los sesenta vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro chato. Los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante es transitivo de vértice , pero no homogéneo, ya que tiene aristas de diferentes longitudes, es necesaria cierta deformación para convertirlo en un poliedro homogéneo.
Poliedros y mosaicos relacionados
| Simetría : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
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| {5,3} | {5,3} | r{5,3} | {3,5} | {3,5} | rr{5,3} | {5,3} | Sr{5,3} |
| Poliedros duales a uniformes | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Este politopo semirregular pertenece a la secuencia de poliedros chatos [ y teselados con figura de vértice (3.3.3.3. n ) y diagrama de Coxeter-Dynkin 
. Estas figuras y sus duales tienen (n32) simetría rotacional y existen en el plano euclidiano para n=6 y en el plano hiperbólico para cualquier n mayor que 6. Podemos asumir que la secuencia comienza con n=2, si asumimos que algunas caras fijas degeneran en bicágonos .
| Simetría nº 32 |
esférico | euclidiana | Compacto hiperbólico. | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
figuras desaires |
||||||||
| Configuración | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
| cifras | ||||||||
| Configuración | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Gráfico de dodecaedro chato
| gráfico de dodecaedro chato | |
|---|---|
| picos | 60 |
| costillas | 150 |
| automorfismos | 60 |
| Propiedades |
regular hamiltoniano |
| Archivos multimedia en Wikimedia Commons | |
En teoría de grafos, el gráfico de dodecaedro chato es el gráfico de vértices y aristas dodecaedro chato. Tiene 60 vértices y 150 aristas y es un grafo de Arquímedes [4] .
Véase también
- Convertir un polígono plano en un poliedro Animación
- CCW y CW son dodecaedros chatos giratorios
Notas
- ↑ Enciclopedia de Matemáticas Elementales, 1963 , p. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , pág. 183.
- ↑ Wenninger 1974 , pág. 20, 42.
- ↑ Leer, Wilson, 1998 , pág. 269.
Literatura
- M. Wenninger . modelos de poliedros. - Mundo , 1974.
- Polígonos y poliedros // Enciclopedia de matemáticas elementales. Libro cuatro. Geometría / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Editorial estatal de literatura física y matemática , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Figuras convexas y poliedros. - M .: Editorial estatal de literatura técnica y teórica , 1956.
- Lago Udaya Jayatil. Cálculos sobre poliedros regulares de cara y vértice // Gaceta Matemática. - 2005. - T. 89 , núm. 514 (marzo) . — págs. 76–81 .
- Roberto Williams. La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta de diseño . - Publicaciones de Dover, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (Sección 3-9)
- P. Cromwell. poliedros. - Reino Unido: Cambridge, 1997. - págs. 79–86 Sólidos de Arquímedes . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. Un atlas de gráficos. — Prensa de la Universidad de Oxford, 1998.
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graph (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Poliedros uniformes convexos en 3D Archivado el 22 de diciembre de 2015 en Wayback Machine .
- Red imprimible editable de un dodecaedro chato con vista 3D interactiva . Archivado el 23 de diciembre de 2015 en Wayback Machine .
- The Uniform Polyhedra Archivado el 11 de febrero de 2008 en Wayback Machine .
- Poliedros de realidad virtual Archivado el 23 de febrero de 2008 en Wayback Machine . La enciclopedia de poliedros .
- The Snub Dodecahedron hecho con LEGO Archivado el 22 de diciembre de 2015 en Wayback Machine por Antonio Nicassio (ITALIA)