Curva Peano

Una curva de Peano es un nombre general para curvas paramétricas cuya imagen contiene un cuadrado (o, más generalmente, regiones abiertas del espacio). Otro nombre es una curva que llena el espacio .

Nombrada en honor a Giuseppe Peano (1858-1932), el descubridor de este tipo de curvas, en un sentido particular, la curva de Peano es el nombre de la curva específica que encontró Peano.

Definición

Intuitivamente, una curva continua en dimensiones 2 o 3 (o mayores) puede entenderse como el camino recorrido por un punto en movimiento continuo. Para eliminar la incertidumbre inherente a este entendimiento, Jordan en 1887 propuso la siguiente definición, que desde entonces ha sido aceptada como la definición exacta de una curva continua :

Una curva (con extremos) es un mapeo continuo cuyo dominio es el segmento unitario [0, 1].

En su forma más general, el dominio de tal aplicación puede estar en un espacio topológico arbitrario , pero en la mayoría de los casos estudiados el dominio está en un espacio euclidiano , como un plano bidimensional ( curva plana ) o un plano tridimensional. espacio dimensional ( curva espacial ).

A veces, la curva se identifica con el rango del mapeo (el conjunto de todos los valores de mapeo posibles) y no con la función real. También se puede definir una curva sin extremos como una función continua en la línea real (o en el intervalo abierto (0, 1)).

Historia

En 1890 , Peano descubrió una curva continua, ahora llamada curva de Peano, que pasa por cualquier punto de la unidad cuadrada [1] . Su objetivo era construir un mapeo continuo desde el segmento unitario hasta el cuadrado unitario . Fue el inesperado resultado anterior de Georg Cantor de que el conjunto de puntos de un intervalo unitario tiene la misma cardinalidad que el conjunto de puntos de cualquier variedad de dimensión finita , en particular, el cuadrado unitario , lo que impulsó el estudio del problema de Peano . El problema que resolvió Peano fue la pregunta: ¿puede tal mapeo ser continuo, es decir, puede una curva llenar el espacio? La solución de Peano no establece un mapeo uno a uno continuo entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario y, además, dicho mapeo no existe (ver más abajo).

En general, se aceptaba asociar la nebulosa noción de espesor y unidimensionalidad con una curva. Todas las curvas comúnmente encontradas eran diferenciables por partes (es decir, tenían derivadas continuas por partes), y tales curvas no pueden llenar todo el cuadrado de la unidad. Por lo tanto, la curva de Peano que llena el espacio se percibió como contraria al sentido común.

Del ejemplo de Peano, es fácil derivar curvas continuas que llenan un hipercubo n - dimensional (para cualquier número entero positivo n ). También fue fácil extender el ejemplo de Peano a curvas sin punto inicial ni final, y estas curvas llenan todo el espacio euclidiano de n dimensiones (donde n es 2, 3 o cualquier otro número entero positivo).

La mayoría de las curvas de relleno de espacio bien conocidas se construyen iterativamente como el límite de una secuencia de curvas continuas lineales por partes que se aproximan a la curva de relleno de espacio en cada paso.

El artículo revolucionario de Peano no incluía ninguna ilustración de la construcción, que se definía en términos de extensiones ternarias y reflejos . Sin embargo, la construcción gráfica fue clara para él: hizo un adorno que refleja la construcción de la curva en su casa en Turín. Al final del artículo, Peano comentó que la técnica podría extenderse a otras bases impares, no solo a la base 3. Su elección de evitar cualquier visualización gráfica fue sin duda impulsada por el deseo de proporcionar una prueba sólida y perfectamente rigurosa que no No se base en ningún dibujo. En ese momento (inicio de la investigación en topología general), a menudo se incluían argumentos gráficos en la demostración, pero muchas veces servían como un obstáculo para comprender los resultados que contradecían el sentido común.

Un año más tarde, David Hilbert publicó en la misma revista otra versión de la construcción de Peano [2] . El artículo de Hilbert fue el primero en incluir un dibujo para ayudar a introducir la técnica de construcción. Esencialmente, era el mismo dibujo que se muestra aquí. La forma analítica de la curva de Hilbert , sin embargo, es sustancialmente más complicada que la de Peano.

Propiedades

Cada curva de Peano tiene múltiples puntos .
- No hay una curva de Peano cuyos puntos sean simples o dobles, pero hay una curva de Peano que tiene como máximo solo puntos triples (en un número contable). Tal es, por ejemplo, la curva construida por el propio Peano ; La siguiente construcción de Hilbert contiene puntos cuádruples (también en un número contable ).
Hay curvas de Peano que conservan la medida, es decir, la medida de Lebesgue de un subconjunto de un cuadrado coincide con la medida de Lebesgue de su imagen inversa en el segmento. El siguiente ejemplo de Hilbert tiene esta propiedad.
El concepto de la curva de Peano se relaciona con el hecho curioso de la existencia de arcos espaciales simples proyectados sobre el plano en forma de áreas continuas -tal es, por ejemplo, la curva ${\ estilo de visualización r (t) = (x (t), y (t), t)}$

donde las dos primeras funciones definen la curva de Peano. Aunque este arco puede proteger contra la luz solar vertical, no puede proteger contra la lluvia porque no es una superficie continua.

Si la curva no es inyectiva, entonces se pueden encontrar dos subcurvas de la curva que se intersecan, obtenidas como imágenes de dos segmentos que no se intersecan en el dominio de la curva (es decir, un segmento unitario). Dos subcurvas se intersecan si la intersección de dos imágenes no está vacía. Es tentador pensar que las curvas se intersecan significa que se intersecan, como el punto de intersección de dos rectas no paralelas, pero dos curvas (en nuestro caso, subcurvas) pueden tocarse sin cruzarse, como, por ejemplo, una recta tangente toca una circunferencia. .
Para las curvas clásicas de Peano y Hilbert que llenan el espacio en las intersecciones de las curvas (en el sentido técnico), hay contacto entre las curvas sin cruzarlas. Una curva que llena el espacio puede tener (en cada punto) autointersecciones (cruces) si su curva de aproximación es autocruzada. Es posible que la aproximación de la curva de relleno de espacio no contenga autointersecciones, como en las figuras anteriores. En el espacio 3D, las curvas de aproximación sin autointersecciones pueden incluso contener nodos . Las curvas de aproximación permanecen dentro de una región limitada del espacio n -dimensional, pero su longitud crece sin límite.
Las curvas que llenan espacios son un caso especial de construcción de fractales . No puede haber una curva de llenado de espacio diferenciable. En términos generales, la diferenciabilidad impone restricciones sobre la velocidad a la que gira la curva.

Integración

Wiener señaló que se podría usar una curva de relleno de espacio para reducir la integración de Lebesgue en dimensiones altas a la integración de Lebesgue en un segmento de línea.

Ejemplos

Construcción analítica [3] .

Considere las funciones y definidas en el segmento de la siguiente manera. Deje que la descomposición en el sistema numérico ternario tenga la forma (cada uno es igual a 0, 1 o 2). Entonces definimos como un número que tiene la siguiente descomposición en el sistema ternario: $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$ $X$ ${\displaystyle 0,x_{1}x_{2}\ldots x_{k))$ $x_k$ $f(x)$ ${\displaystyle 0,f_{1}f_{2}\ldots f_{k))$

${\ estilo de visualización f_ {1} = x_ {1}}$
${\ estilo de visualización f_ {2} = x_ {3}}$ , si es par, y , si es impar , si es par $x_{2}$ ${\ estilo de visualización 2-x_ {3))$ $x_{2}$
${\ estilo de visualización \ ldots}$
${\ Displaystyle f_ {k} = x_ {2k-1}}$ ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

${\ Displaystyle f_ {k} = 2-x_ {2k-1}}$ , si es impar ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

De manera similar, definimos una función en el sistema numérico ternario: $g(x)=0,g_{1}g_{2}\ldots g_{k}\ldots$

$g_{1}=x_{2}$ , si es par, y , si es impar , si es par , si es impar $x_{1}$ ${\ estilo de visualización 2-x_ {2))$ $x_{1}$
$\ldots$
${\displaystyle g_{k}=x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$
${\displaystyle g_{k}=2-x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$

Considere ahora el mapeo: . Se puede probar que: $x\mapsto [f(x),g(x)]$

1. Las funciones y están bien definidas (es decir, en números que permiten 2 representaciones en el sistema numérico ternario, los valores y resultarán independientes de la elección de la representación). $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$

2. Las funciones y son continuas en . $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$

3. El sistema de ecuaciones y tiene al menos 1 y como máximo 4 soluciones para cualquier y que se encuentra en el intervalo . ${\ estilo de visualización f (x) = a}$ ${\ estilo de visualización g (x) = b}$ $a$ $b$ $[0,1]$

Así, el mapeo con funciones de coordenadas y en el plano cuadra continuamente el segmento . $F$ $gramo$ $x\mapsto [f(x),g(x)]$ $[0,1]$ ${\ estilo de visualización [0,1] ^ {2))$

Construcción geométrica.

Considere un segmento unitario y un cuadrado unitario. En el primer paso de la construcción, dividiremos el cuadrado por medio de líneas en 4 cuadrados iguales y el segmento en 4 partes iguales. Obtenemos cuadrados y segmentos del 1er nivel. En cada paso subsiguiente, dividimos los cuadrados y segmentos del nivel anterior en 4 partes: obtenemos los cuadrados y segmentos del siguiente nivel. Tenemos 4 casillas de 1er nivel, 16 casillas de 2do nivel, etc.; lo mismo con los cortes. Establezcamos el orden de pasar por alto los cuadrados de cada nivel. Para el 1.°, 2.°, ..., 6.° nivel, el orden de derivación se muestra en la figura. El orden de recorrido define una correspondencia biunívoca entre el conjunto de cuadrados del nivel n -ésimo y el conjunto de segmentos del nivel n -ésimo.

Sea ahora un punto arbitrario del segmento unitario original. Sea el número del segmento del 1° nivel al que pertenece el punto , sea el número del segmento del 2° nivel al que pertenece el punto , etc. Consideremos cuadrados con los mismos números . El orden en que se recorren los cuadrados está dispuesto de tal manera que (¡atención!) los cuadrados forman un sistema anidado. De acuerdo con el teorema del sistema anidado (contraído) de segmentos, los cuadrados tienen un solo punto común . $X$ $k_{1}$ $X$ $k_{2}$ $X$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $k_{1},k_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Si pertenece simultáneamente a 2 segmentos, entonces estos segmentos corresponden a 2 cuadrados con un lado común: así es como se organiza el orden de derivación. Llamamos a tales cuadrados adyacentes. En este caso, en lugar de cuadrados , considere rectángulos, combinaciones de cuadrados adyacentes. Y luego , el único punto común del sistema anidado de estos rectángulos. $X$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Un razonamiento similar muestra que cada punto del cuadrado corresponderá a algún punto del segmento unitario. $y$ $X$

El mapeo construido determina la curva de Peano deseada. La continuidad de la visualización se deriva del hecho de que los segmentos cercanos corresponden a cuadrados cercanos. Cada punto tiene: $x \rightarrow y$ $y$

1 pre -imagen (si no pertenece a los límites de dos cuadrados no adyacentes de cualquier nivel), $X$ $y$
2 preimágenes (si no hay más de dos cuadrados no adyacentes de algún nivel en los límites), $y$
3 preimágenes (si pertenece a los límites de cuatro cuadrados de cierto nivel, un par de los cuales es adyacente), un ejemplo de tal punto es el centro del cuadrado, $y$
4 preimágenes (si pertenece a los límites de cuatro cuadrados no adyacentes por pares de algún nivel). $y$

Las curvas que especifican el orden de giro de los cuadrados son aproximaciones sucesivas a la curva de Peano. La curva de Peano es el límite de estas curvas.

La principal diferencia entre la curva de Peano y la interpretación de Hilbert es que el cuadrado unitario original no se divide en 4, sino en 9 partes, cada una con tamaños de lado 3 -n x3 -n , donde n es el número de iteración [4] .

Variaciones y generalizaciones

Hay un análogo de las curvas de Peano que llenan un cubo multidimensional e incluso un ladrillo de Hilbert .
Hay muchos ejemplos naturales de curvas que llenan el espacio, o más bien que llenan la esfera, en la teoría de los grupos de Klein doblemente degenerados . Por ejemplo, Cannon y Thurston [5] demostraron que el círculo en el infinito de la cobertura universal del paquete toroide del mapeo un difeomorfismo pseudo-Anosov es una curva que llena el espacio. (Aquí, una esfera en el infinito es una esfera en el infinito del espacio tridimensional hiperbólico ).
Una generalización de largo alcance contiene el teorema de Mazurkiewicz :

Si es un continuo , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: $X$

el espacio está conectado localmente, $X$
$X$ es la imagen continua del intervalo.

El teorema de Hahn - Mazurkiewicz es la siguiente caracterización de espacios que son imágenes continuas de curvas:

Un espacio topológico de Hausdorff no vacío es la imagen de un intervalo unitario si y solo si es compacto, conectado , localmente conectado , y se cumple el segundo axioma de contabilidad .

Los espacios que son la imagen continua del intervalo unitario a veces se denominan espacios de Peano . En muchas formulaciones del teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el cumplimiento del segundo axioma de contabilidad se reemplaza por el concepto de metrizable . Estas dos formulaciones son equivalentes. En una dirección, un espacio compacto de Hausdorff es un espacio normal y, por el teorema de metrizabilidad de Urysohn , el cumplimiento del segundo axioma de contabilidad implica metrizabilidad. En la dirección opuesta, para un espacio métrico compacto, se cumple el segundo axioma de contabilidad .

Notas

↑ Peano, 1890 , pág. 157.
↑ Hilberto, 1891 .
↑ La idea fue tomada del libro: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Problemas seleccionados en análisis real. - M. : Nauka, 1992. - S. 44.
↑ Slyusar, V. Antenas fractales. Un tipo fundamentalmente nuevo de antenas "rotas". Parte 2. . Electrónica: ciencia, tecnología, negocios. - 2007. - Nº 6. S. 82-89. (2007). Consultado el 22 de abril de 2020. Archivado desde el original el 3 de abril de 2018. (indefinido)
↑ Cañón, Thurston, 2007 .

Literatura

James W. Cannon, William P. Thurston . Agrupar curvas de Peano invariantes // Geometría y topología . - 2007. - T. 11 , núm. 3 . - S. 1315-1355 . — ISSN 1465-3060 . -doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 . (publicado por primera vez en 1982)
D.Hilberto . Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen . - 1891. - T. 38 , núm. 3 . — S. 459–460 . -doi : 10.1007/ BF01199431.
BB Mandelbrot. La Geometría Fractal de la Naturaleza . — W. H. Freeman, 1982. .
Douglas M. McKenna. El lado más ligero de las matemáticas: actas de la conferencia en memoria de Eugene Strens sobre matemáticas recreativas y su historia / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Asociación Matemática de América , 1994. - S. 49-73. — ISBN 978-0-88385-516-4 .
G. Peano . Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen . - 1890. - T. 36 , núm. 1 . — S. 157–160 . -doi : 10.1007/ BF01199438. .
Hans Sagan. Curvas de relleno de espacios. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3 .
Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M. , 1977.
Luzin N. N. Teoría de funciones de variable real. - 2ª ed.- M. , 1948.

Enlaces

Applets de Java en el sitio de Cut-the-Knot :

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

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cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio

fractales
Características	dimensión fractal Dimensión de Hausdorff Dimensión de Lebesgue recursión auto-similitud
Los fractales más simples	helecho barnsley conjunto cantor curva de dragón curva de Koch Esponja Menger alfombra sierpinski Triángulo de Sierpinski Curva que llena el espacio
atractor extraño	Multifractal
sistema L	Curva que llena el espacio
Fractales de bifurcación	julia conjunto Fractal de Lyapunov Conjunto de Mandelbrot piscinas de newton
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