Cuerpo de Arquímedes
El sólido de Arquímedes (o poliedro de Arquímedes ) es un poliedro convexo que tiene dos o más tipos de polígonos regulares como caras adyacentes a vértices idénticos . Aquí, "vértices idénticos" significa que para dos vértices cualesquiera hay una isometría de todo el cuerpo que lleva un vértice a otro.
Los sólidos de Arquímedes se diferencian de los sólidos platónicos ( poliedros regulares ), que consisten en un solo tipo de polígono en los mismos vértices, y de los poliedros de Johnson, cuyas caras poligonales regulares pertenecen a diferentes tipos de vértices.
A veces solo se requiere que las caras adyacentes a un vértice sean isométricas a las caras en el otro vértice. Esta diferencia en las definiciones determina si un girobicúpulo cuadrado alargado (pseudo-rombicuboctaedro) se considera un sólido de Arquímedes o un poliedro de Johnson : es el único poliedro convexo en el que las caras poligonales se unen a un vértice de la misma manera en cada vértice, pero el poliedro no. no tiene una simetría global que llevaría cualquier vértice a cualquier otro. Basado en la existencia del pseudorombicuboctaedro, Grünbaum [1] propuso una distinción terminológica en la que un cuerpo de Arquímedes se define como el que tiene la misma figura de vértice en cada vértice (incluido el girobicúpulo cuadrado alargado), mientras que un poliedro uniforme se define como cualquier vértice es simétrica a cualquier otra (lo que excluye la girobicúpolis ).
Los prismas y antiprismas , cuyos grupos de simetría son diédricos , generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, a pesar de estar dentro de la definición dada anteriormente. Con esta restricción, solo hay un número finito de sólidos de Arquímedes. Todos los cuerpos, excepto la cúpula giroscópica cuadrada alargada, se pueden obtener mediante construcciones de Wythoff a partir de sólidos platónicos utilizando simetrías tetraédricas , octaédricas e icosaédricas .
Fuente del nombre
Los cuerpos de Arquímedes llevan el nombre de Arquímedes , quien los discutió en un trabajo ahora perdido. Papp se refiere a este trabajo y afirma que Arquímedes enumeró 13 poliedros [1] . Durante el Renacimiento, artistas y matemáticos valoraron las formas puras y las redescubrieron todas. Estos estudios fueron completados casi en su totalidad alrededor de 1620 por Johannes Kepler [2] , quien definió los conceptos de prismas , antiprismas y cuerpos no convexos, conocidos como cuerpos de Kepler-Poinsot .
Kepler también pudo haber encontrado un girobicúpulo cuadrado alargado (pseudorombocuboctaedro ) , al menos afirmó que había 14 sólidos de Arquímedes. Sin embargo, sus enumeraciones publicadas incluyen solo 13 poliedros uniformes, y la primera declaración clara sobre la existencia de un pseudorombicosaedro fue hecha en 1905 por Duncan Somerville [1] .
Clasificación
Hay 13 sólidos de Arquímedes (sin contar el girobicúpulo cuadrado alargado ; 15 si se tienen en cuenta las imágenes especulares de los dos enantiomorfos , que se enumeran por separado a continuación).
Aquí la configuración de vértice se refiere a los tipos de polígonos regulares que son adyacentes a un vértice. Por ejemplo, la configuración de vértice (4,6,8) significa que el cuadrado , el hexágono y el octágono se encuentran en el vértice (el orden de enumeración se toma en el sentido de las agujas del reloj desde el vértice).
| Título (título alternativo) |
Schlafli Coxeter |
Transparente | Opaco | Escanear | figura de vértice |
caras | costillas | picos | Volumen (con un solo borde) |
grupo de puntos | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tetraedro truncado | {3,3}  
|
( rotación ) |
3.6.6 |
ocho | 4 triángulos 4 hexágonos |
Dieciocho | 12 | 2.710576 | Td _ | ||
| Cuboctaedro (rombotetraedro) |
r{4,3} o rr{3,3} o
|
( rotación ) |
3.4.3.4 |
catorce | 8 triángulos 6 cuadrados |
24 | 12 | 2.357023 | oh _ | ||
| cubo truncado | {4,3}
|
( rotación ) |
3.8.8 |
catorce | 8 triángulos 6 octágonos |
36 | 24 | 13.599663 | oh _ | ||
| Octaedro truncado (tetrateraedro truncado) |
t{3,4} o tr{3,3}o
|
( rotación ) |
4.6.6 |
catorce | 6 cuadrados 8 hexágonos |
36 | 24 | 11.313709 | oh _ | ||
| Rombicuboctaedro (pequeño rombicuboctaedro) |
rr{4,3}
|
( rotación ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 triángulos 18 cuadrados |
48 | 24 | 8.714045 | oh _ | ||
| Cuboctaedro truncado (gran rombicuboctaedro) |
{4,3}
|
( rotación ) |
4.6.8 |
26 | 12 cuadrados 8 hexágonos 6 octógonos |
72 | 48 | 41.798990 | oh _ | ||
| Cubo chato (cuboctaedro chato) |
Sr{4,3}
|
( rotación ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 triángulos 6 cuadrados |
60 | 24 | 7.889295 | O | ||
| icosidodecaedro | r{5,3}
|
( rotación ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 triángulos 12 pentágonos |
60 | treinta | 13.835526 | Yo h | ||
| dodecaedro truncado | {5,3}
|
( rotación ) |
3.10.10 |
32 | 20 triángulos 12 decágonos |
90 | 60 | 85.039665 | Yo h | ||
| Icosaedro truncado | {3,5}
|
( rotación ) |
5.6.6 |
32 | 12 pentágonos 20 hexágonos |
90 | 60 | 55.287731 | Yo h | ||
| Rombicosidodecaedro (pequeño rombicosidodecaedro) |
rr{5,3}
|
( rotación ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 triángulos 30 cuadrados 12 pentágonos |
120 | 60 | 41.615324 | Yo h | ||
| Icosidodecaedro rombotruncado | {5,3}
|
( rotación ) |
4.6.10 |
62 | 30 cuadrados 20 hexágonos 12 decágonos |
180 | 120 | 206.803399 | Yo h | ||
| Dodecaedro chato (icosidodecaedro chato) |
Sr{5,3}
|
( rotación ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 triángulos 12 pentágonos |
150 | 60 | 37.616650 | yo | ||
Algunas definiciones de poliedros semirregulares incluyen otro sólido, el girobicúpulo cuadrado alargado o "pseudo-rombicuboctaedro" [3] .
Propiedades
El número de vértices es igual a la relación de 720° al defecto de esquina en el vértice.
El cuboctaedro y el icosidodecaedro son de bordes homogéneos y se denominan cuasiregulares .
Los poliedros duales de los sólidos de Arquímedes se denominan sólidos catalanes . Junto con las bipirámides y los trapezoedros , son cuerpos uniformes en caras con vértices regulares.
Quiralidad
El cubo chato y el dodecaedro chato son quirales porque aparecen en variantes para zurdos y para diestros. Si algo tiene varios tipos que son imágenes especulares tridimensionales entre sí, estas formas se llaman enantiomorfos (este nombre también se usa para algunas formas de compuestos químicos ).
Construcción de sólidos de Arquímedes
Los diversos sólidos de Arquímedes y Platónicos se pueden derivar unos de otros con un puñado de operaciones. Comenzando con sólidos platónicos, puede usar la operación de truncamiento de esquina . Para conservar la simetría, el truncamiento se realiza mediante un plano perpendicular a la recta que une la esquina con el centro del polígono. Dependiendo de qué tan profundo se lleve a cabo el truncamiento (vea la tabla a continuación), obtenemos varios sólidos platónicos y de Arquímedes (y otros). El estiramiento o biselado se realiza alejando las caras (en una dirección) del centro (a la misma distancia para mantener la simetría) y luego creando un casco convexo. La expansión con rotación también se lleva a cabo rotando las caras, esto rompe los rectángulos que aparecen en los lugares de los bordes en triángulos. La última construcción que presentamos aquí es el truncamiento tanto de las esquinas como de los bordes. Si se ignora la escala, la expansión también se puede considerar como un truncamiento de esquina y borde, pero con una relación específica entre el truncamiento de esquina y borde.
| Simetría | tetraédrico |
octaédrico |
icosaédrico | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
Operación corporal inicial |
Carácter {p, q}  
|
tetraedro {3,3} |
Cubo {4,3} |
Octaedro {3,4} |
dodecaedro {5,3} |
Icosaedro {3,5} |
| Truncamiento (t) | t{p,q}
|
tetraedro truncado |
cubo truncado |
octaedro truncado |
dodecaedro truncado |
Icosaedro truncado |
| Truncamiento completo (r) Púlpito (a) |
r{p,q}
|
tetratetraedro |
cuboctaedro |
icosidodecaedro | ||
| Truncamiento profundo (2t) (dk) |
2t{p,q}
|
tetraedro truncado |
octaedro truncado |
cubo truncado |
icosaedro truncado |
dodecaedro truncado |
| Doble truncamiento completo (2r) Doble (d) |
2r{p,q}
|
tetraedro |
octaedro |
cubo |
icosaedro |
dodecaedro |
| Biselado (rr) Estiramiento (e) |
rr{p, q}
|
cuboctaedro |
Rombicuboctaedro |
rombicosidodecaedro | ||
| Enderezamiento desaire (sr) Enderezamiento (s) |
Sr{p, q}
|
tetratetraedro chato |
cubo chato |
icosidodecaedro chato | ||
| bisel-truncamiento (tr) Bisel (b) |
tr{p, q}
|
octaedro truncado |
Cuboctaedro truncado |
Icosidodecaedro rombotruncado | ||
Nótese la dualidad entre el cubo y el octaedro y entre el dodecaedro y el icosaedro. Además, debido en parte a la autodualidad del tetraedro, solo un sólido de Arquímedes tiene solo una simetría tetraédrica.
Véase también
- Mosaico aperiódico
- Conde de Arquímedes
- Lista de poliedros uniformes
- poliedro toroidal
- cuasicristal
- Poliedro semirregular
- poliedro regular
- poliedro uniforme
- Gemelo icosaédrico
Notas
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Campo, 1997 , pág. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , pág. 85.
Literatura
- Field J. Redescubriendo los poliedros de Arquímedes: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro y Johannes Kepler // Archivo de Historia de las Ciencias Exactas. - Springer, 1997. - vol. 50, núm. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branco. Un error perdurable // Elemente der Mathematik. - 2009. - Vol. 64, núm. 3.- Pág. 89-101. -doi : 10.4171 / EM/120 . . Reimpreso en The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Prensa de la Universidad de Princeton, 2011. — P. 18–31 .
- Malkevitch, Joseph. . Dar forma al espacio: un enfoque poliédrico / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - P. 80–92.
- Pug, Anthony. . Poliedros: un enfoque visual. - California: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . Capitulo 2
- Udaya, lago Jayatil. Cálculos sobre caras y vértices poliédricos regulares // Gaceta Matemática. - 2005. - vol. 89, núm. 514.—Pág. 76–81.
- Williams, Roberto. . La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta de diseño . - Publicaciones de Dover, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (Sección 3-9)
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
- Archimedean Solids Archivado el 20 de febrero de 2016 en Wayback Machine por Eric W. Weisstein , Wolfram Demonstrations Project .
- Modelos en papel de Archimedean Solids y Catalan Solids Archivado el 20 de febrero de 2016 en Wayback Machine .
- Modelos de papel gratuitos (redes) de sólidos de Arquímedes . Archivado el 6 de febrero de 2016 en Wayback Machine .
- The Uniform Polyhedra Archivado el 11 de febrero de 2008 en Wayback Machine por Dr. R. Mader
- Poliedros de realidad virtual Archivado el 23 de febrero de 2008 en Wayback Machine , The Encyclopedia of Polyhedra por George W. Hart
- Penúltimo origami modular Archivado el 15 de julio de 2010 en Wayback Machine por James S. Plank
- Poliedros 3D interactivos en Java
- Visor de cuerpo sólido (enlace no disponible) Un visor de poliedros 3D interactivo que le permite guardar el modelo en formato svg, stl u obj.
- Stella: Polyhedron Navigator Archivado el 9 de julio de 2010 en Wayback Machine : software de creación de imágenes, muchos de los cuales se muestran en esta página.
- Modelos de papel de poliedros de Arquímedes (y otros) Archivado el 25 de enero de 2021 en Wayback Machine .