Poliedro pentagonal

Un politopo pentagonal  es un politopo regular en un espacio n -dimensional construido a partir del grupo de Coxeter H n . La familia fue nombrada por Harold Coxeter , ya que el poliedro pentagonal bidimensional es un pentágono . Dependiendo de su símbolo de Schläfli , puede llamarse dodecaédrico ({5, 3 n − 2 }) o icosaédrico ({3 n − 2 , 5}).

Miembros de la familia

La familia comienza con poliedros unidimensionales (segmento, n = 1) y termina con un mosaico infinito de una esfera hiperbólica de 4 dimensiones con n = 5.

Hay dos tipos de poliedros pentagonales. Un tipo puede llamarse poliedro dodecaédrico , y el otro icosaédrico , dependiendo de sus partes tridimensionales. Estos dos tipos son duales entre sí.

Poliedros dodecaédricos

La familia completa de poliedros dodecaédricos consta de:

1. Segmento , { }
2. Pentágono , {5}
3. Dodecaedro , {5, 3} (12 caras pentagonales )
4. Ciento veinte lados , {5, 3, 3} (120 celdas dodecaédricas )
5. Panales de 120 celdas de orden 3 , {5, 3, 3, 3} - mosaico del espacio hiperbólico de 4 dimensiones

Las facetas de cualquier poliedro dodecaédrico son poliedros pentagonales dodecaédricos de una dimensión menos. Sus figuras de vértice son simples de una dimensión menos.

norte	grupo coxeter	Polígono de Petri (proyección)	Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli	facetas	Elementos
					picos	costillas	facetas	Células	4 - caras
una	[ ] (orden 2)		Segmento de línea {}	2 picos	2
2	[5] (orden 10)		Pentágono {5}	5 costillas	5	5
3	[5,3] (orden 120)		Dodecaedro {5, 3}	12 pentágonos	veinte	treinta	12
cuatro	[5,3,3] (pedido 14400)		120 celdas {5, 3, 3}	120 dodecaedros	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (orden ∞)		panal de 120 celdas {5, 3, 3, 3}	∞ 120 celdas	∞	∞	∞	∞	∞

Poliedros icosaédricos

La familia completa de poliedros pentagonales icosaédricos consta de:

1. Segmento , { }
2. Pentágono , {5}
3. Icosaedro , {3, 5} (20 caras triangulares )
4. Seiscientas celdas , {3, 3, 5} (120 celdas tetraédricas )
5. Panales de cinco celdas de quinto orden , {3, 3, 3, 5} — mosaico del espacio hiperbólico de 4 dimensiones (∞ facetas de cinco celdas)

Las facetas de cualquier poliedro pentagonal icosaédrico son simples de una dimensión menos. Las figuras de vértice de los poliedros son poliedros pentagonales icosaédricos de una dimensión menor.

norte	grupo coxeter	Polígono de Petri (proyección)	Nombre Diagrama de Coxeter Símbolo de Schläfli	facetas	Elementos
					picos	costillas	facetas	Células	4 - caras
una	[ ] (orden 2)		Segmento de línea {}	2 picos	2
2	[5] (orden 10)		Pentágono {5}	5 costillas	5	5
3	[5,3] (orden 120)		icosaedro {3, 5}	20 triángulos regulares	12	treinta	veinte
cuatro	[5,3,3] (pedido 14400)		seiscientas celdas {3, 3, 5}	600 tetraedros	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (orden ∞)		Panales de cinco celdas de quinto orden {3, 3, 3, 5}	∞ Cinco celdas	∞	∞	∞	∞	∞

Poliedros estrellados y panales relacionados

A partir de poliedros pentagonales, se pueden formar formas estrelladas para obtener nuevos poliedros regulares estrellados :

• En el espacio tridimensional , se obtienen cuatro poliedros de Kepler-Poinsot  : { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } y { 5/2,5 }.
• En el espacio de cuatro dimensiones , se obtienen diez poliedros de Schläfli-Hess : {3,5,5/2} ,{ {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} y {5/2,3,3} .
• Hay cuatro panales estrellados regulares en un espacio hiperbólico de cuatro dimensiones : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } y {5,5/2,5,3} .

Notas

Literatura

• HSM Coxeter . Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicación Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Documento 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Politopos regulares . - 3º (1947, 63, 73). - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .