Prisma (geometría)

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Muchos prismas uniformes

Prisma hexagonal

Tipo de

poliedro uniforme

Propiedades

poliedro convexo transitivo de vértice

combinatoria

Elementos

3 n aristas
2 n vértices

facetas

Total - 2+ norte 2 {n} norte { 4}

Configuración de vértice

4.4.n

Clasificación

{n}×{} o t {2, n }

grupo de simetría

D n h , [ n ,2], (* n 22), orden 4 n

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Un prisma ( del lat. prisma de otro griego πρίσμα “algo aserrado”) es un poliedro cuyas dos caras son polígonos congruentes (iguales) que se encuentran en planos paralelos, y las caras restantes son paralelogramos que tienen lados comunes con estos polígonos. Estos paralelogramos se llaman las caras laterales del prisma, y los dos polígonos restantes se llaman sus bases .

El polígono que se encuentra en la base determina el nombre del prisma: triángulo - prisma triangular , cuadrilátero - cuadrangular; pentágono - pentagonal ( pentaprisma ), etc.

Un prisma es un caso especial de un cilindro en el sentido general (no circular).

Elementos del prisma

Nombre	Definición	Designaciones en el dibujo.	Dibujo
Cimientos	Dos caras que son polígonos congruentes que se encuentran en planos paralelos entre sí.	$A B C D E$ , $KLMNP$
Caras laterales	Todas las caras excepto las bases. Cada cara lateral es necesariamente un paralelogramo.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Superficie lateral	Fusión de caras laterales.
Superficie completa	Unión de bases y superficie lateral.
costillas laterales	Lados comunes de las caras laterales.	$Alaska$ , , , , $licenciado en Derecho$ $CM$ $DN$ $EP$
Altura	Un segmento que conecta los planos en los que se encuentran las bases del prisma y es perpendicular a estos planos.	$CR$
Diagonal	Segmento que conecta dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara.	$PA$
plano diagonal	El plano que pasa por la arista lateral del prisma y la diagonal de la base.	$PBE$
Sección diagonal	La intersección de un prisma y un plano diagonal. Se forma un paralelogramo en la sección, incluidos sus casos especiales: un rombo, un rectángulo, un cuadrado.	$EBLP$
Sección perpendicular (ortogonal)	La intersección de un prisma y un plano perpendicular a su borde lateral.

Prisma Propiedades

Las bases del prisma son polígonos iguales.
Las caras laterales del prisma son paralelogramos.
Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.
El volumen de un prisma es igual al producto de su altura por el área de la base:

V=S\cdot h

El volumen de un prisma de base n -gonal regular es

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(aquí s es la longitud del lado del polígono).

El área de la superficie total de un prisma es igual a la suma de su área de la superficie lateral y el doble del área de la base.
El área de la superficie lateral de un prisma arbitrario , donde es el perímetro de la sección perpendicular, es la longitud del borde lateral. $S=P\cdot l$ $PAGS$ $yo$
El área de la superficie lateral de un prisma recto , donde es el perímetro de la base del prisma, es la altura del prisma. $S=P\cdot h$ $PAGS$ $h$
El área de la superficie lateral de un prisma recto de base n -gonal regular es igual a

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

La sección perpendicular es perpendicular a todos los bordes laterales del prisma.
Los ángulos de una sección perpendicular son los ángulos lineales de los ángulos diédricos en los bordes laterales correspondientes.
La sección perpendicular es perpendicular a todas las caras laterales.
El poliedro dual de un prisma recto es la bipirámide .

Tipos de prismas

Un prisma cuya base es un paralelogramo se llama paralelepípedo .

Un prisma recto es un prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares al plano de la base, lo que significa que todas las caras laterales son rectángulos [1] .

Un prisma rectangular recto también se llama cuboide . El símbolo de Schläfli de dicho prisma es { }×{ }×{ }.

Un prisma regular es un prisma recto cuya base es un polígono regular . Las caras laterales de un prisma regular son rectángulos iguales .

Un prisma regular cuyas caras laterales son cuadrados (cuya altura es igual al lado de la base) es un poliedro semirregular . El símbolo de Schläfli de dicho prisma es t{2,p}. Los prismas directos con bases regulares y las mismas longitudes de borde forman una de dos secuencias infinitas de poliedros semirregulares (los antiprismas forman la otra secuencia ).

Los prismas inclinados se llaman prismas, cuyos bordes no son perpendiculares al plano de la base.

Un prisma truncado es un poliedro que está cortado del prisma por un plano que no es paralelo a la base [2] . Un prisma truncado no es en sí mismo un prisma.

Diagramas de Schlegel

prisma triangular	prisma de 4 ángulos	prisma de 5 ángulos	prisma hexagonal	prisma de 7 ángulos	prisma octogonal

Simetría

El grupo de simetría de un prisma n -gonal recto de base regular es el grupo D n h de orden 4 n , excepto el cubo, que tiene el grupo de simetría O h de orden 48, que contiene tres versiones de D 4h como subgrupos . El grupo de rotación es D n de orden 2 n , excepto en el caso de un cubo, para el cual el grupo de rotación es O de orden 24, que tiene tres versiones de D 4 como subgrupos.

El grupo de simetría D n h incluye la simetría central si y sólo si n es par.

Generalizaciones

Poliedros prismáticos

Un poliedro prismático es una generalización de un prisma en espacios de dimensión 4 y superiores. Un poliedro prismático de n dimensiones se construye a partir de poliedros de dos ( n − 1 ) dimensiones movidos a la siguiente dimensión.

Los elementos del politopo prismático n -dimensional se duplican a partir de los elementos del politopo ( n − 1 )-dimensional, luego se crean nuevos elementos del siguiente nivel.

Tomemos un poliedro n -dimensional con elementos ( cara i -dimensional , i = 0, …, n ). Un poliedro prismático ( )-dimensional tendrá elementos de dimensión i (para , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\ estilo de visualización 2f_{i}+f_{-1))$ ${\ estilo de visualización f_ {-1} = 0}$ ${\ estilo de visualización f_ {n} = 1}$

Por dimensiones:

Tomamos un polígono de n vértices y n lados. Obtenemos un prisma con 2 n vértices, 3 n aristas y caras. ${\ estilo de visualización 2 + n}$
Tome un poliedro con vértices v , aristas e y caras f . Obtenemos un prisma (de 4 dimensiones) con 2 v vértices, aristas, caras y celdas. ${\ estilo de visualización 2e+v}$ ${\ estilo de visualización 2f+e}$ ${\ estilo de visualización 2 + f}$
Tome un poliedro de 4 dimensiones con vértices v , aristas e , caras f y celdas c . Obtenemos un prisma (de 5 dimensiones) con 2 vértices , aristas, caras (de 2 dimensiones), celdas e hiperceldas. ${\ estilo de visualización 2e+v}$ ${\ estilo de visualización 2f+e}$ ${\ estilo de visualización 2c + f}$ ${\ estilo de visualización 2 + c}$

Poliedros prismáticos uniformes

Un politopo n regular representado por el símbolo de Schläfli { p , q , ..., t } puede formar un politopo prismático uniforme de dimensión ( n + 1 ) representado por el producto directo de dos símbolos de Schläfli : { p , q , . .., t } ×{}.

Por dimensiones:

Un prisma de un poliedro de dimensión 0 es un segmento de línea representado por el símbolo de Schläfli vacío {}.
Un prisma de un poliedro unidimensional es un rectángulo obtenido a partir de dos segmentos. Este prisma se representa como un producto de los símbolos de Schläfli {}×{}. Si el prisma es un cuadrado , la notación se puede abreviar: {}×{} = {4}.
- Ejemplo: cuadrado, {}×{}, dos segmentos paralelos conectados por otros dos segmentos, lados .
Un prisma poligonal es un prisma tridimensional hecho de dos polígonos (uno obtenido por traslación paralela del otro) que están conectados por rectángulos. A partir de un polígono regular { p }, puedes obtener un prisma n -gonal homogéneo, representado por el producto { p }×{}. Si p = 4 , el prisma se convierte en un cubo : {4}×{} = {4, 3}.
- Ejemplo: Prisma pentagonal , {5}×{}, dos pentágonos paralelos conectados por cinco lados en ángulo recto .
Un prisma de 4 dimensiones obtenido a partir de dos poliedros (uno obtenido por traslación paralela del otro), con celdas prismáticas tridimensionales conectadas. A partir de un poliedro regular { p , q } se puede obtener un prisma homogéneo de 4 dimensiones representado por el producto { p , q }×{}. Si el poliedro es un cubo y los lados del prisma también son cubos, el prisma se convierte en un teseracto : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Ejemplo: prisma dodecaédrico , {5, 3}×{}, dos dodecaedros paralelos conectados por 12 prismas pentagonales ( lados ).
…

Los poliedros prismáticos de dimensiones superiores también existen como productos directos de dos poliedros cualesquiera. La dimensión de un poliedro prismático es igual al producto de las dimensiones de los elementos del producto. El primer ejemplo de tal producto existe en el espacio de 4 dimensiones y se llama duoprismas , que se obtienen multiplicando dos polígonos. Los duoprismas regulares se representan con el símbolo { p }×{ q }.

Familia de prismas regulares

Configuración	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polígono
Mosaico

Prisma torcido y antiprisma

Un prisma torcido es un poliedro prismático no convexo que se obtiene a partir de una q -gonal uniforme dividiendo las caras laterales por una diagonal y girando la base superior, generalmente un ángulo de radianes ( grados), en una dirección en la que los lados se vuelven cóncavos. [3] [4] . ${\frac{\pi}{q}}$ ${\frac{180}{q))$

Un prisma torcido no se puede romper en tetraedros sin introducir nuevos vértices. El ejemplo más simple con bases triangulares se llama poliedro de Schoenhardt .

Un prisma torcido es topológicamente idéntico a un antiprisma , pero tiene la mitad de las simetrías : D n , [ n , 2] + , de orden 2 n . Este prisma se puede considerar como un antiprisma convexo con los tetraedros eliminados entre pares de triángulos.

triangular	cuadrangular		12 caras
poliedro de Schoenhardt	Antiprisma cuadrado torcido	antiprisma cuadrado	Antiprisma dodecagonal torcido

Poliedros y mosaicos relacionados

Familia de prismas regulares

Configuración	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polígono
Mosaico

Familia de cúpulas convexas

norte	2	3	cuatro	5	6
Nombre	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Hazme	cúpula diagonal	cúpula de tres pendientes	cúpula de cuatro tonos	cúpula de cinco pendientes	Cúpula hexagonal (plana)
Poliedros uniformes relacionados	prisma triangular	cuboctaedro	Rombicubo- octaedro	dodecaedro Rombicos	Rombotría - mosaico hexagonal

Simetrías

Los prismas son topológicamente parte de una secuencia de poliedros truncados uniformes con configuraciones de vértice (3.2n.2n) y [n,3].

Opciones de simetría * n 32 mosaicos truncados: 3.2 n .2 n
Simetría * n 32 [n,3]	esférico				euclidiana	Compacto hiperbólico.		Paracompacto _	Hiperbólico no compacto.
Simetría * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Cifras truncadas
Configuración	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
figuras divididas
Configuración	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Los prismas son topológicamente parte de una secuencia de poliedros sesgados con figuras de vértice (3.4.n.4) y mosaicos en el plano hiperbólico . Estas figuras transitivas de vértice tienen (*n32) simetría especular .

Opciones de simetría * n 42 mosaicos extendidos: 3.4. n.4 _
Simetría * n 32 [n,3]	esférico				euclidiana	Hiperbólico compacto		paracompacto
Simetría * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figura
Configuración	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Poliedros compuestos

Hay 4 compuestos uniformes de prismas triangulares:

Conexión de cuatro prismas triangulares , conexión de ocho prismas triangulares , conexión de diez prismas triangulares , conexión de doce prismas triangulares . Panales

Hay 9 panales uniformes , incluyendo celdas en forma de prismas triangulares:

panales cúbicos alternos giro-alargados ,
panales cúbicos alternos alargados ,
panales prismáticos triangulares girados ,
panal prismático cuadrado chato ,
panales prismáticos triangulares ,
panales prismáticos triangulares-hexagonales ,
panales prismáticos hexagonales truncados ,
panal prismático rombotrihexagonal ,
panales prismáticos hexagonales chatos ,
panales prismáticos triangulares alargados .

Politopos relacionados

El prisma triangular es el primer poliedro de la serie de poliedros semirregulares . Cada poliedro uniforme posterior contiene el poliedro anterior como una figura de vértice . Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como que contiene todas las facetas de poliedros multidimensionales regulares , todos simples y ortoplexes ( triángulos regulares y cuadrados en el caso de prismas triangulares). En la notación de Coxeter , un prisma triangular viene dado por el símbolo −1 21 .

k 21 en un espacio de dimensión n
Espacio	final						euclidiana	hiperbólico
es [ ]	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
grupo coxeter	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E₁₀ = T₈ = E₈ ++
Gráfico de Coxeter
simetría	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordenar	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Grafico							-	-
Designacion	−1 21	0 21	1 21	221 [ es	3 21	4 21	5 21	6 21

Espacio de cuatro dimensiones

El prisma triangular sirve como una celda en un conjunto de poliedros de 4 dimensiones uniformes de 4 dimensiones , que incluyen:

prisma tetraédrico	prisma octaédrico	prisma cuboctaédrico	prisma icosaédrico	prisma icosidodecaédrico	prisma dodecaédrico truncado

prisma rombicosido- dodecaédrico	rombicubo - prisma octaédrico	prisma cúbico truncado	prisma dodecaédrico chato	prisma antiprismático n-gonal

biselado de 5 celdas	5 celdas truncadas en bisel	cepillado de 5 celdas	arado-truncado de 5 celdas	teseracto biselado	teseracto biselado-truncado	teseracto cepillado	tesseract truncado de arado

biselado de 24 celdas	24 celdas truncadas en bisel	cepillado de 24 celdas	arado-truncado de 24 celdas	biselado de 120 celdas	Bisel truncado de 120 celdas	cepillado de 120 celdas	arado-truncado 120 celdas

Véase también

Notas

↑ Kern, Bland, 1938 , pág. 28
↑ Prisma truncado // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , pág. 172.
↑ Dibujos de prismas torcidos . Consultado el 28 de enero de 2019. Archivado desde el original el 29 de enero de 2019. (indefinido)

Literatura

William F. Kern, James R. Bland. Medición sólida con pruebas . — 1938.
Catalina A. Gorini. Los hechos en archivo: manual de geometría. - Nueva York: Infobase Publishing, 2003. - (Hechos en archivo). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Antonio Pugh. Capítulo 2: Poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes // Poliedros: una aproximación visual. - California: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Prism (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Jorge Olshevski . " Politopo prismático ". Glosario de Hiperespacio.
Prismas y antiprismas no convexos (enlace descendente desde 12-03-2018 [1696 días])
Área de superficie MATHguide
Volumen MATHguide
Modelos de papel de prismas y antiprismas
Modelos en papel de prismas y antiprismas Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : programas para crear imágenes 3D y 4D que se muestran en esta página.

poliedros

Correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro