Octaedro

octaedro regular

( modelo giratorio )

Tipo de

poliedro regular

combinatoria

Elementos

8 caras
12 aristas
6 vértices

X = 2

facetas

triángulos regulares

Configuración de vértice

4.4.4

Clasificación

Notación

Símbolo Schläfli

${\ estilo de visualización \ {3,4 \}}$
$r\{3,3\}$ o $\begin{Bmatriz} 3 \\ 3 \end{Bmatriz}$

Símbolo de Wythoff

4 | 2 3

Diagrama de Dynkin

grupo de simetría

{\ estilo de visualización O_ {h}}

grupo de rotación

O

datos cuantitativos

Ángulo diedro

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.5^{\circ }

Ángulo sólido en el vértice

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\aprox. 1,35935

Casarse

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El octaedro ( del griego οκτάεδρον de οκτώ "ocho" + έδρα "base") es un poliedro de ocho caras.

El octaedro regular es uno de los cinco poliedros regulares convexos [1] , los llamados sólidos platónicos ; sus caras son ocho triángulos equiláteros . octaedro regular -

dual a un cubo ;
truncamiento completo del tetraedro ;
bipirámide cuadrada en cualquiera de las tres direcciones ortogonales ;
antiprisma triangular en cualquiera de las cuatro direcciones;
bola tridimensional en la métrica de los bloques de la ciudad .

Un octaedro es una versión tridimensional del concepto más general de hiperoctaedro .

Octaedro regular

Un octaedro regular tiene 8 caras triangulares, 12 aristas, 6 vértices y 4 aristas se unen en cada vértice.

Dimensiones

Si la longitud de la arista del octaedro es a , entonces el radio de la esfera circunscrito alrededor del octaedro es:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a

el radio de una esfera inscrita en un octaedro se puede calcular mediante la fórmula:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a .

ángulo diedro : , donde . $\alpha = 2\fi \aprox. 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

El radio de una esfera semi-inscrita que toca todos los bordes es

r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a

Proyecciones ortográficas

El octaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centradas por una arista, un vértice, una cara y una cara normal. El segundo y tercer caso corresponden a los planos de Coxeter B 2 y A 2 .

Proyecciones ortográficas

Centrado	borde	Normal a la cara	pináculo	borde
Imagen
simetría proyectiva	[2]	[2]	[cuatro]	[6]

Mosaico esférico

Un octaedro puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en un plano utilizando una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , preservando los ángulos pero no las longitudes ni el área. Los segmentos de la esfera se asignan a arcos de círculos en el plano.

proyección ortogonal	proyección estereográfica
	triangular centrado

Coordenadas cartesianas

Un octaedro con una longitud de arista se puede colocar en el origen de modo que sus vértices se encuentren en los ejes de coordenadas. Las coordenadas cartesianas de los vértices serán entonces ${\ sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

En el sistema de coordenadas rectangulares x - y - z , el octaedro con centro en el punto ( a , b , c ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) tales que

\izquierda|x - a\derecha| + \izquierda|y - b\derecha| + \izquierda|z - c\derecha| = r.

Área y volumen

El área total de la superficie de un octaedro regular con longitud de arista a es

S=2a^2\sqrt{3} \aprox. 3,46410162a^2

El volumen de un octaedro ( V ) se calcula mediante la fórmula:

V=\begin{matriz}{1\over3}\end{matriz}\sqrt{2}a^3 \aprox. 0,471404521a^3

Así, el volumen de un octaedro es cuatro veces el volumen de un tetraedro con la misma longitud de arista, mientras que el área de la superficie es el doble (porque la superficie consta de 8 triángulos, mientras que el tetraedro tiene cuatro).

Si el octaedro se estira para satisfacer la igualdad:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

Las fórmulas de superficie y volumen se convierten en:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Además, el tensor de los momentos de inercia del octaedro alargado será igual a:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2 ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatriz}

Se reduce a la ecuación de un octaedro regular cuando: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Enlaces geométricos

La parte interna (común) de la configuración de dos tetraedros duales es un octaedro, y esta configuración en sí misma se denomina octaedro estrellado ( en latín: stella octangula ). La configuración es la única estelación del octaedro. En consecuencia, un octaedro regular es el resultado de cortar de un tetraedro regular cuatro tetraedros regulares con la mitad de la longitud de la arista (es decir, un truncamiento completo del tetraedro). Los vértices del octaedro se encuentran en los puntos medios de las aristas del tetraedro, y el octaedro está relacionado con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y el icosidodecaedro están relacionados con el resto de los sólidos platónicos. Es posible dividir las aristas del octaedro en relación a la proporción áurea para determinar los vértices del icosaedro . Para hacer esto, coloque los vectores en los bordes para que todas las caras estén rodeadas por ciclos. Luego dividimos cada borde en la proporción áurea a lo largo de los vectores. Los puntos resultantes son los vértices del icosaedro.

Los octaedros y los tetraedros se pueden intercalar para construir panales uniformes de vértices, aristas y caras, que Fuller denominó haz de octetos . Estos son los únicos panales que permiten el apilamiento regular en un cubo , y son uno de los 28 tipos de panales uniformes convexos .

El octaedro es único entre los sólidos platónicos porque solo tiene un número par de caras en cada vértice. Además, es el único miembro de este grupo que tiene planos de simetría que no cortan ninguna cara.

Usando la terminología estándar para los poliedros de Johnson , el octaedro puede llamarse bipirámide cuadrada . Truncar dos vértices opuestos da como resultado una bipirámide truncada .

El octaedro tiene 4 conexiones . Esto significa que se deben eliminar cuatro vértices para desconectar los restantes. Es uno de los cuatro poliedros bien cubiertos simpliciales conectados en 4, lo que significa que todos los conjuntos de vértices independientes más grandes tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal , el biclinoide chato y un poliedro irregular de 12 vértices y 20 caras triangulares [2] .

Un octaedro se puede inscribir en un tetraedro, además, cuatro de las ocho caras del octaedro se alinearán con las cuatro caras del tetraedro, los seis vértices del octaedro se alinearán con los centros de las seis aristas del tetraedro.
Un octaedro se puede inscribir en un cubo, además, los seis vértices del octaedro se alinearán con los centros de las seis caras del cubo.
Un cubo se puede inscribir en un octaedro, además, los ocho vértices del cubo estarán ubicados en los centros de las ocho caras del octaedro.

Coloración uniforme y simetría

Hay 3 colores uniformes octaedro, llamados así por los colores de sus caras: 1212, 1112, 1111.

El grupo de simetría del octaedro es O h de orden 48, un grupo hiperoctaédrico tridimensional . Los subgrupos de este grupo incluyen D 3d (orden 12), el grupo de simetría de antiprisma triangular , D 4h (orden 16), el grupo de simetría de bipirámide cuadrada , y T d (orden 24), el grupo de simetría de tetraedro completamente truncado . Estas simetrías se pueden enfatizar mediante diferentes colores de las caras.

Nombre	Octaedro	Tetraedro completamente truncado ( Tetratetrahedron )	Antiprisma triangular	Bipirámide cuadrada	bipirámide rómbica
Dibujar (colorear la cara)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Gráfico de Coxeter		=
Símbolo Schläfli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	pies{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Símbolo de Wythoff	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Simetría	Oh , [ 4,3 ], (*432)	Td , [3,3], (*332)	re 3d , [2 + ,6], (2*3) re 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D2h , [ 2,2 ], (*222)
Ordenar	48	24	12 6	dieciséis	ocho

Escariadores

Hay once variantes del desarrollo del octaedro [3] .

Dualidad

El octaedro es dual al cubo .

Cortar

Un tetrahemihexaedro homogéneo es un facetado con simetría tetraédrica de un octaedro regular, conservando la disposición de aristas y vértices . El corte tiene cuatro facetas triangulares y 3 cuadrados centrales.

Octaedro	tetrahemihexaedro

Octaedros irregulares

Los siguientes poliedros son combinatoriamente equivalentes a un octaedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas, lo que corresponde uno a uno a los parámetros de un octaedro regular.

Antiprismas triangulares : dos caras son triángulos equiláteros que se encuentran en planos paralelos y tienen un eje de simetría común. Los seis triángulos restantes son isósceles.
Bipirámides cuadrangulares , en las que al menos un cuadrilátero ecuatorial se encuentra en un plano. Un octaedro regular es un caso especial en el que los tres cuadriláteros son cuadrados planos.
Politopo de Schoenhardt , un politopo no convexo que no se puede dividir en tetraedros sin introducir nuevos vértices.

Otros octaedros convexos

En general, cualquier poliedro de ocho caras puede llamarse octaedro. Un octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el número mínimo para un octaedro. Los octógonos irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas [3] [4] . Hay 257 octaedros convexos topológicamente distintos , excluyendo las copias especulares [3] . En particular, hay 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 octaedros con 6 a 12 vértices, respectivamente [5] [6] . (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen disposiciones internas de caras y vértices diferentes, de modo que no es posible transformar un cuerpo en otro simplemente cambiando la longitud de las aristas o los ángulos entre las aristas o las caras).

Algunos octágonos irregulares notables:

Prisma hexagonal : dos caras son hexágonos regulares paralelos, seis cuadrados conectan pares correspondientes de lados de los hexágonos.
Pirámide heptagonal : Una cara es un heptágono (normalmente regular) y las siete caras restantes son triángulos (normalmente isósceles). Es imposible lograr que todas las caras triangulares sean equiláteras.
Tetraedro truncado : las cuatro caras del tetraedro se truncan en hexágonos regulares y se forman tres caras triangulares equiláteras adicionales en lugar de los vértices truncados.
Trapezoedro cuadrilátero : Ocho caras son congruentes con los deltoides .

Octaedros en el mundo físico

Octaedros en la naturaleza

Muchos cristales cúbicos naturales tienen forma de octaedro. Estos son diamante , sulfato de aluminio y potasio , cloruro de sodio , perovskita , olivino , fluorita , espinela .
Los vacíos interatómicos (poros) en estructuras compactas de metales puros ( níquel , cobre , magnesio , titanio , lantano y muchos otros) y compuestos iónicos (cloruro de sodio, esfalerita , wurtzita , etc.) tienen la forma de un octaedro.
Las placas de la aleación de kamacita en los meteoritos de octaedrita están ubicadas paralelas a las ocho caras del octaedro.

Octaedros en el arte y la cultura

En los juegos , el dado del octaedro se conoce como "d8".
Si cada borde del octaedro se reemplaza por una resistencia de un ohm , la resistencia total entre los vértices opuestos será de 1/2 ohm, y entre los vértices adyacentes, de 5/12 ohm [7] .
Se pueden colocar seis notas musicales en los vértices de un octaedro de modo que cada borde represente un par de consonantes y cada cara represente un triple de consonantes.
El erizo antitanque tiene la forma de tres diagonales de un octaedro.

Ligamento tetraédrico

El marco de tetraedros y octaedros repetidos fue inventado por Fuller en la década de 1950 y se conoce como el marco espacial se considera que es la estructura más fuerte que resiste las tensiones de las vigas en voladizo .

Politopos relacionados

Un octaedro regular se puede agrandar a un tetraedro agregando cuatro tetraedros en caras alternas. La adición de tetraedros a las ocho caras forma un octaedro estrellado .

tetraedro	octaedro estrellado

El octaedro pertenece a la familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo.

Poliedros octaédricos uniformes

Simetría : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	{4,3}	r{4,3}	{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	{4,3}	Sr{4,3}	{3,4}
Poliedros duales

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

También es uno de los ejemplos más simples de un hipersimple , un poliedro formado por una cierta intersección de un hipercubo con un hiperplano .

El octaedro está incluido en una secuencia de poliedros con el símbolo de Schläfli {3, n } que se extiende hasta el plano hiperbólico .

* n 32 simetrías regulares de mosaico: 3 n o {3, n }

esférico				euclidiana	Hipérbola compacta.		Para -compacto	Hiperbólico no compacto

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetraedro

Un octaedro regular puede verse como un tetraedro completamente truncado y puede llamarse tetratetraedro . Esto se puede mostrar con un modelo de dos colores. En esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica .

Comparación de la secuencia de truncamiento de un tetraedro y su figura dual:

Familia de poliedros tetraédricos uniformes

Simetría : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	{3,3}	r{3,3}	{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	{3,3}	señor{3,3}
Poliedros duales

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Los sólidos anteriores pueden entenderse como rebanadas ortogonales a la diagonal larga del teseracto . Si esta diagonal se coloca verticalmente con una altura de 1, entonces las primeras cinco secciones desde la parte superior estarán a las alturas r , 3/8, 1/2, 5/8 y s , donde r es cualquier número en el intervalo (0 ,1/4], y s — cualquier número en el intervalo [3/4,1).

El octaedro como tetratetraedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasi-regulares y mosaicos con configuración de vértice (3. n ) 2 , pasando de mosaicos en la esfera al plano euclidiano, y luego al plano hiperbólico. En la notación orbifold de simetría * n 32, todas estas teselaciones son construcciones de Wythoff dentro del dominio fundamental de simetría con puntos generadores en el ángulo recto del dominio [8] [9] .

* n 32 simetrías orbifold de teselaciones cuasi-regulares : (3. n ) 2

Edificio	esférico			euclidiana	Hiperbólico
Edificio	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Cifras casi regulares
Vértice	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Antiprisma triangular

Como antiprisma triangular , el octaedro está relacionado con la familia de simetría diedro hexagonal.

Poliedros esféricos diedros hexagonales uniformes

Simetría : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	{6,2	Sr{6,2}	{2,6}
Sus poliedros duales

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Familia de antiprismas homogéneos n .3.3.3

Configuración	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Poliedro
Mosaico

Bipirámide cuadrada

familia bipirámide

Configuración	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Poliedro
Mosaico

Véase también

Notas

↑ Selivanov D. F .,. Cuerpo geométrico // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , pág. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Steven Dutch. Enumeración de Poliedros (enlace no disponible) . Consultado el 8 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 10 de octubre de 2011. (indefinido)
↑ Contar poliedros . Consultado el 8 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016. (indefinido)
↑ Copia archivada . Consultado el 14 de agosto de 2016. Archivado desde el original el 17 de noviembre de 2014. (indefinido)
↑ Klein, 2002 , pág. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Mutaciones de simetría bidimensional por Daniel Huson

Literatura

Gran enciclopedia soviética
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. Sobre triangulaciones bien cubiertas. III // Matemática Aplicada Discreta. - 2010. - T. 158 , núm. 8 _ -doi : 10.1016/ j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Reglas de la suma de la distancia de resistencia // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , núm. 2 . Archivado desde el original el 10 de junio de 2007.
R.Williams. Capítulo 5 El caleidoscopio, Sección: 5.7 Wythoff // La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . — Nueva York: Publicaciones de Dover , 1979.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Octahedron (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Politopos Klitzing, poliedros uniformes convexos 3D
Red imprimible editable de un octaedro con vista 3D interactiva
Modelo de papel del octaedro.
KJM MacLean, un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
Los poliedros uniformes
Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
- Notación de Conway para poliedros Prueba: dP4

poliedros

Correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}