Lista de poliedros y compuestos multidimensionales regulares

Ejemplos de poliedros regulares

Polígonos regulares (2D)
convexo	estrellado
{5}	{5/2}
Poliedros 3D regulares
convexo	estrellado
{5,3}	{5/2.5}
Corregir mosaicos 2D
euclidiana	Hiperbólico
{4,4}	{5,4
Poliedros 4D regulares
convexo	estrellado
{5,3,3}	{5/2,5,3
Corregir mosaicos 3D
euclidiana	Hiperbólico
{4,3,4}	{5,3,4}

Esta página contiene una lista de politopos multidimensionales regulares (politopos) y conexiones regulares de estos politopos en espacios euclidianos , esféricos e hiperbólicos de diferentes dimensiones.

El símbolo de Schläfli describe cada mosaico regular del espacio n-esfera, euclidiano e hiperbólico. El símbolo de Schläfli para describir un poliedro n-dimensional también describe un mosaico de una esfera (n-1). Además, la simetría de un poliedro regular o mosaico se expresa como un grupo de Coxeter , que Coxeter denota de manera idéntica a los símbolos de Schläfli excepto por la delimitación entre corchetes, y esta notación se llama notación de Coxeter . Otro símbolo relacionado es el diagrama de Coxeter-Dynkin , que representa un grupo de simetría (sin nodos en un círculo) y politopos regulares o teselaciones con un primer nodo en un círculo. Por ejemplo, el cubo tiene el símbolo de Schläfli {4,3}, con su simetría octaédrica [4,3] o, está representado por el diagrama de Coxeter.

Los poliedros regulares se agrupan por dimensión y luego por forma: convexos, no convexos e infinitos. Las vistas no convexas usan los mismos vértices que las vistas convexas, pero tienen facetas que se cruzan (facetas de dimensión máxima = dimensiones del espacio - 1). Vistas infinitas teselan el espacio euclidiano en una dimensión menos.

Las formas infinitas se pueden extender a teselaciones espaciales hiperbólicas . El espacio hiperbólico es similar al espacio ordinario, pero las líneas paralelas divergen con la distancia. Esto permite que las figuras de vértices tengan defectos de esquina negativos . Por ejemplo, siete triángulos regulares que se encuentran en un plano pueden converger en un vértice. Esto no se puede hacer en el plano ordinario (euclidiano), pero se puede hacer a alguna escala en el plano hiperbólico.

Los politopos que satisfacen una definición más general y no tienen símbolos de Schläfli simples incluyen politopos oblicuos regulares y poliedros oblicuos regulares de ángulo infinito con facetas no planas o figuras de vértice .

Resumen

La tabla muestra un resumen de poliedros regulares por dimensiones.

	Final			euclidiana	Hiperbólico			Conexiones
Tamaño	convexo _	Charla de estrellas	oblicuo	convexo _	Compacto _	Charla de estrellas	Paracompacto _	convexo _	Charla de estrellas
una	una	0	0	una	0	0	0	0	0
2	∞	∞	∞	una	una	0	0	∞	∞
3	5	cuatro	?	3	∞	∞	∞	5	0
cuatro	6	diez	?	una	cuatro	0	once	26	veinte
5	3	0	?	3	5	cuatro	2	0	0
6	3	0	?	una	0	0	5	0	0
7	3	0	?	una	0	0	0	3	0
ocho	3	0	?	una	0	0	0	6	0
9+	3	0	?	una	0	0	0	*	0

* 1 si la dimensión es 2 k − 1; 2 si la dimensión es una potencia de dos; 0 de lo contrario.

No hay teselaciones regulares de estrellas en el espacio euclidiano de ninguna dimensión.

Espacio unidimensional

	El diagrama de Coxeter-Dynkin representa "planos" reflejados como nodos y coloca un círculo alrededor del nodo si el punto no se encuentra en el plano. Segmento , { },es el punto p y la imagen especular del punto p , así como el segmento entre ellos.

Un politopo unidimensional (1-politopo) es un segmento cerrado delimitado por dos puntos finales. Un politopo de 1 es regular por definición y se representa mediante un símbolo de Schläfli { } [1] [2] o un diagrama de Coxeter con un solo nodo en un círculo,. Norman Johnson les dio el nombre datale y el símbolo Schläfli { } [3] .

Siendo trivial como un poliedro, el daityl surge como bordes de polígonos y poliedros [4] . Se utiliza en la definición de prismas homogéneos (como en el símbolo de Schläfli { }×{p}) o en el diagrama de Coxetercomo producto directo de un segmento y un polígono regular [5] .

Espacio bidimensional (polígonos)

Los politopos bidimensionales se llaman polígonos . Los polígonos regulares tienen lados iguales y están inscritos en un círculo. Un p-ágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {p}.

Por lo general, solo los polígonos convexos se consideran regulares, pero los polígonos en estrella como un pentagrama también se pueden considerar regulares. Usan los mismos vértices que las formas convexas, pero se unen de manera diferente, donde el círculo se recorre más de una vez.

Los polígonos en estrella deben llamarse no convexos en lugar de cóncavos , ya que la intersección de los bordes no forma nuevos vértices y todos los vértices están en un círculo.

Abultado

El símbolo de Schläfli {p} representa un p - gon regular .

Nombre	Triángulo ( 2-simplex )	Cuadrado (2 - ortoplex ) ( 2 cubos )	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octágono
Schläfli	{3}	{cuatro}	{5}	{6}	{7}	{ocho}
Simetría	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D8 , [ 8 ]
coxeter
Imagen
Nombre	pentágono	Decágono	Endecágono	Dodecágono	Trece	tetradecágono
Schläfli	{9}	{diez}	{once}	{12}	{13}	{catorce}
Simetría	D9 , [ 9 ]	D10 , [ 10 ]	D 11 , [11]	D12 , [ 12 ]	D 13 , [13]	D14 , [ 14 ]
Dynkin
Imagen
Nombre	Pentágono	Hexágono	De diecisiete	octágono	Diecinueveagón	Dodecágono	... p-gon
Schläfli	{quince}	{dieciséis}	{17}	{Dieciocho}	{19}	{veinte}	{ pag }
Simetría	D15 , [ 15 ]	D16 , [ 16 ]	D17 , [ 17 ]	D18 , [ 18 ]	D19 , [ 19 ]	D20 , [ 20 ]	D p , [p]
Dynkin
Imagen

Esférico

El digon regular {2} puede considerarse un polígono regular degenerado . Puede existir como no degenerado en algunos espacios no euclidianos, como la superficie de una esfera o un toro .

Nombre	monógono	Grande en
Símbolo Schläfli	{una}	{2}
Simetría	D 1 , [ ]	D 2 , [2]
diagrama de coxeter	o
Imagen

Estrellas

Hay un número infinito de poliedros de estrellas regulares en el espacio 2D (es decir, polígonos) cuyos símbolos de Schläfli son números racionales { n / m }. Se llaman polígonos en estrella y tienen la misma disposición de vértices que un polígono convexo.

En general, para cualquier número natural n y para todo m tal que m < n /2 y m , n coprimos , existen estrellas regulares de n puntos con símbolos de Schläfli { n / m } (estrictamente hablando, { n / m }= { norte /( norte - metro ) } ) .

Nombre	Pentagrama	Heptagramas		Octagrama	Eneagramas		Decagrama	... n-gramas
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
Simetría	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D8 , [ 8 ]	D9 , [ 9 ],		D10 , [ 10 ]	Dp , [ pag ]
coxeter
Imagen

Polígonos regulares en estrella de hasta 20 lados

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Polígonos espaciales

En el espacio tridimensional, un polígono espacial regular [6] se denomina polígono antiprismático y tiene la misma disposición de vértices que la de un antiprisma , y sus aristas son un subconjunto de las aristas del antiprisma, conectando los vértices de los polígonos superior e inferior en zigzag.

Un ejemplo de un polígono espacial regular en zigzag

D 3d , [2 + ,6]	D4d , [ 2 + ,8]	D 5d , [2 + ,10]
Hexágono	Octágono	Decágono
{3}#{ }	{cuatro}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

En el espacio de 4 dimensiones, un polígono de espacio regular puede tener vértices en un toro de Clifford y está asociado con una rotación de Clifford . A diferencia de los polígonos 3D antiprismáticos, los polígonos 3D de doble rotación pueden tener un número impar de lados.

Se pueden ver en los polígonos de Petri de poliedros tetradimensionales regulares convexos , vistos como polígonos planos regulares de los perímetros de las proyecciones de Coxeter:

Pentágono	Octágono	Dodecágono	Tridecágono
cinco celdas	celda hexadecimal	veinticuatro celda	seiscientas celdas

Espacio tridimensional (poliedros)

En el espacio 3D, un poliedro regular con símbolo de Schläfli {p,q} y diagrama de Coxetertiene caras regulares de la forma {p} y una figura de vértice regular {q}.

Una figura de vértice (de un poliedro) es un polígono obtenido al unir vértices que están a una arista de distancia de un vértice dado. Para poliedros 3D regulares , esta figura de vértice es siempre un polígono regular (y plano).

La existencia de un poliedro regular {p,q} está limitada por la desigualdad relacionada con el defecto de esquina de la figura del vértice:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}

: poliedro (existe en el espacio tridimensional euclidiano)

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}

: Mosaico planar euclidiano

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}

: Mosaico del plano hiperbólico

Volviendo a numerar las permutaciones , encontramos 5 formas convexas, 4 formas de estrella y 3 mosaicos planos, todos con {p} y {q} polígonos de la lista: {3}, {4}, {5}, {5/2} y {6}.

Además de los mosaicos del espacio euclidiano, hay un número infinito de mosaicos hiperbólicos regulares.

Abultado

Los cinco poliedros regulares convexos se denominan sólidos platónicos . La forma del vértice se especifica junto con el número de vértices. Todos estos poliedros tienen la característica de Euler (χ) 2.

Nombre	Schlafli {p,q}	facetas {p}	costillas	vértices {q}	Simetría	Doble
Tetraedro ( 3-simplex )	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	Td [ 3,3 ] (*332)	(auto-dual)
Cubo hexagonal ( 3 cubos )	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	Oh [ 4,3 ] (*432)	Octaedro
Octaedro (3 -orthoplex )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	Oh [ 4,3 ] (*432)	Cubo
Dodecaedro	{5,3}	12 {5}	treinta	20 {3}	Yo h [5,3] (*532)	icosaedro
icosaedro	{3,5}	20 {3}	treinta	12 {5}	Yo h [5,3] (*532)	Dodecaedro

Esférico

En geometría esférica , hay poliedros esféricos regulares ( mosaicos en la esfera ) que son poliedros degenerados en el caso normal. Estos son los osoedros {2,n} y sus diedros duales { n,2}. Coxeter llama a estos casos teselaciones "impropias" [7] .

Los primeros ejemplos (n de 2 a 6) se dan a continuación.

Osohedra

Nombre	Schlafli {2,p}	Caras {2} π/p	costillas	Vértices {p}	Simetría	Doble
Osedro biangular	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Auto-dual
osedro triangular	{2,3}	3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3h [2,3] (*322)	diedro triangular
osedro cuadrado	{2,4}	4 {2} π/4	cuatro	2 {4}	D 4h [2,4] (*422)	diedro cuadrado
Osedro pentagonal	{2,5}	5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5h [2,5] (*522)	diedro pentagonal
oedro hexagonal	{2,6}	6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6h [2,6] (*622)	diedro hexagonal

diedro

Nombre	Schlafli {pág. 2}	facetas {p}	costillas	Vértices {2}	Simetría	Doble
diedro biangular	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2h [2,2] (*222)	Auto-dual
diedro triangular	{3,2}	2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3h [3,2] (*322)	osedro triangular
diedro cuadrado	{4,2}	2 {4}	cuatro	4 {2} π/4	D 4h [4,2] (*422)	osedro cuadrado
diedro pentagonal	{5,2}	2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5h [5,2] (*522)	Osedro pentagonal
diedro hexagonal	{6,2}	2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6h [6,2] (*622)	oedro hexagonal

También existen diedros y osoedros estelares, como {5/2,2} y {2,5/2}.

Estrellas

Los poliedros estrellados regulares se denominan sólidos de Kepler-Poinsot y hay cuatro. Se basan en la ubicación de los vértices dodecaedro {5,3} y el icosaedro {3,5}:

Al igual que los mosaicos esféricos , estas formas de estrellas se superponen a la esfera varias veces, lo que se denomina densidad . Para estas formas, la densidad es 3 o 7. Los dibujos de mosaicos muestran las caras de los polígonos esféricos individuales en amarillo.

Nombre	Schläfli {p, q} y Coxeter	facetas {p}	costillas	Vértices {q} Figura	x	Densidad [ es	Simetría	Doble
Pequeño dodecaedro estrellado	{5/2.5}	12 {5/2}	treinta	12 {5}	−6	3	Yo h [5,3] (*532)	gran dodecaedro
gran dodecaedro	{5.5/2}	12 {5}	treinta	12 {5/2}	−6	3	Yo h [5,3] (*532)	Pequeño dodecaedro estrellado
Gran dodecaedro estrellado	{5/2,3}	12 {5/2}	treinta	20 {3}	2	7	Yo h [5,3] (*532)	gran icosaedro
gran icosaedro	{3.5/2}	20 {3}	treinta	12 {5/2}	2	7	Yo h [5,3] (*532)	Gran dodecaedro estrellado

Poliedros sesgados

Un poliedro sesgado regular es una generalización del conjunto de politopos regulares, en el que se permite la no planaridad de las figuras de vértice .

Para poliedros sesgados de 4 dimensiones, Coxeter propuso un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n}, que tiene una figura de vértice {l,m}, m l-ágonos alrededor del vértice con n agujeros -gonales. Sus formas de vértice son polígonos espaciales que representan zigzags entre dos planos.

Para poliedros oblicuos regulares, representados por el símbolo {l,m|n}, la igualdad se cumple:

2*sen(π/l)*sen(π/m)=cos(π/n)

Cuatro de ellos se pueden ver en un espacio de 4 dimensiones como el conjunto de caras de cuatro 4 poliedros regulares que tienen la misma disposición de vértices y disposición de bordes :

{4, 6\| 3}	{6, 4\| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4\| 3}

Espacio de cuatro dimensiones

Los poliedros regulares de 4 dimensiones con el símbolo de Schläfli tienen celdas de vista, caras de vista , formas de borde y formas de vértice . ${\ estilo de visualización \ {p, q, r \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p, q \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p \}}$ ${\ estilo de visualización \ {r \}}$ ${\ estilo de visualización \ {q, r \}}$

Una figura de vértice (de un politopo de 4 dimensiones) es un politopo (de 3 dimensiones) formado por los vértices del politopo adyacentes a un vértice dado. Para 4 politopos regulares, esta figura de vértice es un politopo regular (tridimensional).
Una figura de borde es un polígono formado por caras adyacentes al borde. Para poliedros 4D regulares, la figura del borde siempre será un polígono regular.

La existencia de politopos regulares de cuatro dimensiones está limitada por la existencia de un politopo regular . Para poliedros de 4 dimensiones se propone utilizar el nombre "polychorus" [8] [9] ${\ estilo de visualización \ {p, q, r \}}$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\))$

Cada especie puede existir en un espacio dependiendo de la siguiente expresión:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\ pi {q}} \ derecho)

{\ estilo de visualización > 0}

: Panales tridimensionales hiperesféricos o poliedros de 4 dimensiones

{\ estilo de visualización = 0}

: Panal tridimensional euclidiano

{\ estilo de visualización <0}

: Panal tridimensional hiperbólico

Estas restricciones son válidas para 21 formas: 6 formas son convexas, 10 no son convexas, una es un panal tridimensional euclidiano y 4 es un panal hiperbólico.

La característica de Euler de un poliedro de cuatro dimensiones se calcula mediante la fórmula y es igual a cero para todos los tipos. $\ chi$ ${\ estilo de visualización \ chi = V + FEC}$

Abultado

Los 6 poliedros 4D regulares convexos se muestran en la siguiente tabla. Todos estos poliedros tienen característica de Euler (χ) 0.

Nombre	Schlafli {p, q, r}	Celdas {p,q}	facetas {p}	costilla {r}	Vértices {q,r}	Doble {r,q,p}
Cinco celdas ( 4 simples )	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(auto-dual)
Teseracto ( 4 cubos )	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	celda hexadecimal
Dieciséis celdas (4 -orthoplex )	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	teseracto
veinticuatro celda	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(auto-dual)
120 celdas	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 celdas
600 celdas	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3.5}	120 celdas

cinco celdas	teseracto	Dieciséis celdas	Veinticuatro celdas	120 celdas	600 celdas
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Estructura alámbrica ( polígono de Petri ) en proyección ortogonal oblicua

proyección ortogonal
Capa tetraédrica ( célula/vértice centrado )	Capa cúbica (centrada en la celda)	Capa cúbica (centrada en la celda)	Capa cuboctaédrica ( centrada en la celda)	Capa rombotriacontaédrica truncada ( centrada en la celda )	Pentakiikosi - caparazón dodecaédrico (centrado en el vértice)
Diagramas de Schlegel ( proyección en perspectiva )
(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(centrado en la celda)	(arriba centrado)
Marco de proyección estereográfica ( hiperesférica )

Esférico

Los diedros y osoedros de 4 dimensiones existen como mosaicos regulares de las 3 esferas .

Los diedros regulares de 4 dimensiones (2 facetas = caras de 3 dimensiones) incluyen: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} y sus osoedros duales de 4 dimensiones (2 vértices): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Los poliedros de la forma {2,p,2} son tanto diedros como osoedros de 4 dimensiones. También hay formas {p,2,q} que tienen celdas diédricas y figuras de vértices osédricos.

Osedro regular de 4 dimensiones como un panal en una esfera de 3

Schlafli {2,p,q}	Celdas {2,p} π/q	Caras {2} π/p,π/q	costillas	picos	Figura de vértice {p, q}	Simetría	Doble
{2,3,3}	4 {2,3} π/3	6 {2} π/3, π/3	cuatro	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4} π/3	12 {2} π/4, π/3	ocho	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}	8 {2,3} π/4	12 {2} π/3, π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5} π/3	30 {2} π/5, π/3	veinte	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3} π/5	30 {2} π/3, π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Estrellas

Hay diez poliedros en estrella regulares de 4 dimensiones , que se denominan politopos de Schläfli-Hess . Sus vértices están ubicados en una celda convexa de 120 { 5,3,3 } y una celda de seiscientos {3,3,5} .

Ludwig Schläfli encontró cuatro de ellos y descartó los seis restantes porque no permitía la violación de la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) completó la lista en su libro Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [3] , 1883) (Una introducción a la doctrina de teselar un esfera teniendo en cuenta la teoría de los poliedros isoédricos y equiángulos) .

Hay 4 arreglos de aristas y 7 arreglos de caras en estos 10 poliedros 4D estrellados regulares, que se muestran como proyecciones ortogonales :

Nombre	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celdas {p, q}	facetas {p}	costilla {r}	Vértices {q, r}	Densidad [ es	x	grupo de simetría	Doble {r, q, p}
Icosaédrico de 120 celdas (600 celdas facetadas)	{3,5,5/2}	120 {3.5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	cuatro	480	H 4 [5,3,3]	Pequeño estrellado de 120 celdas
Pequeño estrellado de 120 celdas	{5/2,5,3}	120 {5/2.5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	cuatro	−480	H 4 [5,3,3]	Icosaédrico de 120 celdas
Celda grande 120	{5.5/2.5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2.5}	6	0	H 4 [5,3,3]	auto-dual
Gran 120 celdas	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	veinte	0	H 4 [5,3,3]	Gran estrellado de 120 celdas
Gran estrellado de 120 celdas	{5/2,3,5}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3.5}	veinte	0	H 4 [5,3,3]	Gran 120 celdas
Gran estrellado de 120 celdas	{5/2,5,5/2}	120 {5/2.5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H 4 [5,3,3]	auto-dual
Gran gran 120 celdas	{5.5/2.3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2.3}	76	−480	H 4 [5,3,3]	Gran icosaédrico de 120 celdas
Gran icosaédrico de 120 celdas (gran facetado de 600 celdas)	{3.5/2.5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2.5}	76	480	H 4 [5,3,3]	Gran gran 120 celdas
Gran celda 600	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H 4 [5,3,3]	Gran gran estrellado de 120 celdas
Gran gran 120 celdas	{5/2,3,3}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H 4 [5,3,3]	Gran celda 600

Hay 4 permutaciones de estrellas regulares fallidas de politopos: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Sus celdas y figuras de vértices existen, pero no cubren la hiperesfera con un número finito de representaciones.

Dimensión cinco y superior

En el espacio de cinco dimensiones , los politopos regulares se pueden denotar como , donde es un tipo de 4 caras, es un tipo de celda, es un tipo de 2 caras, es una figura de cara, es una figura de borde y es un vértice figura. ${\ estilo de visualización \ {p, q, r, s \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p, q, r \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p, q \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p \}}$ ${\ estilo de visualización \ {s \}}$ ${\ estilo de visualización \ {r, s \}}$ ${\ estilo de visualización \ {q, r, s \}}$

Una figura de vértice (de un politopo de 5 dimensiones) es un politopo de 4 dimensiones formado por los vértices adyacentes al vértice dado. Una figura de arista (de un poliedro de 5 dimensiones) es un poliedro formado por caras alrededor de cada arista. La forma de la cara (poliedro de 5 dimensiones) es un poliedro formado por celdas alrededor de cada cara.

Un 5-politopo regular existe solo si y son 4-politopos regulares. ${\ estilo de visualización \ {p, q, r, s \}}$ ${\ estilo de visualización \ {p, q, r \}}$ ${\ estilo de visualización \ {q, r, s \}}$

Dependiendo del valor

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q))\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p }}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac { \pi }{s}}\right)}}

obtener el tipo de espacio

{\ estilo de visualización <1}

: Mosaico esférico 4D o poliedro 5D

{\ estilo de visualización = 1}

: Mosaico euclidiano de 4 dimensiones

{\ estilo de visualización> 1}

: Mosaico 4D hiperbólico

A partir de estas restricciones, obtenemos 3 poliedros convexos, cero politopos no convexos, 3 mosaicos de 4 dimensiones y 5 mosaicos hiperbólicos de 4 dimensiones. No hay poliedros regulares no convexos en 5D y superiores.

Abultado

En las dimensiones 5 y superiores, solo hay tres tipos de poliedros regulares convexos [10] .

Nombre	Símbolo de Schläfli { p 1 ,...,p n −1 }	coxeter	k -caras	Tipo de faceta	figura de vértice	Doble
n -simple	{ 3n− 1 }	...		{ 3n −2 }	{ 3n −2 }	Auto-dual
n -cubo	{4,3n - 2 }	...	${\displaystyle 2^{nk}{n \elegir k))$	{4,3n - 3 }	{ 3n −2 }	n -ortoplex
n - ortoplex	{ 3n − 2,4 }	...	$2^{k+1}{n \elegir {k+1}}$	{ 3n −2 }	{ 3n − 3,4 }	n -cubo

También hay casos impropios en los que algunos números en el símbolo de Schläfli son iguales a 2. Por ejemplo, {p,q,r,...2} es un politopo esférico regular impropio en el caso {p,q,r... } es un politopo esférico regular, y {2,...p,q,r} es un politopo esférico regular impropio cuando {...p,q,r} es un politopo esférico regular. Dichos poliedros se pueden usar como facetas dando formas de la forma {p,q,...2...y,z}.

Espacios de cinco dimensiones

Nombre	Símbolo de Schläfli { p,q,r,s} Coxeter	Número de facetas (cuatro caras dimensionales) {p,q,r}	Células ( caras 3D ) {p,q}	Caras (2D) {p}	costillas	picos	forma de la cara {s}	Figura de borde {r,s}	Figura de vértice {q,r,s}
Hexateron	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	quince	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
penteract	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ortoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	diez	{cuatro}	{3,4}	{3,3,4}

Hexateron	penteract	5-ortoplex

Espacio de seis dimensiones

Nombre	Schläfli	picos	costillas	Facetas (2D)	Células (3D)	caras 4D	caras 5D
6-simple	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
hexadecimal	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-orthoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

símplex de 6 dimensiones	hexadecimal	ortoplex de 6 dimensiones

Espacio de siete dimensiones

Nombre	Schläfli	picos	costillas	Facetas (2D)	Células (3D)	caras 4D	caras 5D	caras 6D	x
7-simple	{3,3,3,3,3,3}	ocho	28	56	70	56	28	ocho	2
Hepteracto	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	catorce	2
7-orthoplex	{3,3,3,3,3,4}	catorce	84	280	560	672	448	128	2

7-simple	Hepteracto	7-orthoplex

Espacio de ocho dimensiones

Nombre	Schläfli	picos	costillas	Facetas (2D)	Células (3D)	caras 4D	caras 5D	caras 6D	caras 7D
8-simple	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
octeracto	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	dieciséis
8-orthoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	dieciséis	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simple	octeracto	8-orthoplex

Espacio de nueve dimensiones

Nombre	Schläfli	picos	costillas	Facetas (2D)	Células (3D)	caras 4D	caras 5D	caras 6D	caras 7D	caras 8D	x
9-simple	{3 8 }	diez	45	120	210	252	210	120	45	diez	2
Entrar en acción	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	Dieciocho	2
9-orthoplex	{3 7 ,4}	Dieciocho	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simple	Entrar en acción	9-orthoplex

Espacio de diez dimensiones

Nombre	Schläfli	picos	costillas	Facetas (2D)	Células (3D)	caras 4D	caras 5D	caras 6D	caras 7D	caras 8D	caras 9D
10-simple	{ 39 }	once	55	165	330	462	462	330	165	55	once
desacreditar	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	veinte
10-orthoplex	{3 8 ,4}	veinte	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simple	desacreditar	10-orthoplex

...

No convexo

No hay poliedros regulares no convexos de dimensiones 5 o superiores.

Poliedros proyectivos regulares

Existe un politopo proyectivo regular ( n + 1) si el mosaico n esférico regular original {p,q,...} es centralmente simétrico . Estos poliedros se denominan semi-{p,q,...} y contienen la mitad de elementos. Coxeter les asigna el símbolo {p,q,...}/2, mientras que McMullen escribe {p,q,...} h/2 , donde h es el número de Coxeter . [once]

Los polígonos regulares con un número par de lados tienen polígonos proyectivos semi - 2n -gonales, {2p}/2.

Hay 4 politopos proyectivos regulares , correspondientes a 4 de los 5 sólidos platónicos .

El semicubo y el semioctaedro se generalizan a semi- n -cubos y semi - n - ortoplexos en cualquier dimensión.

Poliedros proyectivos regulares en espacio 3D

Hemipolitopos regulares tridimensionales

Nombre	coxeter mcmullen	caras	Bordes	vértices	x
Medio cubo	{4,3}/2 {4,3} 3	3	6	cuatro	una
Semioctaedro	{3,4}/2 {3,4} 3	cuatro	6	3	una
semidodecaedro	{5.3}/2 {5.3} 5	6	quince	diez	una
semiicosaedro	{3,5}/2 {3,5} 5	diez	quince	6	una

Poliedros proyectivos regulares en cuatro dimensiones

En un espacio de 4 dimensiones, 5 de los 6 poliedros regulares convexos forman 4 politopos proyectivos. Los 3 casos especiales son la mitad de veinticuatro celdas, la mitad de seiscientas celdas y la mitad de ciento veinte celdas.

¡Semipolitopos regulares de 4 dimensiones! símbolo
de coxeter símbolo
de McMullen células caras costillas picos x

semi teseracto	{4,3,3}/2	{4,3,3} 4	cuatro	12	dieciséis	ocho
celda semi dieciséis	{3,3,4}/2	{3,3,4} 4	ocho	dieciséis	12	cuatro
celda semi veinticuatro	{3,4,3}/2	{3,4,3} 6	12	48	48	12
celda semi 120	{5,3,3}/2	{5,3,3} 15	60	360	600	300
semi seiscientos celular	{3,3,5}/2	{3,3,5} 15	300	600	360	60

Politopos proyectivos regulares en espacio de cinco dimensiones

Solo hay 2 semipolitopos proyectivos regulares convexos en espacios de dimensión 5 y superiores.

Nombre	Schläfli	caras 4D	Células (3D)	Facetas (2D)	costillas	picos	x
semi penteracto	{4,3,3,3}/2	5	veinte	40	40	dieciséis	una
semi pentacross	{3,3,3,4}/2	dieciséis	40	40	veinte	5	una

Infinitesimales

Infinite es unpoliedrocon un número infinito de facetas. Un tope nes un topen-dimensional: 2-tope-infinito = infinito-gon (apeirogon), 3-tope-infinito = infinito-tope en el espacio 3D, etc.

Hay dos clases geométricas principales de infinitetopos: [12]

Panales regulares en el espacio n -dimensional, llenando completamente el espacio n -dimensional.
Infinitopos sesgados regulares que contienen variedades n -dimensionales en espacios superiores.

Espacio unidimensional (infinitos)

Un apeirogon directo es un mosaico regular de una línea recta con su división en infinitos segmentos iguales. Tiene infinitos vértices y aristas. Su símbolo de Schläfli es {∞} y su diagrama de Coxeter es.

... ...

Los apeirogons en el plano hiperbólico , entre los cuales el apeirogon regular {∞} es el más notable, pueden tener curvatura, como polígonos finitos en el plano euclidiano, y tener vértices que se encuentran en horociclos o hiperciclos .

Los apeirogons regulares con convergencia en el infinito tienen el símbolo {∞} y existen en los horociclos, aunque en general pueden existir en los hiperciclos.

{∞}	{πi/λ}
Infinito en un horociclo	Infinito en un hiperciclo

Arriba se muestran dos apeirogons hiperbólicos en un disco de Poincaré . La figura de la derecha muestra líneas perpendiculares que separan las regiones fundamentales separadas por una distancia λ entre sí.

Infinitos espaciales

Los apeirogons oblicuos en el espacio bidimensional (plano) forman un zigzag. Si el zigzag es simétrico y uniforme, el apeirogon es correcto.

Los apeirogons oblicuos se pueden construir en un espacio de cualquier dimensión. En el espacio tridimensional, los apeirogons oblicuos forman una espiral y pueden estar a la izquierda o a la derecha.

espacio bidimensional	espacio 3D
Apeirogon en forma de zigzag	apeirogon espiral

Espacio bidimensional (infinitos)

Teselaciones euclidianas

Hay tres mosaicos regulares del plano. Los tres tienen característica de Euler (χ) 0.

Nombre	Mosaico cuadrado (cuadrilla)	Mosaico triangular (deltatil)	Parquet hexagonal (hexatile)
Simetría	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schlafli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Gráfico de Coxeter
Imagen

Hay dos teselaciones regulares impropias: {∞,2}, un diedro de ángulo infinito , obtenido a partir de dos apeirógonos , cada uno de los cuales llena un semiplano, y su teselación dual {2,∞}, un osedro de ángulo infinito , que se puede representar como un número infinito de líneas paralelas.

{∞,2} ,	{2,∞} ,

Teselaciones de estrellas euclidianas

No hay mosaicos regulares del plano por polígonos de estrella . Hay infinitos pares de números para los que se cumple la condición de mosaico plano (1/ p + 1/ q = 1/2), por ejemplo, {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, etc., pero ninguna de estas estrellas es adecuada para mosaicos.

Teselaciones hiperbólicas

Los mosaicos de un espacio bidimensional hiperbólico son mosaicos hiperbólicos . Hay infinitas teselaciones regulares en H 2 . Como se indicó anteriormente, cualquier par positivo { p , q } tal que 1/ p + 1/ q < 1/2 da un mosaico hiperbólico. De hecho, para el triángulo general de Schwartz ( p , q , r ) lo mismo es cierto para 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

Hay muchas formas diferentes de representar el plano hiperbólico, incluido el modelo de disco de Poincaré , que asigna el plano a un disco, como se muestra a continuación. Todas las caras poligonales del mosaico deben tratarse como equiláteros, y los polígonos se hacen más pequeños a medida que se acerca al borde del disco debido a la proyección, que es similar al efecto de una cámara de ojo de pez .

Hay un número infinito de 3 topos infinitos planos regulares como mosaicos regulares del plano hiperbólico de la forma {p,q}, donde p+q<pq/2.

{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Ejemplos:

Teselaciones esféricas (platónicas) / euclidianas / hiperbólicas (disco de Poincaré: compactas / paracompactas / no compactas ) con sus símbolos de Schläfli
pq	3	cuatro	5	6	7	ocho	...	∞	...	iπ/λ
3	( tetraedro ) {3,3}	( octaedro ) {3,4}	( icosaedro ) {3,5}	( mosaico delta ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
cuatro	( cubo ) {4,3}	( cuadrilla ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	( dodecaedro ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	( hexatil ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
ocho	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}		{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{ip/λ,3}	{ip/λ,4}	{ip/λ,5}	{ip/λ,6}	{ip/λ,7}	{ip/λ,8}		{iπ/λ,∞}		{iπ/λ,iπ/λ}

Teselaciones de estrellas hiperbólicas

Hay dos tipos infinitos de mosaicos hiperbólicos cuyas caras o figuras de vértices son polígonos en estrella — { m /2, m } y sus duales { m , m /2} con m = 7, 9, 11, .... Mosaicos { m / 2, m } son estelaciones de { m , 3} mosaicos, mientras que dual mosaicos { m , m /2} son facetas de {3, m } mosaicos y aumentos { m , 3} mosaicos.

Los esquemas { m /2, m } y { m , m / 2} continúan para m impar < 7 como poliedros : si m = 5, obtenemos un dodecaedro estrellado pequeño y un dodecaedro grande , y con m = 3 obtenemos un tetraedro _ Los otros dos sólidos de Kepler-Poinsot ( gran dodecaedro estrellado y gran icosaedro ) no tienen análogos en teselaciones hiperbólicas regulares. Si m es par, dependiendo de cómo elijamos la definición de { m /2}, podemos obtener una cubierta degenerada de otro mosaico o una unión de mosaicos.

Nombre	Schläfli	tipo de cara {p}	Figura de vértice {q}	Densidad [ es	Simetría	doble
Teselado heptagonal de orden 7	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Mosaico de heptagrama heptagonal
Mosaico de heptagrama heptagonal	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Mosaico de heptagrama de orden 7
Eneagrama Mosaico de Orden 9	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Mosaico de nueve lados del Eneagrama
Mosaico de nueve lados del Eneagrama	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Orden 9 Eneagrama mosaico de nueve lados
Genecagram mosaico de orden 11	{11/2,11}	{11/2}	{once}	3	*11.3.2 [11.3]	Mosaico de hendecagrama Mosaico de once ángulos
Mosaico de hendecagrama Mosaico de once ángulos	{11,11/2}	{once}	{11/2}	3	*11.3.2 [11.3]	Genecagram mosaico de orden 11
p - gramo de mosaico de orden p	{ pag /2, pag }	{ p / 2}	{ pag }	3	* pág . 32 [pág. 3]	p - gramo p - baldosas de carbón
Mosaico de p -grama Mosaico de p -ángulo	{ pag , pag / 2}	{ pag }	{ p / 2}	3	* pág . 32 [pág. 3]	mosaico de p -gramas de orden p

Sesgar infinitos en espacio tridimensional euclidiano

Hay tres infinitos sesgados regulares en el espacio 3D euclidiano con un polígono espacial regular como figuras de vértice [13] [14] [15] . Tienen la misma disposición de vértices y disposición de bordes que 3 panales uniformes convexos .

6 cuadrados alrededor de cada vértice: {4,6|4}
4 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,4|4}
6 hexágonos alrededor de cada vértice: {6,6|3}

Polígono oblicuo regular
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}

Hay treinta infinitos regulares en el espacio tridimensional euclidiano [17] . Incluyen tanto los enumerados anteriormente como otros 8 infinitos "puros". Todos ellos están asociados con panales cúbicos {4,3,4}. El resto tiene caras poligonales espaciales: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6,4 , {∞,6} 4,4 y {∞,6} 6,3 .

Infinitos oblicuos en el espacio 3D hiperbólico

Hay 31 infinitos oblicuos regulares en el espacio tridimensional hiperbólico [18] :

14 compactos: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5} , {10,6|3}, {6 ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3}, {6,6|5}, {8,6|3} y {6,8|3}.
17 paracompacto: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6} , {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12.8|3}, {8.12|3} y {8.8|4}.

Teselaciones del espacio tridimensional euclidiano
Solo hay un mosaico regular no degenerado del espacio tridimensional ( panal ), {4, 3, 4} [19] :

Nombre Schlafli
{p, q, r} coxeter
Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p}
Figura de borde
{r}
Figura de vértice
{q,r} x Doble

panal cúbico {4,3,4} {4,3} {cuatro} {cuatro} {3,4} 0 Auto-dual
Embaldosados inadecuados del espacio tridimensional euclidiano
Hay seis teselaciones regulares impropias, por pares basadas en tres teselaciones euclidianas regulares. Sus celdas y figuras de vértices son teselaciones regulares { 2,n} osoedros , {n,2} diedros y euclidianas. Estas teselaciones regulares impropias están estructuralmente relacionadas con panales uniformes prismáticos por la operación de truncamiento. Son contrapartes de alta dimensión del mosaico de ángulo infinito de orden 2 [en y el osedro de ángulo infinito .

Schlafli
{p, q, r} Gráfico de
Coxeter Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p}
Figura de borde
{r}
Figura de vértice
{q,r}

{2,4,4 {2,4} {2} {cuatro} {4,4}

{2,3,6 {2,3} {2} {6} {3,6}

{2,6,3} {2,6} {2} {3} {6,3}

{4,4,2} {4,4} {cuatro} {2} {4,2}

{3,6,2} {3,6} {3} {2} {6,2}

{6,3,2} {6,3} {6} {2} {3,2}
Teselaciones del espacio tridimensional hiperbólico

4 peines regulares compactos

{5,3,4}
{5,3,5

{4,3,5
{3,5,3

4 de 11 peines regulares paracompactos

{3,4,4}
{3,6,3

{4,4,3}
{4,4,4}

Hay diez panales regulares planos en un espacio tridimensional hiperbólico [20] ( enumerados arriba como mosaicos):

4 compactos: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} y {5,3,5}

6 paracompactos: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}.

Los mosaicos de 3 espacios hiperbólicos pueden llamarse panales hiperbólicos . Hay 15 panales hiperbólicos en H 3 , 4 compactos y 11 paracompactos.

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r} coxeter
Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p}
Figura de borde
{r}
Figura de vértice
{q,r} x Doble

Panales icosaédricos {3,5,3} {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Auto-dual

Panales cúbicos orden 5 {4,3,5} {4,3} {cuatro} {5} {3,5} 0 {5,3,4}

Orden 4 panal dodecaédrico {5,3,4} {5,3} {5} {cuatro} {3,4} 0 {4,3,5}

Nido de abeja dodecaédrico orden 5 {5,3,5} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Auto-dual

También hay 11 panales paracompactos H 3 (con infinitas celdas (euclidianas) y/o figuras de vértice): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } y {6,3,6}.

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r} coxeter
Tipo
de celda
{p,q}
borde de Tpi
{p}
Figura de borde
{r}
Figura de vértice
{q,r} x Doble

Panales tetraédricos de orden 6 {3,3,6} {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}

Panales de mosaico hexagonal {6,3,3} {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}

Orden 4 nido de abeja octaédrico {3,4,4} {3,4} {3} {cuatro} {4,4} 0 {4,4,3}

Panales de mosaico cuadrados {4,4,3} {4,4} {cuatro} {3} {4,3} 0 {3,3,4}

Panales de mosaico triangulares {3,6,3} {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Auto-dual

Panales cúbicos orden 6 {4,3,6} {4,3} {cuatro} {cuatro} {3,4} 0 {6,3,4}

Orden 4 Panales de Mosaico Hexagonales {6,3,4} {6,3} {6} {cuatro} {3,4} 0 {4,3,6}

Mosaico cuadrado panales pedido 4 {4,4,4} {4,4} {cuatro} {cuatro} {4,4} 0 {4,4,4}

Nido de abeja dodecaédrico orden 6 {5,3,6} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}

Mosaico hexagonal nido de abeja pedido 5 {6,3,5} {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}

Panales mosaico hexagonal orden 6 {6,3,6} {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Auto-dual

Las soluciones no compactas existen como grupos de Lorentzian Coxeter y se pueden visualizar con un área abierta en el espacio hiperbólico (un tetraedro fundamental con algunas partes inalcanzables debido al infinito), y algunas se dibujan a continuación mostrando su intersección con el plano. Todos los panales que no se muestran en las tablas y que no tienen un 2 en su símbolo Schläfli son no compactos.
Panales esféricos / euclidianos / hiperbólicos ( compactos / paracompactos / no compactos ) {p,3,r}

p\r 3 cuatro 5 6 7 ocho ...∞

3

{3,3,3}

{3,3,4}

{3,3,5}

{3,3,6}

{3,3,7}

{3,3,8}

{3,3,∞}

cuatro

{4,3,3}

{4,3,4}

{4,3,5}

{4,3,6}

{4,3,7}

{4,3,8}

{4,3,∞}

5

{5,3,3}

{5,3,4}

{5,3,5}

{5,3,6}

{5,3,7}

{5,3,8}

{5,3,∞}

6

{6,3,3}

{6,3,4}

{6,3,5}

{6,3,6}

{6,3,7}

{6,3,8}

{6,3,∞}

7

{7,3,3}
{7,3,4}
{7,3,5}
{7,3,6}
{7,3,7}
{7,3,8}
{7,3,∞}

ocho
{8,3,3}
{8,3,4}
{8,3,5}
{8,3,6}
{8,3,7}
{8,3,8}
{8,3,∞}

... ∞
{∞,3,3}
{∞,3,4}
{∞,3,5}
{∞,3,6}
{∞,3,7}
{∞,3,8}
{∞,3,∞}

q = 4 q = 5 q = 6

p\r 3 cuatro 5

3

{3,4,3}

{3,4,4}

{3,4,5}

cuatro

{4,4,3}

{4,4,4}

{4,4,5}

5

{5,4,3}

{5,4,4}

{5,4,5}

p\r 3 cuatro

3

{3,5,3}

{3,5,4}

cuatro

{4,5,3}

{4,5,4}

5

{5,5,3}

{5,5,4}

p\r 3 cuatro

3

{3,6,3}

{3,6,4}

cuatro

{4,6,3}

{4,6,4}

5

{5,6,3}

{5,6,4}

No hay panales estrellados hiperbólicos en H 3 : todas las formas con un poliedro estrellado regular como celda, figura de vértice o ambas resultan ser esféricas.

Espacio de cuatro dimensiones (5-infinite-hedra)
Teselaciones euclidianas del espacio de 4 dimensiones
Hay tres tipos de infinitos regulares ( panales de abeja ) que pueden llenar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones:

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r, s} Tipo de
faceta
{p, q, r} Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p} forma de la
cara
{s}
Figura de borde
{r,s}
Figura de vértice
{q,r,s} Doble

Panales de Tesseract {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {cuatro} {cuatro} {3,4} {3,3,4} Auto-dual

panal de 16 celdas {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}

Panal de veinticuatro celdas {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

Fragmento de panal proyectado {4,3,3,4}
(panal de Tesseract)
Fragmento celular proyectado {3,3,4,3}
(panal de dieciséis células)
Fragmento celular proyectado {3,4,3,3}
(panal de abeja de 24 células)

También hay dos casos impropios, {4,3,4,2} y {2,4,3,4}. Hay tres tipos planos regulares de panales en el espacio euclidiano de 4 dimensiones: [19]

{4,3,3,4}, {3,3,4,3} y {3,4,3,3}.

Hay siete panales convexos regulares planos en un espacio hiperbólico de 4 dimensiones: [20]

5 compactos: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}

2 paracompactos: {3,4,3,4} y {4,3,4,3}.

Hay cuatro tipos de estrellas regulares planas de panales en el espacio hiperbólico de 4 dimensiones: [20]

{5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} y {5.5/2.5.3}.
Teselaciones de 4 espacios hiperbólicos
Hay siete panales regulares convexos y cuatro panales en forma de estrella en el espacio H 4 [21] . Cinco tipos convexos son compactos y dos son paracompactos.
Cinco panales regulares compactos en H 4 :

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r, s} Tipo de
faceta
{p, q, r} Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p} forma de la
cara
{s}
Figura de borde
{r,s}
Figura de vértice
{q,r,s} Doble

Nido de abeja de cinco celdas orden 5 {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}

panales de 120 celdas {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}

Tesseract panales pedido 5 {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {cuatro} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}

120 celdas orden 4 celdas {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {cuatro} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}

120 celda orden 5 panales {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Auto-dual

Dos tipos de panales regulares paracompactos regulares en H 4 : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r, s} Tipo de
faceta
{p, q, r} Tipo
de celda
{p,q} tipo de
cara
{p} forma de la
cara
{s}
Figura de borde
{r,s}
Figura de vértice
{q,r,s} Doble

24 celdas orden 4 celdas {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {cuatro} {3,4} {4,3,4} {4,3,4,3}

Panal cúbico {4,3,4,3} {4,3,4} {4,3} {cuatro} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Las soluciones no compactas existen como grupos de Lorentzian Coxeter y se pueden visualizar usando un área abierta en el espacio hiperbólico (una celda fundamental de cinco con algunas partes inalcanzables debido al infinito). Todos los panales que no se muestran en las tablas y que no tienen un 2 en su símbolo Schläfli son no compactos.
Panales esféricos / euclidianos / hiperbólicos ( compactos / paracompactos / no compactos ) {p,q,r,s}

q=3, s=3
p\r 3 cuatro 5

3
{3,3,3,3}

{3,3,4,3}

{3,3,5,3}

cuatro
{4,3,3,3}

{4,3,4,3}

{4,3,5,3}

5
{5,3,3,3}

{5,3,4,3}

{5,3,5,3}

q=3, s=4
p\r 3 cuatro

3
{3,3,3,4}

{3,3,4,4}

cuatro
{4,3,3,4}

{4,3,4,4}

5
{5,3,3,4}

{5,3,4,4}

q=3, s=5
p\r 3 cuatro

3 {3,3,3,5}

{3,3,4,5}

cuatro {4,3,3,5}

{4,3,4,5}

5
{5,3,3,5}

{5,3,4,5}

q=4, s=3
p\r 3 cuatro

3
{3,4,3,3}

{3,4,4,3}

cuatro
{4,4,3,3}

{4,3,4,3}

q=4, s=4
p\r 3 cuatro

3 {3,4,3,4}

{3,4,4,4}

cuatro
{4,4,3,4}

{4,4,4,4}

q=4, s=5
p\r 3 cuatro

3 {3,4,3,5}

{3,4,4,5}

cuatro
{4,4,3,5}

{4,4,4,5}

Mosaicos estelares de 4 espacios hiperbólicos
Hay cuatro tipos de panales estrellados regulares en el espacio H 4 :

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r, s} Tipo de
faceta
{p, q, r} tipo de celda
tipo
{p,q} tipo de
cara
{p} forma de la
cara
{s}
Figura de borde
{r,s}
Figura de vértice
{q,r,s} Doble Densidad
_

Panal de una pequeña celda estrellada de 120 {5/2,5,3,3} {5/2,5,3 {5/2.5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5

Orden de pentagrama de 600 celdas {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5.5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5

Nido de abeja icosaédrico de 120 celdas orden 5 {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2.5} {5.5/2.5} {5.5/2.5.3} diez

Panales de una gran celda de 120 {5.5/2.5.3} {5.5/2.5} {5.5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} diez

Espacio de cinco dimensiones (6 poliedros de ángulo infinito)

Solo hay un panal regular plano en el espacio euclidiano de 5: ( enumerado arriba como mosaicos) [19]

{4,3,3,3,4}

Hay cinco panales regulares planos en 5 espacios hiperbólicos, todos paracompactos: ( enumerados arriba como mosaicos) [20]

{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} y {4 ,3,3,4,3}
Un teselado de un espacio euclidiano de cinco
El panal hipercúbico es la única familia de panales regulares que pueden teselar un espacio de cualquier dimensión (cinco o más) formado por facetas de hipercubo , cuatro alrededor de cada cara (n-2) dimensional.

Nombre Schläfli
{ pags 1 , pags 2 , ..., pags norte −1 } Tipo
de faceta
figura de vértice Doble

Parquet cuadrado {4,4} {cuatro} {cuatro}
Auto- dual

panal cúbico {4,3,4} {4,3} {3,4}
Auto - dual

Panales de Tesseract {4,3 2 ,4} {4,3 2 } {3 2 ,4}
Auto - dual

Panal de 5 cubos {4,3 3 ,4} {4,3 3 } {3 3 ,4}
Auto - dual

Panal de 6 cubos {4,3 4 ,4} {4,3 4 } {3 4 ,4}
Auto - dual

Panales de 7 cubos {4,3 5 ,4} {4,3 5 } {3 5 ,4}
Auto - dual

Panales de 8 cubos {4,3 6 ,4} {4,3 6 } {3 6 ,4}
Auto - dual

panales hipercúbicos n -dimensionales {4,3n - 2,4 } {4,3n −2 } { 3n−2 ,4}
Auto - dual

En E 5 también hay casos impropios {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} y {2,3,4,3,3}. En E n , {4,3 n−3 ,4,2} y {2,4,3 n−3 ,4} son siempre teselaciones euclidianas impropias.
Mosaicos del espacio hiperbólico de 5 dimensiones
Hay 5 tipos regulares de panal en H 5 , todos paracompactos. Incluyen facetas infinitas (euclidianas) o formas de vértices: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} y {4,3,3,4,3}.
Hay dos mosaicos regulares no compactos en un espacio hiperbólico de dimensión 5 o más, y no hay mosaicos regulares paracompactos en un espacio hiperbólico de dimensión 6 o más.

Nombre
Símbolo de Schläfli {
p, q, r, s, t} Tipo de
faceta
{p,q,r,s}
tipo de 4 caras
{p, q, r}
tipo de celda
{p, q}
tipo de rostro
{p}
figura de celda
{t} cara
figura
{s,t}
figura de borde
{r,s,t}
Figura de vértice
{q,r,s,t} Doble

panal de abeja 5-orthoplex {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}

Panales de veinticuatro celdas {3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}

panal de 16 celdas {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3}
Auto - dual

24 celdas orden 4 celdas {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {cuatro} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4 {4,3,3,4,3}

Panales de Tesseract {4,3,3,4,3} {4,3,3,4 {4,3,3} {4,3} {cuatro} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Dado que no hay n -politopos estrellados regulares para n ≥ 5 que podrían ser células potenciales o figuras de vértices, no hay más panales estrellados hiperbólicos en H n para n ≥ 5.

Dimensión 6 y superior (infinito+ de 7 dimensiones)
Mosaicos de espacio hiperbólico de 6 dimensiones y superiores
No hay mosaicos compactos o paracompactos apropiados de un espacio hiperbólico de dimensión 6 o superior. Todos los valores enteros no enumerados dan un mosaico no compacto de un espacio n -dimensional hiperbólico.

Compuestos de poliedros

Conexiones 2D

Para cualquier número natural n, existe un polígono de estrella regular de n vértices con el símbolo de Schläfli {n/m} para cualquier m < n/2 (estrictamente hablando, {n/m}={n/(n−m)} ), donde m y n son primos relativos . Si m y n no son primos relativos, el polígono resultante tendrá n / m lados. Se obtiene una nueva figura rotando estos n / m -ágonos por un vértice (hacia la izquierda) hasta que el número de rotaciones alcance el número n / m menos uno, y combinando estas figuras rotadas. En el caso extremo, cuando n / m es igual a 2, obtenemos una cifra de n /2 segmentos. Tal figura se llama polígono estrella degenerado .
En otros casos, cuando n y m tienen un divisor común, obtenemos un polígono en estrella con un n más pequeño , y las versiones obtenidas por rotación se pueden combinar con él. Estas formas se llaman formas de estrella , polígonos de estrella impropios o polígonos compuestos . Se suele utilizar la misma notación { n / m } para ellos , aunque algunos autores, como Grünbaum (1994), prefieren (con algunas salvedades) la forma k { n } como más correcta, donde, en general, k = m .
Surge otra complicación cuando conectamos dos o más polígonos estelares, como dos pentagramas que difieren en la rotación en 36° y están inscritos en un decágono. Es más correcto en este caso escribir en la forma k { n / m }, en nuestro caso 2{5/2}, en lugar de usar {10/4} de uso común.
La notación extendida de Coxeter para conectar polígonos es c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, que refleja que d distinto { p , q ,...} juntas cubren los vértices { m , n ,...} c veces y las caras { s , t ,...} e veces. Si no hay { m , n ,...} válida, se elimina la primera parte de la entrada, dejando [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. El caso contrario es si no hay una { s , t ,...} correcta. El dual de de c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} es e { t , s ,...}[ d { q , pag ,...}] c { norte , metro ,...}. Si c o e es igual a 1, se pueden omitir. Para conectar polígonos, esta notación se reduce a { nk }[ k { n / m }]{ nk }. Por ejemplo, un hexagrama se puede escribir como {6}[2{3}]{6}.
Ejemplos para n =2..10, nk ≤30

2{2}
3{2}
4{2}
5{2}
6{2}
7{2}
8{2}
9{2}
10{2}
11{2}
12{2}
13{2}
14{2}
15{2}

2{3}
3{3}
4{3}

5{3}
6{3}
7{3}
8{3}
9{3}
10{3}
2{4}
3{4}
4{4}
5{4}
6{4}
7{4}

2{5}
3{5}
4{5}
5{5}
6{5}
2{5/2}
3{5/2}
4{5/2}
5{5/2}
6{5/2}
2{6}
3{6}
4{6}
5{6}

2{7}
3{7}
4{7}
2{7/2}
3{7/2}
4{7/2}
2{7/3}
3{7/3}
4{7/3}
2{8}
3{8}
2{8/3}
3{8/3}

2{9}
3{9}
2{9/2}
3{9/2}
2{9/4}
3{9/4}
2{10}
3{10}
2{10/3}
3{10/3}

2{11}
2{11/2}
2{11/3}
2{11/4}
2{11/5}
2{12}
2{12/5}
2{13}
2{13/2}
2{13/3}
2{13/4}
2{13/5}
2{13/6}

2{14}
2{14/3}
2{14/5}
2{15}
2{15/2}
2{15/4}
2{15/7}

Los polígonos espaciales regulares también crean conexiones, que se pueden observar en los bordes de la conexión prismática de los antiprismas , por ejemplo:
Conexiones correctas de polígonos espaciales
Conectando
cuadrados espaciales Conexión
de hexágonos espaciales Conexión
de decágonos espaciales

Dos {2}#{ } Tres {2}#{ } Dos {3}#{ } Dos {5/3}#{ }

Conexiones 3D

Las conexiones de politopos regulares se pueden definir como conexiones que, al igual que los politopos regulares, son transitivas de vértice, transitivas de borde y transitivas de cara . Según esta definición, hay 5 conexiones correctas.

Simetría [4,3], Oh [5,3] + , yo [5,3], yo h

Dualidad auto-dual pares duales

Imagen

Esférico

poliedros octaedro estrellado 5 {3,3} 10 {3,3 5 {4,3} 5 {3,4}

coxeter {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} 2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3.4} ]2 {3.5}
Conexiones en los planos euclidiano e hiperbólico
Hay dieciocho familias de dos parámetros de conexiones regulares de mosaicos del plano euclidiano. Se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados en el plano hiperbólico, pero aún no se ha probado la integridad de esta lista.
Las familias de compuestos de los planos euclidiano e hiperbólico 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p es entero) son similares a los octaedros esféricos estrellados , 2 {3,3}.
Algunos ejemplos de conexiones regulares euclidianas e hiperbólicas
Auto-dual Auto-dual Auto-dual

2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}

{{4,4}} o un{4,4} o {4,4}[2{4,4}]{4,4}
+ o [2{6,3}]{3,6} un{6,3} o {6,3}[2{3,6}]
+o {{∞,∞}} o un{∞,∞} o {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}
+o

3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}

2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}
++
++

Conexiones en el espacio 4D
Proyecciones ortográficas

75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

En el espacio de 4 dimensiones, hay treinta y dos conexiones regulares de politopos regulares, que Coxeter enumeró en su libro Politopos regulares : [22]
Conjunciones regulares autoduales
Compuesto Simetría Ubicación del vértice Diseño de celda

120 {3,3,3} [5,3,3], pedido 14400 {5,3,3} {3,3,5}

5 {3,4,3} [5,3,3], pedido 14400 {3,3,5} {5,3,3}
Conexiones adecuadas como pares duales
Compuesto 1 Compuesto 2 Simetría Ubicación del vértice (1) Diseño de celda (1) Ubicación del vértice (2) Diseño de celda (2)

3 {3,3,4} [23] 3 {4,3,3} [3,4,3], pedido 1152 {3,4,3} 2{3,4,3} 2{3,4,3} {3,4,3}

15 {3,3,4} 15 {4,3,3} [5,3,3], pedido 14400 {3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5} {5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], pedido 14400 5{3,3,5} 10{5,3,3} 10{3,3,5} 5{5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], pedido 14400 {5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} {3,3,5}

300 {3,3,4} 300 {4,3,3} [5,3,3] + , pedido 7200 4{5,3,3} 8{3,3,5} 8{5,3,3} 4{3,3,5}

600 {3,3,4} 600 {4,3,3} [5,3,3], pedido 14400 8{5,3,3} 16{3,3,5} 16{5,3,3} 8{3,3,5}

25 {3,4,3} 25 {3,4,3} [5,3,3], pedido 14400 {5,3,3} 5{5,3,3} 5{3,3,5} {3,3,5}

Hay dos conexiones diferentes de 75 teseractos: uno usa los mismos vértices que el de 120 celdas y el otro usa los mismos vértices que el de 600 celdas. De ahí se sigue que los correspondientes compuestos duales de 75 dieciséis células también son diferentes.
Compuestos de estrella auto-dual
Compuesto Simetría Ubicación del vértice Diseño de celda

5 {5.5/2.5} [5,3,3] + , pedido 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5.5/2.5} [5,3,3], pedido 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , pedido 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], pedido 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
Conexiones regulares en estrella como pares duales
Conexión1 Conexión2 Simetría Ubicación del vértice (1) Diseño de celda (1) Ubicación del vértice (2) Diseño de celda (2)

5 {3,5,5/2 5 {5/2,5,3 [5,3,3] + , pedido 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3 [5,3,3], pedido 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5.5/2.3} 5 {3.5/2.5} [5,3,3] + , pedido 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 _ 10 {3.5/2.5} [5,3,3], pedido 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,3,5 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , pedido 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,3,5 10 {5,3,5/2} [5,3,3], pedido 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

También hay catorce uniones parcialmente regulares que son transitivas de vértice o transitivas de celda, pero no ambas. Las siete uniones parcialmente regulares transitivas de vértice son duales a las siete uniones parcialmente regulares transitivas de celda.
Conexiones parcialmente correctas como pares duales
El compuesto 1
es transitivo de vértice Compuesto
transitivo de 2 celdas Simetría

2 celdas hexagonales [24] 2 teseractos [4,3,3], pedido 384

100 veinticuatro celdas 100 veinticuatro celdas [5,3,3] + , pedido 7200

200 veinticuatro celdas 200 veinticuatro celdas [5,3,3], pedido 14400

5 seiscientas celdas 520 celdas [5,3,3] + , pedido 7200

10 seiscientas celdas 10 ciento veinte celdas [5,3,3], pedido 14400
Conexiones en estrella parcialmente regulares como pares duales
Connection1
son vértices transitivos Join2
celda transitiva Simetría

5 {3,3,5/2 5 {5/2,3,3 [5,3,3] + , pedido 7200

10 {3,3,5/2 10 {5/2,3,3 [5,3,3], pedido 14400
Conexiones en espacio tridimensional euclidiano
Las únicas conexiones de panal euclidianas regulares son la familia infinita de conexiones de panal cúbicas que comparten vértices y caras con otros panales cúbicos. Esta conexión puede tener cualquier número de celdas cúbicas. La notación de Coxeter es {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.

Conexiones en espacios de cinco dimensiones y superiores

No hay conexiones correctas en espacios de cinco y seis dimensiones. Se conocen tres compuestos de siete dimensiones (16, 240 y 480 7-simples ) y seis de ocho dimensiones (16, 240 y 480 octeracts u 8-orthoplexes ). También hay una conexión de simples n -dimensionales en un espacio n -dimensional, siempre que n sea uno menos que una potencia de dos, así como dos conexiones (una conexión de cubos n -dimensionales y su conexión dual de ortoplexos n -dimensionales ) en un espacio n -dimensional, si n es una potencia de dos.
La notación de Coxeter para estos compuestos (donde α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:

7-simples: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , donde c = 1, 15 o 30

8-ortoplejos: c γ 8 [16 c β 8 ]

8-cubos: [16 c γ 8 ] c β 8

Caso general (cuando n = 2 k y d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

Símplexes: γ n −1 [ re α n −1 ]β n −1

Ortoplejos: γ n [ d β n ]

Hipercubos: [ d γ n ]β n
Conexión de nido de abeja euclidiana
Se conoce una familia infinita de conexiones de panal euclidianas regulares en dimensiones cinco y superiores: una conexión de panales hipercúbicos que comparten vértices y caras con otros panales hiperbólicos. Esta conexión puede tener un número arbitrario de celdas hiperbólicas. La notación de Coxeter para estos compuestos es δ n [ d δ n ]δ n donde δ n = {∞} para n = 2 y {4,3 n −3 ,4} para n ≥ 3.

Poliedros abstractos

El concepto de poliedro abstracto surge al intentar estudiar los poliedros sin vincularlos al espacio geométrico en el que se encuentran. Incluyen mosaicos de espacios esféricos, euclidianos e hiperbólicos, mosaicos de otras variedades y muchos otros objetos que no tienen una topología bien definida, sino que se caracterizan por su topología "local". Hay infinitos poliedros abstractos en cualquier dimensión. Ver atlas para ejemplos. Algunos ejemplos notables de poliedros regulares abstractos que son difíciles de encontrar en otros lugares son los de once celdas, {3,5,3} y los de cincuenta y siete celdas , {5,3,5}, que tienen politopos proyectivos regulares como celdas y figuras de vértices.
Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (elemento máximo), caras, aristas, vértices y el poliedro cero (conjunto vacío). Estos elementos abstractos pueden mostrarse en un espacio ordinario o tomarse como formas geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen implementaciones plausibles o bien formadas , otros no. Una bandera es un conjunto de elementos relacionados de cada dimensión. Para un poliedro de cuatro dimensiones, este es un cuerpo, una cara, una arista de esta cara, un vértice de la arista y un poliedro cero. Se dice que un poliedro abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas, es decir, cualquiera de sus banderas puede traducirse por la simetría del poliedro en cualquier otra. Los poliedros regulares abstractos son un área activa de investigación.
Coxeter dio cinco de estos poliedros abstractos regulares que no se pueden realizar de manera plausible en su libro Regular Polytopes (1977) y más tarde en el artículo de JM Wills "The combinatoryly regular polyhedra of index 2" (1987) [25] . Son topológicamente equivalentes a un toroide . Su construcción al colocar n caras cerca de cada vértice se puede continuar indefinidamente, dando un mosaico del plano hiperbólico.

Poliedro
Rombotriacontaedro medio
dodecodificadodecaedro
Triambiquicosaedro medio
Dodecaedro bitrigonal
Dodecaedro con muescas

figura de vértice {5}, {5/2}
(5.5/2) 2
{5}, {5/2}
(5.5/3) 3

facetas 30 diamantes
12 pentágonos
12 pentagramas
20 hexágonos
12 pentágonos
12 pentagramas
20 hexagramas

Mosaico
{4, 5
{5, 4
{6, 5
{5, 6
{6, 6}{6, 6

x −6 −6 −16 −16 −20

Aparecen como pares duales:

El triacontaedro rómbico medio y el dodecodecaedro son duales entre sí.

El triambiquicosaedro medio y el dodecaedro bitrigonal son duales entre sí.

El dodecaedro con muescas es autodual.

Véase también

Polígono
polígono regular

polígono estrella

Poliedro
Poliedro regular (5 sólidos platónicos regulares y 4 sólidos de Kepler-Poinsot )
poliedro uniforme

poliedro 4D
4 politopos regulares (16 4 politopos regulares, 4 convexos y 10 estrellas (Schläfli – Hess))

Poliedro uniforme de cuatro dimensiones

Parquet (geometría)
Teselación del plano euclidiano con polígonos regulares

Panales uniformes convexos

Poliedros multidimensionales regulares
Poliedro uniforme de cuatro dimensiones

Mapa correcto

Notas

↑ Coxeter, 1973 , pág. 129.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , pág. treinta.

↑ Johnson, 2012 , pág. 86.

↑ Coxeter, 1973 , pág. 120.

↑ Coxeter, 1973 , pág. 124.

↑ En la literatura inglesa - polígono sesgado, literalmente - un polígono oblicuo . En la literatura rusa, el término polígono espacial ha echado raíces , y el término poliedro sesgado corresponde al término poliedro sesgado ( skew polyhedron ). Este artículo usa el término poliedro sesgado para dimensiones 4 y superiores.

↑ Coxeter, 1973 , pág. 66-67.

↑ Fuente . Fecha de acceso: 10 de enero de 2016. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2014. (indefinido)

↑ En inglés, los siguientes nombres se usan para los poliedros: polyhedra - un poliedro tridimensional, polychoron - un poliedro de cuatro dimensiones, polytope - un poliedro de dimensión 5 y superior. En ruso, por regla general, el término poliedro , a veces politopo , se usa para todas estas especies .

↑ Coxeter (1973 ), Tabla I: Politopos regulares, (iii) Tres politopos regulares para dimensiones n (n>=5), págs. 294–295.

↑ Politopos regulares abstractos, p. 162-165 [1] Archivado el 15 de septiembre de 2019 en Wayback Machine .

↑ Grünbaum, B.; "Poliedros regulares: antiguos y nuevos", Aeqationes mathematicae , vol. 16 (1977), págs. 1-20.

↑ Coxeter, 1937 , pág. 33–62.

↑ Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II 2.34

↑ La simetría de las cosas, 2008, Capítulo 23 Objetos con simetría primaria , Poliedros platónicos infinitos , págs. 333–335

↑ McMullen, Schulte, 2002 , pág. 224.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , pág. Sección 7E.

↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra en Hyperbolic Three-Space. Canadá. Matemáticas J. 19, 1179–1186, 1967. [2] Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine . Nota: el artículo dice que hay 32, pero uno es autodual, por lo que quedan 31.

↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , pág. 296, Cuadro II: Panales regulares.

↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , pág. Capítulo 10

↑ Coxeter, 1956 , pág. 213, Cuadro IV.

↑ Coxeter, 1973 , pág. 305 Tabla VII.

↑ Richard Klitzing, Compuesto uniforme, icositetracoron estrellado . Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .

↑ Richard Klitzing, Uniform composite, demidistesseract . Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .

↑ The Regular Polyhedra (del índice dos) Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , David A. Richter

Literatura

HSM Coxeter . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, 1954, Amsterdam, vol. tercero - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - P. 155-169. . Reimpreso en HSM Coxeter . Capítulo 10, págs. 199–214 // La belleza de la geometría: doce ensayos . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Véanse, en particular, las tablas II, III, IV, V, págs. 212–213 deLa belleza de la geometría.

HSM Coxeter . Politopos regulares. — 3er. — Publicaciones de Dover, Inc., 1973.. Véanse en particular las Tablas I y II: Politopos regulares y panales, pp. 294–296.

Norman W Johnson. Congreso Internacional de Matemáticas de Distancias y Aplicaciones. — 2 al 5 de julio de 2012, Varna, Bulgaria, 2012. — P. 85–95.

HSM Coxeter. Poliedros sesgados regulares en tres y cuatro dimensiones // Proc. Matemáticas de Londres. Soc.. - 1937. - Emisión. 43 . — págs. 33–62 .

Peter Mc Mullen, Egon Schulte. Politopos regulares abstractos. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones). - ISBN 0-521-81496-0 . -doi : 10.1017 / CBO9780511546686 .

DMY Sommerville. Introducción a la Geometría de n Dimensiones. — Nueva York: Dover Publications, Inc., 1958. . Reedición 1930, EP Dutton. Ver capítulo X: Los politopos regulares.

Visualización de panales hiperbólicos Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]

Enlaces

Sólidos platónicos

Cuerpos de Kepler-Poinsot

Despliegues regulares de politopo 4d

Glosario Multidimensional (Ver Hexacosichoron y Hecatonicosachoron )

Visor de politopos

Politopos y empaquetamiento óptimo de p puntos en n esferas dimensionales

Atlas de pequeños poliedros regulares

Poliedros regulares a través del tiempo I. Hubard, politopos, mapas y sus simetrías

poliedros
correcto
Tridimensional
(sólidos platónicos)
tetraedro regular

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

icosaedro

4D
cinco celdas

teseracto

celda hexadecimal

veinticuatro celda

120 celdas

seiscientas celdas

Dimensión mayor
(indicada entre paréntesis)
Símplex regular

Hipercubo ( Penteract (5)

hexadecimal (6)

Hepteracto (7)

Octeracto (8)

Enneract (9)

Despreciar (10) )

hiperoctaedro

regular
no convexo
dodecaedro estrellado

Icosidodecaedro estrellado

icosaedro estrellado

poliedro estrella

octaedro estrellado

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)
Monoedro (1)

diedro (2)

Triedro (3)

tetraedro (4)

Pentaedro (5)

Hexaedro (6)

Heptaedro (7)

Octaedro (8)

Eneaedro (9)

Decaedro (10)

Endecaedro (11)

Dodecaedro (12)

Tridecaedro (13)

Tetradecaedro (14)

Pentadecaedro (15)

Hexadecaedro (16)

Heptadecaedro (17)

Octadecaedro (18)

Eneadecaedro (19)

Icosaedro (20)

Icosotetraedro (24)

Triacontaedro (30)

Hexacontaedro (60)

Eneacontaedro (90)

Hectotriadioedro (132)

Apeiroedro (∞)

convexo
sólidos de Arquímedes
cuboctaedro

icosidodecaedro

tetraedro truncado

octaedro truncado

Icosaedro truncado

cubo truncado

dodecaedro truncado

Rombicuboctaedro

Rombicosidodecaedro

Cuboctaedro truncado

Icosidodecaedro rombotruncado

cubo chato

dodecaedro chato

cuerpos catalanes
dodecaedro rómbico

Rombotriacontaedro

triaquistetraedro

tetraquishexaedro

pentakisdodecaedro

Triakisoctaedro

triaquisicosaedro

Icositetraedro deltoidal

Hexacontaedro deltoidal

Hexakisoctaedro

hexaquisicosaedro

Icositetraedro pentagonal

Hexacontaedro pentagonal

prismas

prisma triangular

prisma cuadrangular

prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Prisma heptagonal

Prisma octogonal

Prisma de nueve ángulos

prisma decagonal

Prisma de once ángulos

Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

pirámide cuadrada

Pirámide pentagonal

cúpula de tres pendientes

cúpula de cuatro tonos

cúpula de cinco pendientes

rotonda de cinco pendientes

Pirámide triangular alargada

Pirámide cuadrangular alargada

Pirámide pentagonal alargada

Pirámide cuadrangular alargada retorcida

Pirámide pentagonal alargada torcida

bipirámide triangular

Bipirámide pentagonal

Bipirámide triangular alargada

Bipirámide cuadrangular alargada

Bipirámide pentagonal alargada

Bipirámide cuadrangular alargada retorcida

Cúpula triangular alargada

Cúpula a cuatro aguas alargada

Cúpula alargada de cinco lados

rotonda alargada de cinco pendientes

Cúpula triangular alargada retorcida

Cúpula torcida alargada de cuatro tonos

Cúpula torcida alargada de cinco tonos

rotonda alargada torcida de cinco pendientes

girobifastigio

Bi-domo recto de tres vertientes

Bi-domo recto de cuatro pendientes

Bi-domo torneado de cuatro pendientes

Bi-domo recto de cinco pendientes

Bi-domo de cinco pendientes

Cúpula recta de cinco vertientes

Cúpula torneada de cinco vertientes-orotonda

Birotunda recta de cinco pendientes

Bi-domo recto alargado de tres pendientes

Bi-domo rotado de tres pendientes alargado

Girobicúpula cuadrada alargada

Bi-domo recto alargado de cinco pendientes

Bi-domo alargado de cinco pendientes convertido

Cúpula recta alargada de cinco vertientes

Cúpula torneada alargada de cinco vertientes

Birotunda recta alargada de cinco vertientes

Birotunda alargada de cinco pendientes convertida

Bi-cúpula alargada retorcida de tres pendientes

Bi-cúpula alargada torcida de cuatro tonos

Bi-cúpula alargada torcida de cinco pendientes

Cúpula torcida alargada de cinco vertientes

Birotunda alargada torcida de cinco vertientes

Prisma triangular extendido

Prisma triangular doblemente extendido

Prisma triangular triple extendido

Prisma pentagonal extendido

Prisma pentagonal doblemente extendido

Prisma hexagonal extendido

Prisma hexagonal extendido de doble opuesto

Prisma hexagonal doblemente extendido oblicuamente

Prisma hexagonal triple extendido

dodecaedro aumentado

Dodecaedro doblemente extendido

Dodecaedro doblemente extendido

Dodecaedro Triple Aumentado

Doble icosaedro cortado oblicuamente

Icosaedro de corte triple

Icosaedro de corte triple aumentado

Tetraedro truncado aumentado

Cubo truncado aumentado

Cubo truncado doblemente aumentado

Dodecaedro truncado aumentado

Dodecaedro truncado dodecaedro doblemente extendido

dodecaedro dodecaedro

Dodecaedro truncado de triple aumento

Rombicosidodecaedro retorcido

Rombicosidodecaedro doblemente torcido

Rombicosidodecaedro doblemente torcido

Rombicosidodecaedro tritorcido

Cortar rombicosidodecaedro

Rombicosidodecaedro truncado con torsión opuesta

Rombicosidodecaedro truncado torcido oblicuamente

Rombicosidodecaedro truncado doblemente torcido

Rombicosidodecaedro de doble corte opuesto

El rombicosidodecaedro cortado dos veces oblicuamente

Rombicosidodecaedro torcido de doble corte

Rombicosidodecaedro trisecado

biclinoide escamoso

Antiprisma cuadrado chato

corona de cuña

Corona de cuña extendida

Corona de cuña grande

Corona de cuña grande aplanada

biclínico con cinturón

serporotonda doble

Clinorotonda triangular aplanada

Pirámide

Bipirámide

antiprisma

Zonoedro

Paralelepípedo

romboedro

prismatoideo

tetraedro

Pirámide truncada

Pentagondodecaedro

paraleloedro

Hazme

Rotonda

Birotonda

deltaedro

Dodecaedro trapecerombico

Dodecaedro de Bilinsky

poliedro cíclico

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías
Teorema de barrido de Alexandrov

teorema de Bleecker

Teorema del politopo de Cauchy

Teorema del politopo de Lindelöf

Teorema de los poliedros de Minkowski

teorema de Sabitov

Teorema de Euler para poliedros

Fórmula de Schläfli

Otro
Símbolo Schläfli

notación de Conway

Poliedro de Silashi

Chasar poliedro

poliedro de Schoenhardt

Poliedro flexible ( poliedro de Steffen )

poliedro de Hanner

Santoedro

Poliedro de permutación

tetraedro ortocéntrico

tetraedro isoédrico

cuboides

grupo poliedro

dodecaedros

Ángulo sólido

cubo unidad

Escanear

Parquet

escutoide

Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10

Familia ${\tilde{A}}_{n-1}$ ${\tilde{C}}_{n-1}$ ${\tilde{B}}_{n-1}$ ${\tilde{D}}_{n-1}$ ${\tilde{G}}_2$ / / ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$

Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal

Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4

panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas

panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6

panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _

panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31

panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21

Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

mosaicos geometricos
Periódico
pitagórico

Rómbico

Triángulo de Schwartz

rectangular
dominó

Pentagonal

Mosaico homogéneo

panales
Colorear

convexo

Mosaico dividido

Grupo cristalográfico plano

construcción

aperiódico
Ammann-Binker

Conjunto aperiódico de mosaicos
Lista

Desafío de una ficha
Sokolara — Taylor

gilberto

penrose

molinillo

abovedado

División y autopegado de conjuntos
Esfinge

Trucha

Otro
No isoédrico e isoédrico

Arquitectónico y reflexivo

Límite del círculo III

Gráficos de computadora

panales

Borde transitivo

Paquete

Tareas
camioneta

jejeje

cuadrar

Azulejos de mosaico
criterio de Conway

Girih

División regular del plano.

Celosía regular

sustituciones

diagrama de Voronoi

Foderberg

Por configuración de vértice
Esférico
2n_ _

3 3 norte

V3 3.n _

42.n _ _

V4 2.n _

correcto
2∞ _

3 6

4 4

6 3

semi-
correcto
3 2 .4.3.4

V3 2.4.3.4 _

3 3 .4 2

3 3 .∞

3 4 .6

V3 4.6 _

3.4.6.4

(3.6) 2

3.12 2

4 2 .∞

4.6.12

4.8 2

Hiperbólico
_
3 2 .4.3.5

3 2 .4.3.6

3 2 .4.3.7

3 2 .4.3.8

3 2 .4.3.∞

3 2 .5.3.5

3 2 .5.3.6

3 2 .6.3.6

3 2 .6.3.8

3 2 .7.3.7

3 2 .8.3.8

3 3 .4.3.4

3 2 .∞.3.∞

3 4 .7

3 4 .8

3 4 .∞

3 5 .4

3 7

3 8

3∞ _

(3.4) 3

(3.4) 4

3.4.6 2.4 _

3.4.7.4

3.4.8.4

3.4.∞.4

3.6.4.6

(3.7) 2

(3.8) 2

3.14 2

3.16 2

(3.∞) 2

3.∞ 2

4 2 .5.4

4 2 .6.4

4 2 .7.4

4 2 .8.4

4 2 .∞.4

4 5

4 6

4 7

4 8

4∞ _

(4.5) 2

(4.6) 2

4.6.12

4.6.14

V4.6.14

4.6.16

V4.6.16

4.6.∞

(4.7) 2

(4.8) 2

4.8.10

V4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞

4.10 2

4.10.12

4.12 2

4.12.16

4.14 2

4.16 2

4.∞ 2

(4.∞) 2

5 4

5 5

5 6

5∞ _

5.4.6.4

(5.6) 2

5.8 2

5.10 2

5.12 2

(5.∞) 2

6 4

6 5

6 6

6 8

6.4.8.4

(6.8) 2

6.8 2

6.10 2

6.12 2

6.16 2

7 3

74 _

7 7

7.6 2

7.8 2

7.14 2

8 3

8 4

8 6

8 8

8 12

8.6 2

8.16 2

∞ 3

∞ 4

∞ 5

∞∞ _

∞.6 2

∞.8 2

Schlafli {p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	tipo de cara {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q,r}
{2,4,4	{2,4}	{2}	{cuatro}	{4,4}
{2,3,6	{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}	{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}	{4,4}	{cuatro}	{2}	{4,2}
{3,6,2}	{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}	{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	tipo de cara {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q,r}	Doble
Panales icosaédricos	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	Auto-dual
Panales cúbicos orden 5	{4,3,5}	{4,3}	{cuatro}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
Orden 4 panal dodecaédrico	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{cuatro}	{3,4}	{4,3,5}
Nido de abeja dodecaédrico orden 5	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	Auto-dual

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	borde de Tpi {p}	Figura de borde {r}	Figura de vértice {q,r}	Doble
Panales tetraédricos de orden 6	{3,3,6}	{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	{6,3,3}
Panales de mosaico hexagonal	{6,3,3}	{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	{3,3,6}
Orden 4 nido de abeja octaédrico	{3,4,4}	{3,4}	{3}	{cuatro}	{4,4}	{4,4,3}
Panales de mosaico cuadrados	{4,4,3}	{4,4}	{cuatro}	{3}	{4,3}	{3,3,4}
Panales de mosaico triangulares	{3,6,3}	{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	Auto-dual
Panales cúbicos orden 6	{4,3,6}	{4,3}	{cuatro}	{cuatro}	{3,4}	{6,3,4}
Orden 4 Panales de Mosaico Hexagonales	{6,3,4}	{6,3}	{6}	{cuatro}	{3,4}	{4,3,6}
Mosaico cuadrado panales pedido 4	{4,4,4}	{4,4}	{cuatro}	{cuatro}	{4,4}	{4,4,4}
Nido de abeja dodecaédrico orden 6	{5,3,6}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{6,3,5}
Mosaico hexagonal nido de abeja pedido 5	{6,3,5}	{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	{5,3,6}
Panales mosaico hexagonal orden 6	{6,3,6}	{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	Auto-dual

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	tipo de cara {p}	forma de la cara {s}	Figura de borde {r,s}	Figura de vértice {q,r,s}	Doble
Panales de Tesseract	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{cuatro}	{cuatro}	{3,4}	{3,3,4}	Auto-dual
panal de 16 celdas	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Panal de veinticuatro celdas	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	tipo de cara {p}	forma de la cara {s}	Figura de borde {r,s}	Figura de vértice {q,r,s}	Doble
Nido de abeja de cinco celdas orden 5	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
panales de 120 celdas	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Tesseract panales pedido 5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{cuatro}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
120 celdas orden 4 celdas	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{cuatro}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
120 celda orden 5 panales	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Auto-dual

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	Tipo de celda {p,q}	tipo de cara {p}	forma de la cara {s}	Figura de borde {r,s}	Figura de vértice {q,r,s}	Doble
24 celdas orden 4 celdas	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{cuatro}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Panal cúbico	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{cuatro}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r, s}	Tipo de faceta {p, q, r}	tipo de celda tipo {p,q}	tipo de cara {p}	forma de la cara {s}	Figura de borde {r,s}	Figura de vértice {q,r,s}	Doble	Densidad _
Panal de una pequeña celda estrellada de 120	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3	{5/2.5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
Orden de pentagrama de 600 celdas	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5.5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
Nido de abeja icosaédrico de 120 celdas orden 5	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2.5}	{5.5/2.5}	{5.5/2.5.3}	diez
Panales de una gran celda de 120	{5.5/2.5.3}	{5.5/2.5}	{5.5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	diez

Nombre	Schläfli { pags 1 , pags 2 , ..., pags norte −1 }	Tipo de faceta	figura de vértice	Doble
Parquet cuadrado	{4,4}	{cuatro}	{cuatro}	Auto- dual
panal cúbico	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Auto - dual
Panales de Tesseract	{4,3 2 ,4}	{4,3 2 }	{3 2 ,4}	Auto - dual
Panal de 5 cubos	{4,3 3 ,4}	{4,3 3 }	{3 3 ,4}	Auto - dual
Panal de 6 cubos	{4,3 4 ,4}	{4,3 4 }	{3 4 ,4}	Auto - dual
Panales de 7 cubos	{4,3 5 ,4}	{4,3 5 }	{3 5 ,4}	Auto - dual
Panales de 8 cubos	{4,3 6 ,4}	{4,3 6 }	{3 6 ,4}	Auto - dual
panales hipercúbicos n -dimensionales	{4,3n - 2,4 }	{4,3n −2 }	{ 3n−2 ,4}	Auto - dual

Nombre	Símbolo de Schläfli { p, q, r, s, t}	Tipo de faceta {p,q,r,s}	tipo de 4 caras {p, q, r}	tipo de celda {p, q}	tipo de rostro {p}	figura de celda {t}	cara figura {s,t}	figura de borde {r,s,t}	Figura de vértice {q,r,s,t}	Doble
panal de abeja 5-orthoplex	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Panales de veinticuatro celdas	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
panal de 16 celdas	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	Auto - dual
24 celdas orden 4 celdas	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{cuatro}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4	{4,3,3,4,3}
Panales de Tesseract	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4	{4,3,3}	{4,3}	{cuatro}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

2{2}	3{2}	4{2}	5{2}	6{2}	7{2}	8{2}	9{2}	10{2}	11{2}	12{2}	13{2}	14{2}	15{2}
2{3}	3{3}	4{3}	5{3}	6{3}	7{3}	8{3}	9{3}	10{3}	2{4}	3{4}	4{4}	5{4}	6{4}	7{4}
2{5}	3{5}	4{5}	5{5}	6{5}	2{5/2}	3{5/2}	4{5/2}	5{5/2}	6{5/2}	2{6}	3{6}	4{6}	5{6}
2{7}	3{7}	4{7}	2{7/2}	3{7/2}	4{7/2}	2{7/3}	3{7/3}	4{7/3}	2{8}	3{8}	2{8/3}	3{8/3}
2{9}	3{9}	2{9/2}	3{9/2}	2{9/4}	3{9/4}	2{10}	3{10}	2{10/3}	3{10/3}
2{11}	2{11/2}	2{11/3}	2{11/4}	2{11/5}	2{12}	2{12/5}	2{13}	2{13/2}	2{13/3}	2{13/4}	2{13/5}	2{13/6}
2{14}	2{14/3}	2{14/5}	2{15}	2{15/2}	2{15/4}	2{15/7}

Conectando cuadrados espaciales		Conexión de hexágonos espaciales	Conexión de decágonos espaciales
Dos {2}#{ }	Tres {2}#{ }	Dos {3}#{ }	Dos {5/3}#{ }

Dualidad	auto-dual			pares duales
Simetría	[4,3], Oh	[5,3] + , yo	[5,3], yo h
Imagen
Esférico
poliedros	octaedro estrellado	5 {3,3}	10 {3,3	5 {4,3}	5 {3,4}
coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3.4} ]2 {3.5}

Auto-dual	Auto-dual		Auto-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

{{4,4}} o un{4,4} o {4,4}[2{4,4}]{4,4} + o	[2{6,3}]{3,6}	un{6,3} o {6,3}[2{3,6}] +o	{{∞,∞}} o un{∞,∞} o {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +o
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

	2{3,6}[3{6,3}]{6,3}	{3,6}[3{3,6}]2{6,3} ++	++

Compuesto	Simetría	Ubicación del vértice	Diseño de celda
120 {3,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
5 {3,4,3}	[5,3,3], pedido 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Compuesto 1	Compuesto 2	Simetría	Ubicación del vértice (1)	Diseño de celda (1)	Ubicación del vértice (2)	Diseño de celda (2)
3 {3,3,4} [23]	3 {4,3,3}	[3,4,3], pedido 1152	{3,4,3}	2{3,4,3}	2{3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	5{3,3,5}	10{5,3,3}	10{3,3,5}	5{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , pedido 7200	4{5,3,3}	8{3,3,5}	8{5,3,3}	4{3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], pedido 14400	8{5,3,3}	16{3,3,5}	16{5,3,3}	8{3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], pedido 14400	{5,3,3}	5{5,3,3}	5{3,3,5}	{3,3,5}

Compuesto	Simetría	Ubicación del vértice	Diseño de celda
5 {5.5/2.5}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5.5/2.5}	[5,3,3], pedido 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], pedido 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Conexión1	Conexión2	Simetría	Ubicación del vértice (1)	Diseño de celda (1)	Ubicación del vértice (2)	Diseño de celda (2)
5 {3,5,5/2	5 {5/2,5,3	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3	[5,3,3], pedido 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5.5/2.3}	5 {3.5/2.5}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 _	10 {3.5/2.5}	[5,3,3], pedido 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,3,5	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] + , pedido 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,3,5	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], pedido 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}

El compuesto 1 es transitivo de vértice	Compuesto transitivo de 2 celdas	Simetría
2 celdas hexagonales [24]	2 teseractos	[4,3,3], pedido 384
100 veinticuatro celdas	100 veinticuatro celdas	[5,3,3] + , pedido 7200
200 veinticuatro celdas	200 veinticuatro celdas	[5,3,3], pedido 14400
5 seiscientas celdas	520 celdas	[5,3,3] + , pedido 7200
10 seiscientas celdas	10 ciento veinte celdas	[5,3,3], pedido 14400

Connection1 son vértices transitivos	Join2 celda transitiva	Simetría
5 {3,3,5/2	5 {5/2,3,3	[5,3,3] + , pedido 7200
10 {3,3,5/2	10 {5/2,3,3	[5,3,3], pedido 14400

Poliedro	Rombotriacontaedro medio	dodecodificadodecaedro	Triambiquicosaedro medio	Dodecaedro bitrigonal	Dodecaedro con muescas
figura de vértice	{5}, {5/2}	(5.5/2) 2	{5}, {5/2}	(5.5/3) 3
facetas	30 diamantes	12 pentágonos 12 pentagramas	20 hexágonos	12 pentágonos 12 pentagramas	20 hexagramas
Mosaico	{4, 5	{5, 4	{6, 5	{5, 6	{6, 6}{6, 6
x	−6	−6	−16	−16	−20